M2103

Дана таблица n\times n , столбцы которой пронумерованы числами от 1 до n . В клетки таблицы расставляются числа 1,2,\cdots,n так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовем клетку хорошей, если читсло в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких n существует расстановка, в которй во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

Решение

Найдем общее количество хороших клеток. В первом столбце их n-1 (все, кроме клетки с числом 1), во вторм их n-2 (все, кроме клетки с числом 1 и 2) и т.д., в последнем столбце таких клкеток нет. Значит, всего их (n-1)+(n-2)+\cdots +1=\frac{n(n-1)}{2}

Поэтому в каждой строке их должно быть по \frac{n-1}{2} , следовательно, n должно быт ьнечетным.

1 n n-1 \cdots 2
2 1 n \cdots 3
3 2 1 \cdots 4
\vdots \vdots \vdots \ddots \vdots
n-1 n-2 n-3 \cdots n
n n-1 n-2 \cdots 1

Приведем пример расстановки при нечетном n . Пусть в первой строке записаны числа в порядке 1,n,n-1,n-2,\cdots,2

а каждая следующая строка является циклическим сдвигом предыдущей строки на 1 клетку (см.рис.). Очевидно, в любой строке и в любом столбце каждое из чисел 1,2,\cdots,n встречается по одному разу. Рассмотрим m -ю строку ( $m\in \left \{ 1,2,\cdots,n \right \} $). В ее первых m клетках стоят числа 1,2,\cdots,m в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно \left [\frac{m}{2} \right] хороших. В ее последних n-m клетках(т.е. в столбцах с номерами m+1,m+2,\cdots,n ) стоят числа m+1,m+2,\cdots,n в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно \left [\frac{n-m}{2} \right] хороших. Так как числа m и n-m разной четности, то в m -й строке ровно \left [\frac{m}{2} \right]+\left [\frac{n-m}{2} \right]=\frac{m}{2}+\frac{n-m}{2}-\frac{1}{2}=\frac{n-1}{2} хороших клеток.

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов
Интеграл Значение
\int dx x+C
\int a^xdx \frac{a^x}{\ln{a}}+C
\int e^xdx e^x+C
\int x^adx \frac{x^{a+1}}{a+1}+C
\int \frac{dx}{x} \ln|{x}|+C
\int \frac{dx}{2\sqrt{x}} \sqrt{x}+C
\int \cos xdx  \sin x+C
\int \sin xdx  -\cos x+C
\int  \mathop{\rm sh} dx  \mathop{\rm ch} x+C
 \int\mathop{\rm ch} xdx \mathop{\rm sh} x+C
\int \frac{dx}{\sin^2x}  \mathop{\rm tg} x + C
\int \frac{dx}{\mathop{\rm ch}^2x}  \mathop{\rm th} x+ C
\int \frac{dx}{\cos^2x}  \mathop{\rm -ctg}x +C
\int \frac{dx}{a^2+x^2} \frac{1}{a} \mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C=-\frac{1}{a}\mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C
\int \frac{dx}{\mathop{\rm sh}^2x} \mathop{\rm -cth}+C
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}} \ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} \arcsin \frac{x}{a}+C=-\arccos\frac{x}{a}+C
\int \frac{dx}{a^2-x^2} \frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C
\int \frac{dx}{x^2-a^2} \frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C

Решите примеры:

  1. \int (2x-3)dx
    Ответ показать
  2. \int \cos^2xdx 
    Ответ показать
  3. \int (2x-3)^2dx
    Ответ показать

Литература

  1. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 459
  2. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012

Тест

Для решения интегралов нужно знать таблицу первообразных (таблицу интегралов) и свойства интегралов. Попробуйте проверить свои знания.


Таблица лучших: Таблица основных интегралов

максимум из 22 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных