Бином Ньютона

Бином Ньютона — формула, представляющая выражение (a+b)^{n} при n>0  в виде:

(a+b)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}+

C_{n}^{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+b^{n},

где C_{a}^{b} — число сочетаний из a элементов по b элементов.

C_{n}^{k}=\frac {n!}{k!(n-k)!}.

Докажем верность данного утверждения:

\square Доказательство методом математической индукции.

1) Для n= 1 :

a+b=C_{1}^{0}a^{1-0}b^{0}+C_{1}^{1}a^{1-1}b^{1}=

a*1+b*1=a+b.

Для n=1 утверждение выполняется.

2) Предположим, что утверждение выполняется для n=k.

(a+b)^{k}=C_{k}^{0}a^{k-0}b^{0}+C_{k}^{1}a^{k-1}b^{1}+

C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+C_{k}^{k}a^{0}b^{k}=

a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+

C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+b^{k}=\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}.

3) Докажем верность формулы для n=k+1.

Докажем, что (a+b)^{k+1}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}.

(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}=

(a+b)\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}=

\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}

Вынесем слагаемое при i=0 из первой суммы:

\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i} = a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}

Вынесем слагаемое при i=k из последней суммы:

\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}=

b^{k+1} + \sum\limits_{i=0}^{k-1}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}=

b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}

Прибавим данные суммы:

a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+

b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=

=a^{k+1}+b^{k+1}+

\sum\limits_{i=1}^{k}(C_{k}^{i}+C_{k}^{i-1})a^{k-i+1}b^{i}=

=\sum\limits_{i=0}^{0}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+

\sum\limits_{i=k+1}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+

\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=

=\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i} \blacksquare

Также с помощью бинома Ньютона строится треугольник Паскаля, в котором числа в строке обозначают коэффициенты при соответствующих степенях:

552

Примеры:

1) (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+\frac{3!}{1!*2!}ab^{2}+b{3}=

       a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.

2) (a+b+c)^{4}=?

(a+b+c)^{4}=(a+(b+c))^{4}=

a^{4}+a^{3}(b+c)\frac{4!}{3!}+a^{2}(b+c)^{2}\frac{4!}{2!2}+

a(b+c)^{3}\frac{4!}{3!}+(b+c)^{4}=

a^{4}+a^{3}b\frac{4!}{3!}+a^{3}c\frac{4!}{3!}+a^{2}b^{2}\frac{4!}{2!2!}+2a^{2}bc\frac{4!}{2!}+

a^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+ab^{3}\frac{4!}{3!}+3ab^{2}c\frac{4!}{1*2*3}+

+3abc^{2}\frac{4!}{1*2*3}+ac^{3}\frac{4!}{3!}+

b^{4}+b^{3}c\frac{4!}{3!}+b^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+bc^{3}\frac{4!}{3!}+c^{4}=

=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}b+a^{3}c+b^{3}c)+

6(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})+4(b^{3}a+c^{3}a+ c^{3}b)+

12(a^{2}bc+b^{2}ac+c^{2}ab).

Список литературы:

Тест "Бином Ньютона"

Тестовые вопросы по вышеизложенной теме.

Таблица лучших: Тест "Бином Ньютона"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Бином Ньютона: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *