Найдите все функции f:R→R такие, что f(x−f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)−1
для всех x,y∈R.
Решение
Пусть A — множество значений функции f и c=f(0). Положив x=y=0, мы получим f(−c)=f(c)+c−1,
поэтому c≠0. Легко найти сужение функции f на множество A: взяв x=f(y), получим f(x)=c+12−x22
для всех x из A.
Основной шаг доказательства состоит в том, чтобы показать, что множество разностей x−y, где x,y∈A, есть все множество R. Для y=0 мы имеем {f(x−c)−f(x)∣x∈R}={cx+f(c)−1∣x∈R}=R,
поскольку c≠0.
Теперь мы можем получить значение f(x) для произвольного x: если мы выберем y1,y2∈A такие, что x=y1−y2, и используем (1), то мы получим f(x)=f(y1−y2)==f(y2)+y1y2+f(y1)−1=c+12−y222+y1y2++c+12−y212−1=c−(y1−y2)22=c−x22.
Сравнивая (1) и (2), мы получим c=1, и поэтому f(x)=1−x22
для всех x∈R. Мы получили единственную функцию, которая удовлетворяет функциональному уравнению задачи.
Если latexf,g∈R[a;b], то latex∀α,β∈Rlatexφ(x)=αf+βg∈R[a;b]latexb∫a(αf(x)+βg(x))dx=αb∫af(x)dx+βb∫ag(x)dx.
Доказательство:
Пусть latexδT(ξ,f),δT(ξ,g),δT(ξ,φ) — интегральные суммы для соответствующих функций, тогда: latexδT(ξ,φ)=αδT(ξ,f)+βδT(ξ,g). Если latexλ(T)→0, то latexαδT(ξ,t)→αb∫af(x)dx,latexβδT(ξ,g)→βb∫ag(x)dx.
