Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемости или непрерывности функции в точке в одномерном случае, то перейдите по ссылкам.

Как и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть еще одно необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных, связанное с ее непрерывностью.

Теорема. Если действительная функция нескольких действительных переменных дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Пусть функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна в точке [latex]a[/latex]. Тогда ее полное приращение в точке [latex]a[/latex] можно записать в виде

[latex]\Delta f(a)=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\Delta x_{k}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|,[/latex]

где [latex]\alpha(\Delta x)\rightarrow 0[/latex] при [latex]\Delta x\rightarrow 0[/latex]. Из этого представления следует, что существует предел

[latex]\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta f(a)}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{df(a)}{dx_{k}}}\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta x_{k}}+\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{(\alpha(\Delta x)|\Delta x|)}=0[/latex],

означающий, что функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна в точке [latex]a[/latex].

Литература

Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

Предлагаем проверить свои знания


Таблица лучших: Тест:Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Дифференциал в пространстве $\mathbb R^n$

Если у Вас возникли трудности с понятием дифференциала в одномерном случае, то ознакомьтесь с этой статьей.

Дифференциалы высших порядков

Полный дифференциал [latex]dU[/latex] функции от многих переменных — это функция тех же переменных, и можно определить полный дифференциал этой функции. Таким образом, получим дифференциал второго порядка [latex]d^2U[/latex] изначальной функции [latex]U[/latex], который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет к дифференциалу третьего порядка [latex]d^3U[/latex] изначальной функции и т.д.

Теперь рассмотрим функцию [latex]U=f(x,y)[/latex] двух переменных [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] и предположим, что переменные [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex]  независимые переменные. По определению

[latex]dU=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x+\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y[/latex].

При вычислении [latex]d^2U[/latex] обратим внимание, что дифференциалы [latex]dx[/latex] и [latex]dy[/latex] независимых переменных следует рассматривать только как постоянные величины, значит их можно выносить за знак дифференциала

[latex]d^2U=\partial[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x]+\partial [\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y]=\partial x\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\partial y\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\partial x[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x + [/latex]  [latex]+ \frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x \partial y}\partial y]+\partial y[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}]=\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x^2+2\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x \partial y+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}\partial y^2.[/latex]

Вычисляя аналогичным образом [latex]d^3U[/latex], получим

[latex]d^3U=\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^3}\partial x^3+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^2 dy}\partial x^2 \partial y+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x \partial y^2}\partial x \partial y^2+\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial y^3}\partial y^3[/latex].

Эти выражения [latex]d^2U[/latex] и [latex]d^3U[/latex] приводят к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка:

[latex]d^nU=(\frac{\partial }{\partial x}\partial x+\frac{\partial }{\partial y}\partial y)[/latex],

причем формулу следует понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, нужно возвести в степень [latex]n[/latex], применяя бином Ньютона, после чего показатели степеней [latex]y \frac{\partial }{\partial x}[/latex] и [latex]\frac{\partial }{\partial y}[/latex] будем считать указателями порядка производных по [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] от функции [latex]f[/latex].

Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных
Пусть функция [latex]z=f(x,y)[/latex] имеет в точке [latex]P_{0}(x_{0},y_{0})[/latex] дифференциал

[latex]dz=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{o})\Delta y,[/latex](*)

или

[latex]dz=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})[/latex]. (**)

Рассмотрим уравнение касательной плоскости

[latex]Z-z_{0}=f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})[/latex].

Видим, что правая часть этого уравнения совпадает с правой частью уравнения (*) для дифференциала [latex]dx[/latex].
1234
Левые части этих равенств равны, но в равенстве (*) левая часть и есть дифференциал функции [latex]z=f(x,y)[/latex] в точке [latex]P_{0}(x_{0},y_{0})[/latex], а в уравнении (**) левая часть означает соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости.

Вывод: геометрический смысл дифференциала функции двух переменных равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости.
Правила дифференцировaния
[latex]d(U+V)=dU+dV[/latex]
[latex]d(UV)=UdV+VdU[/latex]
[latex]d\frac{U}{V}=\frac{VdU-UdV}{V^2},[/latex][latex] \ \ V\neq[/latex][latex]0[/latex]

Литература

Тест на тему: Дифференциал

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал


Таблица лучших: Тест на тему: Дифференциал

максимум из 12 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение дифференцируемой функции

Дифференцируемость функции нескольких переменных
Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемой функции в одномерном случае, то ознакомьтесь со статьей «Дифференцируемые функции и дифференциал».

Пусть действительная функция нескольких переменных [latex]f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R^m[/latex][latex](f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R)[/latex] определена в некоторой окрестности точки [latex]x\in R^n[/latex] и [latex]\Delta x=(\Delta x_{1}\dots\Delta x_{n})[/latex] — такой вектор независимых переменных, что точка [latex]x+\Delta x[/latex] тоже принадлежит этой окрестности. В этом случае определено полное приращение функции [latex]f[/latex]

[latex]\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)[/latex],

соответствующее приращение [latex]\Delta x[/latex] переменных в точке [latex]x[/latex]. Напомним, что

[latex]||\Delta x||=\sqrt{(\Delta x_{1})^2+\dots +(\Delta x_{n})^2}[/latex].

Определение. Функцию [latex]f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R[/latex], определенную в некоторой окрестности точки [latex]x[/latex], называют дифференцируемой в точке [latex]x[/latex], если ее полное приращение в окрестности этой точки можно представить в виде

[latex]\Delta f(x)=a_{1}\Delta x_{1}+a_{2}\Delta x_{2}+\dots +a_{n}\Delta x_{n}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|, \ \ \ (1)[/latex]

где коэффициенты [latex]a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}[/latex] не зависят от приращений [latex]\Delta x[/latex], а функция [latex]\alpha(\Delta x)[/latex] является бесконечно малой при [latex]\Delta x\rightarrow 0[/latex].

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если функция нескольких переменных дифференцируема в точке [latex]x[/latex], то у этой функции в точке [latex]x[/latex] существуют все частные производные [latex]f_{x_{i}}^{\prime}(x)[/latex], [latex]i=\overline{1,n} [/latex], причем коэффициенты [latex]a_{i}[/latex] в представлении (1) равны значениям соответствующих частных производных в точке [latex]x[/latex]:

[latex]a_{i}=f_{x_{i}}^{\prime}(x), i=\overline{1,n}[/latex].

Доказательство
Для дифференцируемой в точке [latex]x[/latex] функции [latex]f[/latex] представление (1) верно для любого приращения [latex]\Delta x[/latex] имеет вид

[latex]\Delta x=(0,\dots, 0 ,\Delta x_{i}, 0,\dots, 0)[/latex], [latex]\Delta x_{i}\neq0[/latex],
где номер [latex]i[/latex] выбран произвольным образом и зафиксирован. В этом случае [latex]||\Delta x||=|\Delta x_{i}|[/latex], соответствующее полное [latex]\Delta f(x)[/latex] функции [latex]f(x)[/latex] сводится к ее [latex]i-[/latex]му частному приращению [latex]\Delta_{i}f(x)[/latex], а равенство (1) принимает вид

[latex]\Delta f(x)=\Delta_{i}f(x)=a_{i}\Delta x_{i}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|[/latex].

Разделив последнее равенство на [latex]\Delta x_{i}[/latex] и перейдя к пределу при [latex]\Delta x_{i}\rightarrow 0[/latex], получим

[latex]\lim\limits_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}{\frac{\Delta_{i}f(x)}{\Delta x_{i}}}=a_{i}+\lim\limits_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}{(\alpha(\Delta x)\frac{|\Delta x_{i}|}{\Delta x_{i}})}=a_{i}[/latex],

поскольку функция [latex]\alpha(\Delta x)[/latex] бесконечно малая при [latex]\Delta x_{i}\rightarrow 0[/latex], а отношение [latex]\frac{|\Delta x_{i}|}{\Delta x_{i}}=\pm 1[/latex] ограничено, так что последний предел равен нулю. Следовательно, производная [latex]f_{x_{i}}^{\prime}(x)[/latex] в точке [latex] x[/latex] существует и равна [latex]a_{i}[/latex].
Следствие. Если функция нескольких переменных [latex]f:R^n\rightarrow R[/latex] дифференцируема в точке [latex]x[/latex], то ее полное приращение [latex]\Delta f(x)[/latex] можно представить в виде

[latex]\Delta f(x)=f_{x_{1}}^{\prime}(x)\Delta x_{i}+\dots +f_{x_{n}}^{\prime}(x)\Delta x_{n}+\alpha(\Delta x)|\Delta x|[/latex],

где при [latex]\alpha(\Delta x)\rightarrow 0[/latex] [latex]\Delta x\rightarrow 0[/latex].

Литература

Тест: Определение дифференцируемой функции

Предлагаем пройти тесты и закрепить пройденный материал


Таблица лучших: Тест: Определение дифференцируемой функции

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

M1554

 

Задача из журнала «Квант» (1996, №4)

Условие

На основании треугольника [latex]ABC[/latex] во внешнюю сторону построены квадраты [latex]ABMN, BCKL,[/latex] и [latex]ACPQ[/latex]. На отрезках [latex]NQ[/latex] и [latex]PK[/latex] построены квадраты [latex]NQZT[/latex] и [latex]PKXY[/latex].Найдите разность площадей квадратов [latex]NQZT, PKXY[/latex], если известна разность площадей квадратов[latex]ABMN, BCKL[/latex].
444

Ответ:

[latex]3d[/latex] (где [latex]3d[/latex] — заданная разность площадей).

По теореме косинусов (см. рисунок),

[latex]NQ^2=AN^2+AQ^2-2AN\cdot AQ\cdot \cos\angle NAQ=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos\angle NAQ,[/latex] [latex]BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot \cos\angle BAC[/latex] .

Поскольку [latex]\angle NAC+\angle BAC=180^{\circ}[/latex], сумма их косинусов равна [latex]0[/latex]. Поэтому

[latex]NQ^2+BC^2=2AB^2+2AC^2[/latex]

Аналогично: [latex]PK^2+AB^2=2BC^2+2AC^2[/latex]. Поэтому

[latex]NQ^2-PK^2=3AB^2-3BC^2=3d[/latex] А.Герко, М.Вялый