Processing math: 100%

М696. О размещение чисел в таблице

Задача из журнала «Квант»(1981 выпуск №8)

Условие

Можно ли таблицу 10×10 клеток заполнить 100 различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата k×k клеток (2k10)

a) Суммы k чисел на его диагоналях были одинаковы?

б) Произведения k чисел на его диагоналях были одинаковы?

Решение

Построение таблицы, при которых сумма его диагоналей были бы одинаковыми.

Назовем таблицу подходящей, если для любого квадрата k×k клеток (2k10) суммы k чисел на его диагоналях одинаковы. Примером подходящей таблицы является таблица ниже(убедитесь в этом). Заметим теперь, что если ко всем числам какой-либо строки подходящей таблицы прибавить одно и тоже число, то тогда таблица всё ещё останется подходящей.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

В самом деле, если k×k не пересекается с измененной строкой, то суммы чисел на его диагоналях не меняются. В противном случает обе диагонали этого квадрата пересекаются с измененной строкой ровно по одной клетке, и суммы чисел, стоящих на его диагоналях, остаются равными.

Теперь легко построить таблицу, удовлетворяющую условию задачи. Для этого достаточно к строкам первой таблицы добавить некоторые числа так, чтобы в результате все числа таблицы оказались различными. Например, первую строку оставляем неизменной, ко второй добавляем 10, к третьей 20, и так далее. Полученная таблица удовлетворяет условию.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Видно, что построить таблицу, в которой сумма его диагоналей были бы равны, возможно.

Построение таблицы, при которых произведение его диагоналей были бы одинаковыми.

Для решение второго условия, необходимо всего лишь каждый элемент таблицы изменить на ak, где a — любое целое число. Пример, где a=2, показан в таблице ниже.

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
21 22 23 24 25 26 27 28 29 210

Проводим такую же операцию, добавляем числа так, чтобы все числа таблицы оказались различными, только к степени. То есть, прибавляем к степени второй строки 10, к третьей 20, и так далее. И получаем нужную нам таблицу.

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
211 212 213 214 215 216 217 218 219 220
221 222 223 224 225 226 227 228 229 230
231 232 233 234 235 236 237 238 239 240
241 242 243 244 245 246 247 248 249 250
251 252 253 254 255 256 257 258 259 260
261 262 263 264 265 266 267 268 269 270
271 272 273 274 275 276 277 278 279 280
281 282 283 284 285 286 287 288 289 290
291 292 293 294 295 296 297 298 299 2100

Так что, построить таблицу, где произведения его чисел одинаковы, тоже можно.

А. Балинский

M2103

Дана таблица latexn×n, столбцы которой пронумерованы числами от latex1 до latexn. В клетки таблицы расставляются числа latex1,2,,n так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовем клетку хорошей, если читсло в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких latexn существует расстановка, в которй во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

Решение

Найдем общее количество хороших клеток. В первом столбце их latexn1 (все, кроме клетки с числом 1), во вторм их latexn2 (все, кроме клетки с числом 1 и 2) и т.д., в последнем столбце таких клкеток нет. Значит, всего их latex(n1)+(n2)++1=n(n1)2

Поэтому в каждой строке их должно быть по latexn12, следовательно, latexn должно быт ьнечетным.

latex1 latexn latexn1 latex latex2
latex2 latex1 latexn latex latex3
latex3 latex2 latex1 latex latex4
latex latex latex latex latex
latexn1 latexn2 latexn3 latex latexn
latexn latexn1 latexn2 latex latex1

Приведем пример расстановки при нечетном latexn. Пусть в первой строке записаны числа в порядке latex1,n,n1,n2,,2

а каждая следующая строка является циклическим сдвигом предыдущей строки на 1 клетку (см.рис.). Очевидно, в любой строке и в любом столбце каждое из чисел latex1,2,,n встречается по одному разу. Рассмотрим latexm-ю строку ( m{1,2,,n}). В ее первых latexm клетках стоят числа latex1,2,,m в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно latex[m2] хороших. В ее последних latexnm клетках(т.е. в столбцах с номерами latexm+1,m+2,,n) стоят числа latexm+1,m+2,,n в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно latex[nm2] хороших. Так как числа latexm и latexnm разной четности, то в latexm-й строке ровно latex[m2]+[nm2]=m2+nm212=n12 хороших клеток.

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов
Интеграл Значение
dx x+C
axdx axlna+C
exdx ex+C
xadx xa+1a+1+C
dxx ln|x|+C
dx2x x+C
cosxdx sinx+C
sinxdx cosx+C
shxdx chx+C
chxdx shx+C
dxsin2x ctgx+C
dxch2x thx+C
dxcos2x tgx+C
dxa2+x2 1aarctgxa+C
dxsh2x cthx+C
dxx2±a2 ln|x+x2±a2|+C
dxa2x2 arcsinxa+C
dxa2x2 12aln|a+xax|+C
dxx2a2 12aln|xax+a|+C

Решите примеры:

  1. (2x3)dx
    Спойлер
  2. cos2xdx 
    Спойлер
  3. (2x3)2dx
    Спойлер

Литература

  1. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 459
  2. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012

Тест

Для решения интегралов нужно знать таблицу первообразных (таблицу интегралов) и свойства интегралов. Попробуйте проверить свои знания.


Таблица лучших: Таблица основных интегралов

максимум из 22 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных