8.5 Площадь поверхности тела вращения

Пусть на отрезке $\left[a,b\right]$ задана неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция $f$ . Будем вращать ее график вокруг оси $Ox$ . В результате получим некоторую поверхность. Выведем формулу для вычисления ее площади.

Рассмотрим разбиение отрезка $\left[a,b\right]$ точками $a = x_{0} < x_{1} < . . . < x_{n}$ . Вращая криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = f(x), x_{i} \leqslant x \leqslant x_{i+1}$ , получим усеченный «конус» с образующей $y = f(x)$ и радиусами оснований $f(x_{i})$ и $f(x_{i+1})$ . Соединим точки $\left(x_{i},f\left(x_{i}\right)\right)$ и $\left(x_{i+1},f\left(x_{i+1}\right)\right)$ отрезком. В результате вращения получим усеченный конус с теми же радиусами оснований и этим отрезком в качестве образующей. Площадь боковой поверхности этого конуса равна
$2\pi\frac{f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{i+1}\right)}{2}l_{i},$
где $l_{i}=\sqrt{\left(\Delta x_{i}\right)^{2}+\left(f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_{i}\right)\right)^{2}}$ — длина образующей. Складывая, получаем
$\sigma\equiv2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\frac{f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{i+1}\right)}{2}l_{i}}.$

При стремлении к нулю диаметра разбиения сумма σ стремится к определенному пределу, который естественно считать площадью поверхности вращения. С другой стороны, если в выражении для $l_{i}$ применить формулу Лагранжа, то получим
$\sigma=2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\frac{f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{i+1}\right)}{2}\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(\xi_{i}\right)\right]^{2}}\Delta x_{i}},$
где $\xi_{i}\epsilon\left[x_{i},x_{i+1}\right]$ . Заменим в правой части $x_{i}$ и $x_{i+1}$ на $\xi_{i}$ и оценим погрешность. Имеем
$\mid\sigma-2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}{f\left(\xi_{i}\right)}\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(\xi_{i}\right)\right]^{2}}\Delta x_{i}\mid\leqslant2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_{i}\sqrt{1+M^{2}}\Delta x_{i}$
где $ω_{i}$ – колебание функции $f$ на $\left[x_{i},x_{i+1}\right]$ , а $M$ – верхняя грань функции $\mid f^{\prime}\mid$ на $\left[a,b\right]$ . Из условий на функцию $f$ следует, что правая часть стремится к нулю вместе с диаметром разбиения. Поэтому сумма $\sigma$ стремится к $2\pi\int\limits_{a}^{b} f\left(x\right)\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^{2}}{\text{d}x}$ .

Итак, получили следующую формулу для нахождения площади поверхности вращения:
$S=2\pi\int\limits_{a}^{b} f\left(x\right)\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^{2}}{\text{d}x}.$

Примеры решения задач

Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси $Ox$ дуги кубической параболы $y=x^{3}$ , заключенной между прямыми $x=0$ и $x=1$ .

Решение

$P=2\pi\int\limits_{a}^{b} f\left(x\right)\sqrt{1+\left(f^{\prime}\left(x\right)\right)^{2}}dx=2\pi\int\limits_{0}^{1}x^{3}\sqrt{1+\left(3x^{2}\right)^{2}}dx=$
$=2\pi\int\limits_{0}^{1}x^{3}\sqrt{1+9x^{4}}dx=\begin{bmatrix}t=1+9x^{4} \\dt=36x^{3}dx \end{bmatrix}=$
$=2\pi\int\limits_{1}^{10} \sqrt{t}\frac{\text{d}t}{36}=\frac{\pi}{18}\int\limits_{1}^{10} \sqrt{t}{\text{d}t}=\frac{\pi}{18}\cdot\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\mid^{10}_{1}=\frac{\pi}{27}\left(10\sqrt{10}-1\right)$
Вычислить площадь поверхности, которая образована вращением кривой $y^{2}=4+x$ , которая отсекается прямой $x=2$ вокруг оси $Ox$ .

Решение

$P=2\pi\int\limits_{a}^{b} \psi\left(t\right)\sqrt{\left(\varphi^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}+\left(\psi^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}}=2\pi\int\limits_{-4}^{2} y\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2}\text{d}x=$
$=2\pi\int\limits_{-4}^{2} \sqrt{\left(4+x\right)\left(1+\frac{1}{4(4+x)}\right)}\text{d}x=\pi\int\limits_{-4}^{2} \sqrt{17+4x}{\text{d}x}=$
$=\frac{\pi}{6}\left(125-1\right)=\frac{62}{3}\pi$
Вычислить площадь поверхности тела вращения, заданными такими уравнениями: $x\left(t\right)=3\cos t$ , $y\left(t\right)=3\sin t$ .

Решение

$P=2\pi\int\limits_{a}^{b} y\left(t\right)\sqrt{\left(x^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}+\left(y^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}}\text{d}x=2\pi\int\limits_{0}^{\pi} 3\sin t\cdot3\text{d} t=$
$=\frac{\pi}{6}\left(17+4x\right)^{\frac{3}{2}}\mid^{2}_{-4}=-18\pi \left(\cos t\right)\mid^{\pi}_{0}=-18\pi\cdot\left(\cos \pi-\cos 0\right)\mid^{\pi}_{0}=$
$=-18\pi\left(-1-1\right)=36\pi$

Площадь поверхности тела вращения

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 1
Какая формула площади поверхности тела вращения правильная?
- $P=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(f^{\prime}\left(x\right)\right)^{2}}\text{d}x$
- $P=\pi\int_{a}^{b} f^{2}\left(x\right)\text{d}x$
- $P=2\pi\int_{a}^{b}f\left(x\right) \sqrt{1+\left(f^{\prime}\left(x\right)\right)^{2}}\text{d}x$
- $P=\pi\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(f^{\prime}\left(x\right)\right)^{2}}\text{d}x$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 1
Напишите слово, чтобы вышло верное утверждение.
- Чтобы формула площади поверхности тела вращения работала, функция должна быть . Чтобы вывести формулу площади поверхности тела вращения надо применить формулу (Лагранжа). Площадь гладкой криволинейной трапеции выражается (интегралом).
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 4

3.

Количество баллов: 1

Сопоставьте каждую функцию со своей площадью поверхности вращения вокруг оси $Ox$ .

Элементы сортировки

$\frac{\pi}{6}\left(22\sqrt{22}-6\sqrt{6}\right)$
$\frac{\pi\left(10\sqrt{10}-1\right)}{27}$
$\sqrt{2}\pi+\pi\ln\left(1+\sqrt{2}\right)$
$144\pi$

$y=\sqrt{x}$ ,

$\frac{5}{4}\leq x\leq\frac{21}{4}$

$y=x^{3}$ ,

$0\leq x\leq1$

$2ay=a^{2}+x^{2}$

$x^{2}+4y^{2}=36$

Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 1
Выберите верные утверждения.
- Площадь поверхности шара равна $4\pi R^{2}$ , где $R$ - радиус шара.
- Площадь любого тела вращения моно вычислить по формуле $P=\pi\int_{a}^{b} f\left(x\right)\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^{2}}{\text{d}x}$ .
- Площадь поверхности цилиндра равна $6\pi R^{2}$ , где R - радиус цилиндра.
Правильно

Неправильно

Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.1. Одесса, «Астропринт», 2010, стр 253-254
Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, 13-ое издание, Московского университета, 1997, стр. 419-421

Формула конечных приращений Лагранжа

Определение

Выпуклой областью называется открытое множество, любые две точки которого можно соединить отрезком, лежащим в области.

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в выпуклой области $G\subset\mathbb{R}^{n}$ . Тогда для любых двух точек $x= \left ( x_{1},…,x_{n} \right )\in G$ , $y= \left ( y_{1},…,y_{n} \right )\in G$ найдется такое число $\theta \in \left(0,1 \right )$ , что
$f(y)-f(x)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right ).\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

Формула $(1)$ называется формулой конечных приращений Лагранжа.

Доказательство

Пусть точки $x,y \in G$ . Так как область $G$ выпукла, то отрезок, соединяющий точки $x$ и $y$ , лежит в области $G$ . Поэтому определена функция одной переменной:

$\varphi (t) = f(x_{1}+t(y_{1}-x_{1}),…,x_{n}+t(y_{n}-x_{n})), 0\leqslant t\leqslant 1$ . $(2)$

По теореме о производной сложной функции $\varphi (t)$ — дифференцирума на отрезке $[0,1]$ и очевидно, что $\varphi (0) = f(x)$ , $\varphi (1) = f(y)$ . По правилу нахождения производной сложной функции имеем:

$\varphi{}’ (t)=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x}\left ( x_{1}+t(y_{1}-x_{1}),…,x_{n}+t(y_{n}-x_{n}) \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ). \ \ \ \ \ \ (3)$

Применим к функции $\varphi(t)$ формулу приращений Лагранжа для функции одной переменной. Получаем, что найдется число $\theta \in \left(0,1 \right )$ такое, что $\varphi(1) — \varphi(0) = \varphi{}’ (\theta )$ . Используя формулы $(2)$ и $(3)$ , теперь легко получаем формулу $(1)$ . $\square$

[spoilergroup]

Спойлер

Доказать, что $\left | \arctan x_{2} -\arctan x_{1} \right |\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |$ , $x_{1}\in \mathbb{R}$ , $x_{2}\in \mathbb{R}$ . (*)
По теореме Лагранжа для функции $\arctan x$ на отрезке с концами $x_{1}$ и $x_{2}$ находим
$\arctan x_{2} — \arctan x_{1}=\frac{1}{1+\xi ^{2}}(x_{2}-x_{1}),$
откуда получаем $\left | \arctan x_{2}-\arctan x_{1} \right |=\frac{\left | x_{2}-x_{1} \right |}{1+\xi ^{2}}\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |$ , так как $0<\frac{1}{1+\xi^{2}}\leqslant 1$ .
Полагая в соотношении (*) $x_{2}=x$ , $x_{1}=0$ , получаем
$\left | \arctan x \right |\leqslant \left | x \right |$ , $x\in \mathbb{R}$ ,
и, в часности,
$0\leqslant \arctan x\leqslant x$ , $x\geqslant 0$ .

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Конспект лекций Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.251-252
Л.Д.Кудрявцев, Курс Математического Анализа, Том 2, стр.248-252.

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 4

Рубрика: Математический анализ
В каком случае формула конечных приращений Лагранжа написана правильно? Выберете один вариант.
- $f(x)-f(y)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right )$
- $f(y)-f(x)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right )$
- $f(y)-f(x)= \sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( x-y \right )\left (x_{i}+ y_{i} \right ) \right )$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 6
Допшите правильно оставшиеся части формулы конечных приращений Лагранжа
$\sum _{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left (x+\theta \left ( y-x \right )\left ( y_{i}-x_{i} \right ) \right )=$ …….
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Формула конечных приращений Лагранжа

Формулировка

Если функция $\in C[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b),$ то $\exists \xi \in (a,b):f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).$

Доказательство

Рассмотрим функцию $\exists \xi \in (a,b):f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),$ где число $\lambda$ выберем таким, чтобы выполнялось условие $\varphi (a)=\varphi (b),$ т.е. $f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b.$ Отсюда находим
$\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$
Так как функция $\varphi (x)$ непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля о корне производной существует точка $\xi \in (a,b)$ такая, что $\varphi ‘(\xi )=f'(\xi )+\lambda =0.$ Отсюда в силу условия $\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ получаем равенство
$f'(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
равносильное равенству $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).$

Пример

Доказать что $ln(1+x)<x$ при $0<x$

Спойлер

Применяя теорему Лагранжа к функции на отрезке $[0,x],$ где $x>0,$ получим $ln(1+x)=\frac{1}{1+\xi}x,$ откуда следует $ln(1+x)>x,$ так как $0<\xi<x.$

[свернуть]

Формула конечных приращений Лагранжа

Этот тест был разработан для проверки усвоенных знаний по данному разделу

Задание 1 из 2

1.
Количество баллов: 2
Вставьте правильное слово в условие теоремы конечных приращений Лагранжа
- Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и (дифференцируема) на интервале (a,b), то ...
Правильно

Неправильно

А вы уверены, что слово «дифференцируема» пишется именно так?
Задание 2 из 2

2.
Количество баллов: 2
Запишите недостающую часть формулы Лагранжа: $f'(\xi )(b-a)$ =
Правильно

Неправильно

Литература

Конспект лекций Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.166-168
Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140

Метка: формула Лагранжа

8.5 Площадь поверхности тела вращения

Примеры решения задач

Площадь поверхности тела вращения

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

Формула конечных приращений Лагранжа

Определение

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Доказательство

Литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

Формула конечных приращений Лагранжа

Формулировка

Доказательство

Пример

Формула конечных приращений Лагранжа

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат