Пусть множество $E\subset\mathbb{R^n}$, $a$ — предельная точка множества $E$ и функция $f : E \mapsto \mathbb{R^m}$.
Определение. Точка $b \in \mathbb{R^m}$ называется пределом функции $f$ в точке $a$ по множеству $E$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E$, отличных от точки $a$ и удовлетворяющих условию $0 < |x-a| < \delta$, справедливо неравенство $|f(x) − b| < \varepsilon$. В этом случае пишут
$$b =\lim_{x \to \ a, x \in E} f(x)$$
и говорят, что $f(x)$ стремится к $b$, пробегая множество $E$, или $f(x)$ стремится к $b$ вдоль множества $E$.
Если множество $E$ содержит некоторый шар с центром в точке $a$, за исключением, быть может, самой точки $a$, то просто пишут $b = \lim_{x \to \ a} f(x)$.
Пример. Пусть
$$ f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \quad ((x,y) \in E \equiv \mathbb{R^2}\backslash\{(0,0)\})$$
$$ A_1 = \{(x,y) \in E : x = y\}, \quad A_2 = \{(x,y) \in E : x = 0\}.$$
Тогда, очевидно,
$$ \lim_{(x,y) \to (0,0), (x,y) \in A_1} f(x,y) = 0, \quad \lim_{(x,y) \to (0,0), (x,y) \in A_2} f(x,y) = -1.$$
Легко также убедиться в том, что у этой функции существуют пределы вдоль любой прямой, проходящей через начало координат, но эти пределы различные. Поэтому функция $f$ не имеет предела вдоль множества $E$.
Теорема. Пусть функция $f : E \mapsto \mathbb{R^m}$, $E \subset \mathbb{R^n}$, и $a$ — предельная точка множества $E$. Для того чтобы точка $b \in \mathbb{R^m}$ являлась пределом функции $f$ в точке $a$ по множеству $E$, необходимо и достаточно, чтобы для любой сходящейся к $a$ последовательности $\{x_v\}$ точек из $E$ отличных от $a$, было выполнено равенство $\lim_{v \to \infty} f(x_v) = b$.
Необходимость. Пусть $\lim_{x \to a, x \in E} f(x) = b$ и пусть $x_v \in E$, $x_v \neq a$, $\lim_{v \to \infty} x_v = a$, т. е. зафиксирована некоторая последовательность $\{x_v\}$. Докажем, что $\lim_{v \to \infty} f(x_v) = b$.
Зададим $\varepsilon > 0$. Тогда, по определению предела функции, найдется такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E$, удовлетворяющих условию $0 < |x−a| < \delta$, справедливо неравенство $|f(x) − b| < \varepsilon$. Так как $x_v \to a$ и $x_v \neq a$, то найдется такой номер $N$, что при любом $v \ge N$ будет $0 < |x_v − a| < \delta$.
Поэтому для $v \ge N$ выполнено неравенство $|f(x_v) — b| < \varepsilon$. Это означает, что $\lim_{v \to \infty} f(x_v) = b$.
Достаточность. Предположим, что предел функции $f$ в точке $a$ либо не существует, либо существует, но не равен $b$. Тогда найдется такое $\varepsilon_0 > 0$, что для любого $\delta > 0$ найдется точка $x^\prime \in E$, $x^\prime \neq a$, для которой $|x^\prime — a| < \delta $, но $|f(x^\prime) — b| \ge \varepsilon_0$. Полагая $\delta = \frac{1}{v}$, построим последовательность точек $x^\prime_v$, для которых $0 < |x^\prime_v — a| < \frac{1}{v}$, но $|f(x^\prime_v) — b| \ge \varepsilon_0$. Тогда получим, что $x^\prime_v \to a$, но $f(x^\prime_v)$ не стремится к $b$, а это противоречит условию.
Доказанная теорема позволяет сформулировать равносильное определение предела функции по Гейне.
Определение.Точка $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если для любой последовательности $\{x_v\}$ точек из $E$, сходящейся к $a$, $x_v \neq a$, соответствующая последовательность $\{f(x_v)\}$ значений функции сходится к точке $b$.
Теорема (арифметические свойства предела).Пусть функции $f, g : E \mapsto \mathbb{R^m}$, $E \subset \mathbb{R^n}$, $a$ — предельная точка множества $E$ и
$$ \lim_{x \to a, x \in E}f(x) = b, \quad \lim_{x \to a, x \in E}g(x) = c.$$
Тогда
- $\lim_{x \to a, x \in E}(f + g)(x) = b + c;$
- $\lim_{x \to a, x \in E}(f \cdot g)(x) = b\cdot c;$
- если $f, g$ — действительные функции (т.е. $m = 1$ ) и $g(x) \neq 0, c(x) \neq 0$, то $\lim_{x \to a, x \in E}(\frac{f}{g})(x) = \frac{b}{c}$.
Для доказательства достаточно воспользоватся определением предела по Гейне и соответствующей теоремой для последовательностей.
Примеры решения задач
Пример 1.Найти предел неограниченной функции $f(x) = \frac{2x^2 + x — 1}{x — 1}$.
Решение
Пусть $$f(x) = \frac{2x^2 + x — 1}{x — 1}.$$ Множество $X$, на котором определена функция $f(x)$, получается из множества всех действительных чисел $\mathbb{R}$ удалением из него единицы; $X =\mathbb{R}\backslash\{1\}$. Выясним, существует или нет предел функции $f(x)$ в точке $x_0 = 0$. Возьмем какую-либо последовательность $x_n \in X$, $n = 1, 2,\ldots$, такую, что $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$. Тогда на основании теорем получаем
$$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty}\frac{2x^2 _n + x_n — 1}{x_n — 1}=$$
$$= \frac{2(\lim_{n \to \infty}x_n)^2 + \lim_{n \to \infty} x_n — 1}{\lim_{n \to \infty}x_n — 1} = 1.$$
Таким образом, существует $\lim_{n \to \infty}f(x_n) = 1$ , а так как он не зависит от выбора последовательности $x_n \to 0$, $x_n \in X$, $n = 1,2,\ldots$, то существует и предел $\lim_{n \to \infty}f(x) = 1.$
[свернуть]
Пример 2. Найти предел ограниченной, разрывной функции $f(x) = \sin\frac{1}{x}$.
Решение
Рассмотрим функцию $$f(x) = \sin \frac{1}{x}.$$ Она определена на множестве $X =\mathbb{R}\backslash\{0\}$. Снова выясним, существует или нет у функции $f$ предел в точке $x_0 = 0$. Возьмем две последовательности $$x_n = \frac{1}{\pi n}$$ и $$x_n^\prime = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}, n = 1,2,\ldots.$$
Очевидно, что $\lim_{n \to \infty}x_n = \lim_{n \to \infty}x_n^\prime = 0, x_n \neq 0, x_n^\prime \neq 0$(условие $x \neq 0$ в данном случае означает, что $x \in X$), $f(x_n) = \sin \pi n = 0$, $f(x_n^\prime) = \sin( \frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 1$, $n = 1, 2,\ldots .$. Поэтому $\lim_{n \to \infty}f(x_n) = 0$ и $\lim_{n \to \infty}f(x_n^\prime) = 1$, а это означает, что предела функции при $x \to 0$ не существует.
[свернуть]
Пример 3.Найти предел $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 -1}$ по Гейне.
Решение
Пусть $$f(x) = \frac{x_n^2 + x + 1}{x^2 — 2}.$$
Найдем предел этой функции при $x \to \infty$. Ее областью определения является множество $X =\mathbb{R}\{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\}$. Взяв какую-либо последовательность $x_n \in X$, $n = 1, 2,\ldots,$ $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$, будем иметь
$$\lim_{n \to \infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n ^2+x_n+ 1}{x_n^2 — 2}=\lim_{n \to \infty}\frac{1 + \frac{1}{x_n} + \frac{1}{x_n^2}}{1-\frac{2}{x_n^2}}=$$
$$=\frac {1 + \lim_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{x_n^2}}{1 — 2\lim{n\to\infty}\frac{1}{x_n^2}}=1.$$
Отсюда следует, что $\lim_{n \to \infty}\frac{x^2 + x + 1}{x^2 — 2} = 1$.
[свернуть]
Пример 4. Найти предел всюду разрывной функции Дирихле.
Решение
Пусть $f$- функция Дирихле, то есть функция, равная $1$ на множестве всех рациональных чисел и нулю на множестве $I$ всех иррациональних чисел. Тогда в точке $x_0 = 0$ ее предел по множеству рациональних чисел равен $1$: $$\lim_{x \to 0, x \in Q}f(x) = 1.$$
а по множеству иррациональних чисел — нулю: $$\lim_{x \to 0, x \in I}f(x) = 0.$$
По всему же множеству действительных чисел(то есть по множеству определения функции Дирихле) предел ее в точке $x_0 = 0$ не существует, так как уже существование или нет предела последовательности$\{f(x_n)\}$ при $n \to \infty$ зависит в данном случае от выбора последовательности $\{x_n\}$, стремящейся к нулю.
[свернуть]
Пример 5. Найти предел устранимо-разрывной функции $\lim_{x \to 0}\frac{(2x^2 + x — 1)x}{x^2-x}$.
Решение
Найдем
$$\lim_{x \to 0}\frac{(2x^2 + x — 1)x}{x^2-x}.$$ Повторяя рассуждения, аналогичные тем, с помощью которых был вычислен предел в примере $1$, приходим к выражению $\frac{0}{0}$, т. е. к неопределенности, и тем самым не получаем ответа ни на вопрос о существовании предела, ни на вопрос о его значении, если он существует. Поэтому рассмотрим функцию
$$f(x) = \frac{2x^2 + x — 1}{x — 1},$$
получающуюся из функции
$$g(x) = \frac{(2x^2 + x — 1)x}{x^2 — x},$$
стоящей под знаком предела в условии, сокращением правой части равенства на $x$. Функции $f$ и $g$ совпадают в проколотой окрестности $U^{\circ}(0,1) = (-1,1) \backslash \{0\}$ точки $x_0 = 0$ и поэтому, согласно сделанному выше замечанию, одновременно имеют или нет пределы в этой точке по указанной проколотой окрестности, причем в случае существования этих пределов они равны. В примере же $1$ было показано, что $\lim_{x \to 0}f(x) = 1$ по всей области определения функции $f$, следовательно, и по ее подмножеству $U^{\circ}(0,1)$. Таким образом,
$$\lim_{x \to 0}g(x) = \lim_{x \to x_0, x \in U^{\circ}(0,1)}g(x) = \lim_{x \to x_0, x \in U^{\circ}(0,1)}f(x) = \lim_{x \to 0}f(x) = 1$$
(первое равенство справедливо в силу того, что предел является локальным свойством функции). Эти рассуждения являются обоснованием вычислений, которые в обычно употребляемой записи имеют следующий вид:
$$\lim_{x \to 0}\frac{(2x^2 + x — 1)x}{x^2 — 1} = \lim_{x \to 0}\frac{2x^2 + x — 1}{x — 1} = 1.$$
[свернуть]
Пример 6. Найти предел функции $f(x) = |signx|$.
Решение
Рассмотрим функцию $f(x) = |sign x|$. Какова бы ни была окрестность нуля $U(0)$, у этой функции в точке $x_0 = 0$, очевидно, существует предел по проколотой окрестности $U^{\circ}(0)$:
$$\lim_{x \to 0, x \in U^{\circ}(0)}|sign x| = 1.$$
Вместе с тем предел $\lim_{x \to 0, x \in U(0)}|sign x|$ по всей окрестности $U(o)$ в точке $x_0 = 0$ у функции $|sign x|$ не существует, так как, например, для последовательности
$$x_n = \begin{cases} \frac{1}{n}, &\text{если n = 2k, k = 1,2,…}\\ 0, &\text{если n = 2k — 1, k = 1,2,…} \end{cases}$$
имеем $\lim_{n \to \infty}x_n = 0$ (и, следовательно, все ее члены начиная с некоторого будут лежать в заданной окрестности $U(0)$, а последовательность $|sign x_n|$ не имеет предела(на четных местах у нее стоят единицы, а на нечетных — нули).
[свернуть]
