Определение дифференцируемой функции

Дифференцируемость функции нескольких переменных
Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемой функции в одномерном случае, то ознакомьтесь со статьей «Дифференцируемые функции и дифференциал».

Пусть действительная функция нескольких переменных [latex]f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^m[/latex][latex](f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R)[/latex] определена в некоторой окрестности точки [latex]x\in R^n[/latex] и [latex]\Delta x=(\Delta x_{1}\dots\Delta x_{n})[/latex] — такой вектор независимых переменных, что точка [latex]x+\Delta x[/latex] тоже принадлежит этой окрестности. В этом случае определено полное приращение функции [latex]f[/latex]

[latex]\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)[/latex],

соответствующее приращение [latex]\Delta x[/latex] переменных в точке [latex]x[/latex]. Напомним, что

[latex]||\Delta x||=\sqrt{(\Delta x_{1})^2+\dots +(\Delta x_{n})^2}[/latex].

Определение. Функцию [latex]f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R[/latex], определенную в некоторой окрестности точки [latex]x[/latex], называют дифференцируемой в точке [latex]x[/latex], если ее полное приращение в окрестности этой точки можно представить в виде

[latex]\Delta f(x)=a_{1}\Delta x_{1}+a_{2}\Delta x_{2}+\dots +a_{n}\Delta x_{n}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|, \ \ \ (1)[/latex]

где коэффициенты [latex]a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}[/latex] не зависят от приращений [latex]\Delta x[/latex], а функция [latex]\alpha(\Delta x)[/latex] является бесконечно малой при [latex]\Delta x\rightarrow 0[/latex].

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если функция нескольких переменных дифференцируема в точке [latex]x[/latex], то у этой функции в точке [latex]x[/latex] существуют все частные производные [latex]f_{x_{i}}^{\prime}(x)[/latex], [latex]i=\overline{1,n} [/latex], причем коэффициенты [latex]a_{i}[/latex] в представлении (1) равны значениям соответствующих частных производных в точке [latex]x[/latex]:

[latex]a_{i}=f_{x_{i}}^{\prime}(x), i=\overline{1,n}[/latex].

Доказательство
Для дифференцируемой в точке [latex]x[/latex] функции [latex]f[/latex] представление (1) верно для любого приращения [latex]\Delta x[/latex] имеет вид

[latex]\Delta x=(0,\dots, 0 ,\Delta x_{i}, 0,\dots, 0)[/latex], [latex]\Delta x_{i}\neq0[/latex],
где номер [latex]i[/latex] выбран произвольным образом и зафиксирован. В этом случае [latex]||\Delta x||=|\Delta x_{i}|[/latex], соответствующее полное [latex]\Delta f(x)[/latex] функции [latex]f(x)[/latex] сводится к ее [latex]i-[/latex]му частному приращению [latex]\Delta_{i}f(x)[/latex], а равенство (1) принимает вид

[latex]\Delta f(x)=\Delta_{i}f(x)=a_{i}\Delta x_{i}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|[/latex].

Разделив последнее равенство на [latex]\Delta x_{i}[/latex] и перейдя к пределу при [latex]\Delta x_{i}\rightarrow 0[/latex], получим

[latex]\lim\limits_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}{\frac{\Delta_{i}f(x)}{\Delta x_{i}}}=a_{i}+\lim\limits_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}{(\alpha(\Delta x)\frac{|\Delta x_{i}|}{\Delta x_{i}})}=a_{i}[/latex],

поскольку функция [latex]\alpha(\Delta x)[/latex] бесконечно малая при [latex]\Delta x_{i}\rightarrow 0[/latex], а отношение [latex]\frac{|\Delta x_{i}|}{\Delta x_{i}}=\pm 1[/latex] ограничено, так что последний предел равен нулю. Следовательно, производная [latex]f_{x_{i}}^{\prime}(x)[/latex] в точке [latex] x[/latex] существует и равна [latex]a_{i}[/latex].
Следствие. Если функция нескольких переменных [latex]f:R^n\rightarrow R[/latex] дифференцируема в точке [latex]x[/latex], то ее полное приращение [latex]\Delta f(x)[/latex] можно представить в виде

[latex]\Delta f(x)=f_{x_{1}}^{\prime}(x)\Delta x_{i}+\dots +f_{x_{n}}^{\prime}(x)\Delta x_{n}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|[/latex],

где при [latex]\alpha(\Delta x)\rightarrow 0[/latex] [latex]\Delta x\rightarrow 0[/latex].

Литература

Тест: Определение дифференцируемой функции

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал

Таблица лучших: Тест: Определение дифференцируемой функции

максимум из 10 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных