Автор: Лозинская Анастасия

Теорема Ролля о корне производной

Формулировка

Если [latex]f(x)\in C[a,b][/latex] (т.е. она непрерывна на этом промежутке), дифференцируема на (a,b) и [latex]f(a)=f(b)[/latex] тогда [latex]\exists \xi \in (a,b): f'(\xi )=0.[/latex] Теорему Ролля можно сформулировать кратко так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один ноль производной этой функции. Для случая [latex]f(a)=f(b)=0[/latex] теорема формируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один ноль ее производной.

Доказательство

Обозначим [latex]M=sup f(x), m=inf f(x)[/latex] для [latex]a\leq x\leq b.[/latex] По теореме Вейерштрасса на отрезке [latex][a,b][/latex] существуют такие точки [latex]c_{1} [/latex] и [latex]c_{2},[/latex] что [latex]f(c_{1})=m, f(c_{2})=M.[/latex] Если [latex]M=m,[/latex] то [latex]f(x)=const,[/latex] и в качестве [latex]\xi [/latex] можно взять любую точку интервала [latex](a,b).[/latex]
Если [latex]m\neq M,[/latex] то [latex]m<M,[/latex] и поэтому [latex]c_{1} 0[/latex] такое, что [latex]U_{\delta}(c_{1})\subset (a,b).[/latex] Так как для всех [latex]x\in U_{\delta }(c_{1})[/latex] выполняется условие [latex]f(x)\geq f(c_{1})=m,[/latex] то по теореме Ферма [latex]f'(c_{1})=0,[/latex] т.е. условие [latex]f'(\xi )=0[/latex] выполняется при [latex]\xi=c_{1}.[/latex] Аналогично рассматривается случай когда [latex]c_{2}\in (a,b).[/latex]

Геометрический смысл теоремы Ролля

При условиях теоремы [latex]\exists \xi \in (a,b):[/latex] касательная к [latex]y=f(x)[/latex] в точке [latex](\xi, f(\xi ))[/latex] параллельна оси ox

Rolla

Замечание! Все условия теоремы существенны.

Пример

Удовлетворяет ли функция[latex] y=2-|x|,[/latex] определенная на всей вещественной оси, условиям теоремы?

Спойлер

Эта функция удовлетворяет всем условиям, кроме одного. Для этой функции не существует точки на интервале (-2,2), в которой производная была бы равна нулю.

gb

[свернуть]

Теорема Ролля о корне производной

Этот тест был составлен для того, чтобы проверить знание теоремы Ролля о корне производной

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.165-166
  • Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140

Производные и дифференциалы высших порядков

Вторая производная функции в точке [latex]x_{0}[/latex]
Пусть функция [latex]f(x)[/latex] имеет производную во всех точках интервала [latex](a,b)[/latex]. Если [latex]f'(x)[/latex] дифференцируема в точке [latex]x_{0}\in (a,b)[/latex], то ее производную называют производной второго порядка в точке [latex]x_{0}[/latex] и обозначают [latex]f»(x_{0}),[/latex] [latex]f^{(2)}(x_{0}),[/latex] [latex]\frac{d^{2}f(x_{0})}{dx^{2}},[/latex] [latex]f_{xx}^{»}(x_{0}).[/latex]

Таким образом, по определению
[latex]f^{»}(x_{0})=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f'(x_{0}+\Delta x)-f'(x_{0})}{\Delta x}.[/latex]

    Пример
    Найти [latex]f»(x_{0})[/latex], если:

  1. [latex]f(x)= \sin{x}[/latex]
    Спойлер

    [latex]f'(x)=\cos{x}=\sin{(\frac{\pi }{2}-x)}=\sin{(x+\frac{\pi }{2})}[/latex]
    [latex]f»(x)=-\sin{x}=\sin{(2\tfrac{\pi }{2}+x)}[/latex]

    [свернуть]
  2. [latex]f(x)=x\sqrt{1+x^{2}}[/latex]
    Спойлер

    [latex]f'(x)=\sqrt{1+x^{2}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{1+2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}};[/latex]
    [latex]f»(x)=(\frac{1+2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}})'[latex]=\frac{4x\sqrt{1+x^{2}}-(1+2x^{2})x(1+x^{2})^{-\frac{1}{2}}}{1+x^{2}}=\frac{3x+2x^{3}}{(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}};[/latex]

    [свернуть]

В общем случае производные высших порядков вычисляются по принципу:
[latex]f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x))'[/latex]

Т.е. производные более высоких порядков вычисляются через производные более низкого порядка. Если рассматривать пример 1, то можно заметить, что вторая производная была взята как производная производной первого порядка, а производная третьего порядка выглядит так:
[latex]f»'(x)=(f»(x))’=(-\sin{x})’=-\cos{x}=\sin{(x+3\frac{\pi }{2})}[/latex]

Можно заметить некую закономерность в нахождении производных высшего порядка для [latex]sinx[/latex] и вывести общую формулу для этой функции:
[latex]f^{(n)}(x)=\sin{(x+n\frac{\pi }{2})}[/latex]

Существуют функции, которые можно дифференцировать бесконечное количество раз.

Бесконечно дифференцируемая функция
Если функция имеет на [latex][a,b][/latex] производные всех порядков, то она называется бесконечно дифференцируемой на [latex][a,b][/latex]

Например, к таким функциям можно отнести [latex]f(x)=e^{x}[/latex] т.к. [latex]f^{n}(x)=e^{x}[/latex]

    Производные высших порядков обладают такими свойствами:
    Если f и g имеют производные n-ного порядка, то:

  1. [latex]\alpha f+\beta g[/latex] тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и [latex](\alpha f+\beta g)^{(n)}=\alpha f^{(n)}+\beta g^{(n)}.[/latex]
  2. [latex]fg[/latex] тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и
    [latex](fg)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}f^{(k)}g^{(n-k)}[/latex](Формула Лейбница)

Замечание! Дифференциалы первого порядка имеют инвариантную форму. Т.е., несмотря на то, будет ли x зависимой или независимой переменной, дифференциал имеет вид
[latex]dy=f'(x)dx.[/latex] Второй дифференциал этим свойством уже не обладает.

Производные и дифференциалы высших порядков

Этот текст составлен для проверки знаний по теме «Производные и дифференциалы высших порядков»

Литература

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Формулировка

Если функции [latex]f\left( x \right)[/latex] и [latex]g\left(x\right)[/latex] непрерывны на отрезке [latex][a,b][/latex], дифференцируемы на интервале (a,b), причем [latex]g'(x)\neq 0[/latex] во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка [latex]\xi \in (a,b)[/latex] такая, что [latex]\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}[/latex].

Доказательство

Рассмотрим функцию [latex]\varphi(x)=f(x)+\lambda g(x)[/latex], где число [latex]\lambda[/latex] выберем таким, чтобы выполнялось равенство [latex]\varphi (a)=\varphi (b)[/latex], которое равносильно следующему:
[latex]f(b)-f(a)+\lambda (g(b)-g(a))=0[/latex].

Заметим, что [latex]g(b)\neq g(a)[/latex], так как в противном случае согласно Теореме Ролля существовала бы точка [latex]c\in (a,b)[/latex] такая, что $latex g'(c)=0$ вопреки условиям данной теоремы. Из равенства [latex]f(b)-f(a)+\lambda (g(b)-g(a))=0[/latex] следует, что [latex]\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[/latex].

Так как функция [latex]\varphi [/latex] при любом [latex]\lambda[/latex] непрерывна на отрезке $latex [a,b]$ и дифференцируема на интервале [latex](a,b)[/latex], а при значении [latex]\lambda[/latex], определяемом предыдущей формулой, принимает равные значения в точках $latex a$ и $latex b$, то по теореме Ролля существует точка [latex]\xi \in (a,b)[/latex] такая, что [latex]\varphi ‘(\xi )=0[/latex], т.е. [latex]f'(\xi )+\lambda g'(\xi )=0[/latex], откуда [latex]\frac{f'(\xi )}{g'(\xi )}=-\lambda[/latex]. Из этого равенства и формулы [latex]\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[/latex] следует [latex]\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}[/latex].

  1. Замечание. Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши [latex](g(x)=x)[/latex].
  2. Замечание. Теорему Коши нельзя получить используя теорему Лагранжа отдельно к числителю и к знаменателю.

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Правильно ли вы поняли обобщенную теорему Лагранжа?

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.157-158

Точки экстремума

Локальный минимум.
Пусть [latex]f(x)[/latex] лежит выше [latex]f(x_{0})[/latex] для всех [latex]x\in U_{\delta }(x_{0})[/latex] тогда говорят, что функция имеет локальный минимум в точке [latex]x_{0}.[/latex]

Локальный максимум.
Пусть [latex]f(x)[/latex] лежит ниже [latex]f(x_{0})[/latex] для всех [latex]x\in U_{\delta }(x_{0})[/latex] тогда говорят, что функция имеет локальный максимум в точке [latex]x_{0}.[/latex]

Точки локального максимума и минимума называют точками локального экстремума.

Это были формальные определения, но можно объяснить иначе:
Возьмем некоторую точку на графике функции и некоторую ее окрестность. Если в окрестности это наивысшая точка, то назовем ее локальным максимумом, если же самая низкая, то минимумом.

inf
sup
Пример

Найти экстремумы функции [latex]f(x)=2x^{3}-15x^{2}+36x-14.[/latex]

Спойлер

Так как [latex]f'(x) = 6x^{2} — 30x +36 = 6(x -2)(x — 3),[/latex] то критические точки функции [latex]x_{1} = 2 [/latex] и [latex]x_{2}=3.[/latex] Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку [latex]x_{1} = 2 [/latex] производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку [latex]x_{2}=3[/latex] производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке[latex]x_{2}=3[/latex] у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
[latex]x_{1} = 2 [/latex] и [latex]x_{2}=3,[/latex] найдем экстремумы функции: максимум [latex]f(2) = 14[/latex] и минимум [latex]f(3) = 13.[/latex]

[свернуть]

Точки экстремума

Этот тест создан чтобы проверить ваше понимание темы «Точки экстремума»

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.164

Таблица производных

Функция Производная Условие
[latex]c[/latex] [latex]0[/latex] [latex]c — const[/latex]
[latex]x^{\alpha}[/latex] [latex]\alpha x^{\alpha -1}[/latex] [latex]x\in \Re [/latex], [latex]x>0[/latex]
[latex]a^{x}[/latex] [latex] a^{x}\ln a[/latex] [latex]a>0, x \in \Re[/latex]
[latex]e^{x}[/latex] [latex]e^{x}[/latex]
[latex]\log_{a}x[/latex] [latex]\frac{1}{x \ln{a}}[/latex] [latex]a>0, a\neq 1, x>0[/latex]
[latex] \ln x[/latex] [latex]\frac{1}{x}[/latex] [latex]x \ne 0[/latex]
[latex] \sin x[/latex] [latex] \cos x[/latex] [latex]x\in \Re [/latex]
[latex] \cos x[/latex] [latex] -\sin x[/latex] [latex]x\in \Re [/latex]
[latex]\mathop{\rm tg} x[/latex] [latex] \frac{1}{\cos^{2} x}[/latex] [latex]x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n, n\in \mathbb{Z}[/latex]
[latex] \mathop{\rm ctg} {x}[/latex] [latex]-\frac{1}{\sin^{2}x}[/latex] [latex]x\neq \pi n, n\in \mathbb{Z}[/latex]
[latex]\mathop{\rm arcsin} x[/latex] [latex]\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}[/latex] [latex]\left | x \right |< 1[/latex]
[latex]\mathop{\rm arccos} x[/latex] [latex]-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}[/latex] [latex]\left | x \right |< 1[/latex]
[latex]\mathop{\rm arctg} x[/latex] [latex]\frac{1}{1+x^{2}}[/latex] [latex]x\in \Re [/latex]
[latex] \mathop{\rm arcctg} x[/latex] [latex]-\frac{1}{1+x^{2}}[/latex] [latex]x\in \Re [/latex]
[latex] \mathop{\rm sh} x[/latex] [latex] \mathop{\rm ch} x[/latex] [latex]x\in \Re [/latex]
[latex] \mathop{\rm ch} x[/latex] [latex] \mathop{\rm sh} x[/latex] [latex]x\in \Re [/latex]
[latex] \mathop{\rm th} x[/latex] [latex]\frac{1}{\mathop{\rm ch}^{2} x}[/latex] [latex]x\in \Re [/latex]
$latex \mathop{\rm cth} x$ [latex]-\frac{1}{\mathop{\rm sh}^{2} x}[/latex] [latex]x\neq 0[/latex]

Пример:

Найти [latex]f'(x)[/latex], если функция [latex]f(x)[/latex] задана следующей формулой:

  1. [latex]f(x)= \sin2x[/latex]
    Спойлер

    [latex]f'(x)=(\sin2x)’=2\cos2x[/latex]

    [свернуть]
  2. [latex]f(x)=e^{-x^{2}}\ln(1+x^{3})[/latex]
    Спойлер

    [latex]f'(x)=-2xe^{-x^{2}}\ln(1+x^{3})+e^{-x^{2}}\frac{3x^{2}}{1+x^{3}}[/latex]

    [свернуть]

Таблица производных

Тест составлен для проверки знания таблицы производных.

Тест на знание таблицы производных

Не хотите ли проверить, как хорошо вы знаете таблицу производных?

Литература