Метка: экстремум

Формулировка

Касательная к графику функции в точке локального экстремума $(x_{0},f(x_{0}))$ параллельна оси абсцисс.

Замечание

Теорема неверна, если функцию $f(x)$ рассматривать на замкнутом отрезке $[a,b].$

Пример

Функция $f(x)=x$ на отрезке $[0; 1]$ в точке $x=0$ принимает наименьшее, а в точке $x=1$ наибольшее значение, однако, как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице.

Литература

• Конспект лекций Лысенко З.М.
• Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.165
• sernam.ru

 Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.
Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если выполняется условие: $\exists U_{\delta }(x_{0}) :$$\forall x\in U_{\delta }(x_{0}) f(x_{0})\geq$$f(x).$
Аналогично точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$ , если выполняется условие: $\exists U_{\delta }(x_{0}):$$\forall x\in U_{\delta}(x_{0}) f(x_{0})\leq$$f(x).$

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.
Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка $x_{0}$ — точка экстремума функции $f(x)$, то она критическая.

Доказательство

По условию точка $x_{0}$ — точка экстремума функции $f(x)$ $\Rightarrow$ по теореме Ферма производная ${f}'(x_{0})=0$ $\Rightarrow$ точка $x_{0}$ является критической.

Пример:

Найти экстремум функции $f(x)=x^{3}-$ $6x^{2}+9x-4$.
Найдем производную этой функции:${f}’=3x^{2}-12x+9$ $\Rightarrow$ критические точки задаются уравнением $3x^{2}-12x+9 =0$. Корни этого уравнения $x_{1}=3$ и $x_{2}=1$.

Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3.
Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: $f(3)=27-$ $54+27-4=-4$ и $f(1)=1-6+9-4=0$ $\Rightarrow$ в точке  $x_{1}=3$ функция имеет минимум, равный -4, а в точке $x_{2}=1$ функция имеет максимум, равный 0.

Замечания:

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пример:

Рассмотрим функцию $f(x)=x^{3}$. Построим график этой функции:

Производная данной функции в точке $x_{0}=0$ ${f}'(0)=0$ $\Rightarrow$ $x_{0}$ по определению является критической точкой, однако в этой точке функция не имеет экстремума.

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция $f(x)$ определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки $x_{0}$, кроме, быть может, самой точки $x_{0}$ и непрерывна в этой точке. Тогда:

1. Если производная ${f}’$ меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку $x_{0}$: $\forall x\in$ $(x_{0}-\delta ;x_{0}) {f}'(x)<$ $0$ и $\forall x\in$ $(x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)>$ $0$, то $x_{0}$ — точка строго минимума функции $f(x).$
2. Если производная ${f}’$ меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку $x_{0}$: $\forall x\in$ $(x_{0}-\delta;x_{0} ){f}'(x)>$ $0$ и  $\forall x\in$ $(x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)<$ $0$, то $x_{0}$ — точка строго максимума функции $f(x).$

Доказательство

Пусть, например, ${f}’$ меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку $x_{0}$ на сегменте $\left [ x;x_{0} \right ].$ Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: $f(x)-f(x_{0})$ $={f}'(\xi)(x-x_{0})$, $\xi \in (x;x_{0})$. Поскольку при переходе через точку $x_{0}$ функция меняет знак с «-» на «+», то ${f}'(\xi)<0$ и $x< x_{0}$, то $x- x_{0}<0$ $f(x)-f(x_{0})>0.$
Аналогично рассмотрим сегмент $\left [ x_{0};x \right ]$, получим
$f(x)-f(x_{0})>0$ $\Rightarrow$ $f(x_{0})< f(x)$ $\Rightarrow$   $x_{0}$ — точка строгого минимума функции.

Замечания:

Если $x_{0}$ — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная ${f}’ (x)$ меняет знак при переходе через точку $x_{0}.$

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Пусть дана функция $f(x)$, она определена в некоторой окрестности точки $x_{0}$, ее первая производная ${f}'(x_{0})=0$ и пусть $\exists {f}»(x_{0})$, тогда:

1. Если ${f}»(x_{0})>0$, то точка $x_{0}$ — точка строгого минимума;
2. Если ${f}»(x_{0})<0$, то точка $x_{0}$ — точка строгого максимума.

Доказательство

Докажем теорему для первого случая, когда ${f}»(x_{0})>0$. По скольку ${f}»(x_{0})$ непрерывна, то на достаточно малом интервале $(x_{0}-\delta ;x_{0}+\delta)$, т.к ${f}»(x_{0})>0$, то ${f}'(x_{0})$ возрастает в этом интервале. ${f}'(x_{0})=0$, значит ${f}'(x_{0})<0$ на интервале $(x_{0}-\delta ;x_{0})$ и  ${f}'(x_{0})>0$ на интервале $(x_{0} ;x_{0}+\delta)$.
Таким образом функция $f(x)$ убывает на интервале $(x_{0}-\delta ;x_{0})$ и возрастает на интервале $(x_{0} ;x_{0}+\delta)$ $\Rightarrow$ по первому достаточному условию экстремума функция в точке $x_{0}$ имеет минимум.
Аналогично доказывается второй случай теоремы.

Замечания:

Если ${f}'(x)=0$ и ${f}»(x)=0$, то функция $f(x)$ может и не иметь экстремум в точке $x_{0}.$

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)

Пусть функция $f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_{0}$, и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть $\exists f^{(n)}(x_{0})$, $n> 2$ и ${f}'(x_{0})={f}»(x_{0})=…$$=f^{(n-1)}(x_{0})=0$, $f^{(n)}(x_{0})\neq 0.$ Тогда:

1. Если $n=2k$ (т.е $n$ — четное), то $x_{0}$ — точка экстремума:
   • если $f^{(n)}(x_{0})<0$, то $x_{0}$ — точка локального максимума;
   • если $f^{(n)}(x_{0})>0$, то $x_{0}$ — точка локального минимума;
2. Если $n=2k+1$ (т.е $n$ — нечетное), то $x_{0}$ — не является точкой экстремума.

Доказательство

Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки $x_{0}$ с остатком в форме Пеано: $f(x)=f(x_{0})+$ $\frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+… +$ $\frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1}+$ $\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}$.
По скольку все производные до $(n-1)$ порядка включительно равны нулю получим: $f(x)-f(x_{0})=$$\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$$o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}.$ Запишем полученное выражение в виде: $f(x)-f(x_{0})=$$\frac{f(n)(x_{0})}{n!}(x-$$x_{0})\left [ 1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}} \right ]$. Выражение $[1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n})}]>1$. Пусть $n=2k$ $\Rightarrow$ $(x-x_{0}) ^{n}> 0$, $\text{sign}(f(x)-f(x_{0}))=$ $\text{sign} (\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n})$. Отсюда следует, что сохранение или изменение знака приращения функции во время перехода через точку $x_{0}$ зависит от четности $n$. Последний факт и доказывает теорему.

Список литературы:

• В.А.Ильин, Э. Г. Позняк «Основы математического анализа» (часть 1) 4-е издание, 1982, стр. 295;
• Лысенко З. М. Конспект по математическому анализу.
• Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
• Г.М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчечления» (том 1), 1962 год, стр. 278-286;

Экстремум функции

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест для проверки знаний по теме «Экстремум функции».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 4 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Какая точка называется стационарной?

   • Точка, в которой производная функции больше нуля.
   • Точка, в которой производная функции не существует.
   • Точка, в которой производная функции равна нулю.
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1

   Верно ли то, что функция ${f}(x)=x^{2}$ имеет локальный минимум в точке $x_{0}=0$?

   • Да.
   • Нет.
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Выберите необходимые условия выполнения третьего достаточного условия строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух:

   • $$\exists f^{(n)},n> 2$$
   • $$f'(x_{0})=f''(x_{0})=...=f^{(n-1)}(x_{0})$$
   • $$f^{(n)}=0$$
   • $$f^{(n)}\neq 0$$
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Пусть дана функция $f(x)=x^{2}+4$. В какой точке достигается экстремум?

Точки локального максимума и минимума называют точками локального экстремума.

Это были формальные определения, но можно объяснить иначе:
Возьмем некоторую точку на графике функции и некоторую ее окрестность. Если в окрестности это наивысшая точка, то назовем ее локальным максимумом, если же самая низкая, то минимумом.

Пример

Найти экстремумы функции $f(x)=2x^{3}-15x^{2}+36x-14.$

Точки экстремума

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Этот тест создан чтобы проверить ваше понимание темы «Точки экстремума»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

максимум из 6 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 2

   Можно ли сказать, что локальный максимум является самой высокой точкой функции?

   • Да
   • Нет
   • Спорно
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 2

   Рассортируйте функции по убыванию их графиков на отрезке [-1,1]

   • $$arcctgx$$
   • $$y=2$$
   • $$arcsinx$$
   • $$\sqrt{x}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 2

   Чему равна производная функции в точке экстремума?
   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература

• Конспект лекций Лысенко З.М.
• Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.164