Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемости или непрерывности функции в точке в одномерном случае, то перейдите по ссылкам.

Как и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть еще одно необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных, связанное с ее непрерывностью.

Теорема. Если действительная функция нескольких действительных переменных дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Пусть функция f(x) непрерывна в точке a. Тогда ее полное приращение в точке a можно записать в виде

Δf(a)=nk=1df(a)dxkΔxk+α(Δx)|Δx|,

где α(Δx)0 при Δx0. Из этого представления следует, что существует предел

limΔx0Δf(a)=nk=1df(a)dxklimΔx0Δxk+limΔx0(α(Δx)|Δx|)=0,

означающий, что функция f(x) непрерывна в точке a.

Литература

Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Предлагаем проверить свои знания


Таблица лучших: Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Дифференциал в пространстве Rn

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференциала в одномерном случае, то ознакомьтесь с этой статьей.

Дифференциалы высших порядков

Полный дифференциал dU функции от многих переменных — это функция тех же переменных, и можно определить полный дифференциал этой функции. Таким образом, получим дифференциал второго порядка d2U изначальной функции U, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет к дифференциалу третьего порядка d3U изначальной функции и т.д.

Теперь рассмотрим функцию U=f(x,y) двух переменных x и y и предположим, что переменные x и y  независимые переменные. По определению

dU=f(x,y)xx+f(x,y)yy.

При вычислении d2U обратим внимание, что дифференциалы dx и dy независимых переменных следует рассматривать только как постоянные величины, значит их можно выносить за знак дифференциала

d2U=[f(x,y)xx]+[f(x,y)yy]=xf(x,y)x+yf(x,y)y=x[2f(x,y)x2x+  +2f(x,y)xyy]+y[2f(x,y)yxx+2f(x,y)y2]=2f(x,y)x2x2+22f(x,y)yxxy+2f(x,y)y2y2.

Вычисляя аналогичным образом d3U, получим

d3U=3f(x,y)x3x3+33f(x,y)x2dyx2y+33f(x,y)xy2xy2+3f(x,y)y3y3.

Эти выражения d2U и d3U приводят к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка:

dnU=(xx+yy),

причем формулу следует понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, нужно возвести в степень n, применяя бином Ньютона, после чего показатели степеней yx и y будем считать указателями порядка производных по x и y от функции f.

Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных
Пусть функция z=f(x,y) имеет в точке P0(x0,y0) дифференциал

dz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,yo)Δy,(*)

или

dz=fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0). (**)

Рассмотрим уравнение касательной плоскости

Zz0=fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0).

Видим, что правая часть этого уравнения совпадает с правой частью уравнения (*) для дифференциала dx.
1234
Левые части этих равенств равны, но в равенстве (*) левая часть и есть дифференциал функции z=f(x,y) в точке P0(x0,y0), а в уравнении (**) левая часть означает соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости.

Вывод: геометрический смысл дифференциала функции двух переменных равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости.
Правила дифференцировaния
d(U+V)=dU+dV
d(UV)=UdV+VdU
dUV=VdUUdVV2,  V0

Литература

Тест на тему: Дифференциал

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал


Таблица лучших: Тест на тему: Дифференциал

максимум из 12 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение дифференцируемой функции

Дифференцируемость функции нескольких переменных
Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемой функции в одномерном случае, то ознакомьтесь со статьей «Дифференцируемые функции и дифференциал».

Пусть действительная функция нескольких переменных f:RnRm(f:RnR) определена в некоторой окрестности точки xRn и Δx=(Δx1Δxn) — такой вектор независимых переменных, что точка x+Δx тоже принадлежит этой окрестности. В этом случае определено полное приращение функции f

Δf(x)=f(x+Δx)f(x),

соответствующее приращение Δx переменных в точке x. Напомним, что

||Δx||=(Δx1)2++(Δxn)2.

Определение. Функцию f:RnR, определенную в некоторой окрестности точки x, называют дифференцируемой в точке x, если ее полное приращение в окрестности этой точки можно представить в виде

Δf(x)=a1Δx1+a2Δx2++anΔxn+α(Δx)|Δx|,   (1)

где коэффициенты a1,a2,,an не зависят от приращений Δx, а функция α(Δx) является бесконечно малой при Δx0.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если функция нескольких переменных дифференцируема в точке x, то у этой функции в точке x существуют все частные производные fxi(x), i=¯1,n, причем коэффициенты ai в представлении (1) равны значениям соответствующих частных производных в точке x:

ai=fxi(x),i=¯1,n.

Доказательство
Для дифференцируемой в точке x функции f представление (1) верно для любого приращения Δx имеет вид

Δx=(0,,0,Δxi,0,,0), Δxi0,
где номер i выбран произвольным образом и зафиксирован. В этом случае ||Δx||=|Δxi|, соответствующее полное Δf(x) функции f(x) сводится к ее iму частному приращению Δif(x), а равенство (1) принимает вид

Δf(x)=Δif(x)=aiΔxi+α(Δx)|Δx|.

Разделив последнее равенство на Δxi и перейдя к пределу при Δxi0, получим

limΔxi0Δif(x)Δxi=ai+limΔxi0(α(Δx)|Δxi|Δxi)=ai,

поскольку функция α(Δx) бесконечно малая при Δxi0, а отношение |Δxi|Δxi=±1 ограничено, так что последний предел равен нулю. Следовательно, производная fxi(x) в точке x существует и равна ai.
Следствие. Если функция нескольких переменных f:RnR дифференцируема в точке x, то ее полное приращение Δf(x) можно представить в виде

Δf(x)=fx1(x)Δxi++fxn(x)Δxn+α(Δx)|Δx|,

где при α(Δx)0 Δx0.

Литература

Тест: Определение дифференцируемой функции

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал


Таблица лучших: Тест: Определение дифференцируемой функции

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

M1554

 

Задача из журнала «Квант» (1996, №4)

Условие

На основании треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ABMN,BCKL, и ACPQ. На отрезках NQ и PK построены квадраты NQZT и PKXY.Найдите разность площадей квадратов NQZT,PKXY, если известна разность площадей квадратовABMN,BCKL.
444

Ответ:

3d (где 3d — заданная разность площадей).

По теореме косинусов (см. рисунок),

NQ2=AN2+AQ22ANAQcosNAQ=AB2+AC22ABBCcosNAQ, BC2=AB2+AC22ABACcosBAC .

Поскольку NAC+BAC=180, сумма их косинусов равна 0. Поэтому

NQ2+BC2=2AB2+2AC2

Аналогично: PK2+AB2=2BC2+2AC2. Поэтому

NQ2PK2=3AB23BC2=3d

А.Герко, М.Вялый