Татьяна Корнилова

Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами

Тригонометрическим многочленом степени $n$ называют бесконечно дифференцируемую и $2\pi$ -периодическую функцию

$T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \sum \limits_{k=1}^{n} a_k \cos kx + b_k \sin kx,$ где

$a_0, a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n$ — некоторые вещественные числа,

$a_n \cdot b_n \neq 0$ . Множество всех тригонометрических многочленов образует линейное пространство.

Теорема 1 (Вейерштрасса)

Любую непрерывную $2\pi$ -периодическую функцию можно с любой степенью точности равномерно приблизить тригонометрическим многочленом, то есть для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такой тригонометрический многочлен $T_n(x)$ , что

$\max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_n(x) \right| < \varepsilon.$

Доказательство

Так, как сумма Фейера $\sigma_n(x)$ — это среднее арифметическое частичных сумм ряда Фурье функции $f(x)$ , которые являются тригонометрическими многочленами, то она также будет тригонометрическим многочленом. В силу теоремы Фейера, для любого $\varepsilon > 0$ найдётся сумма Фейера $\sigma_n(x)$ такая, что

$\max \limits_{x \in \mathbb{R}} \left| f(x) — \sigma_n (x) \right| < \varepsilon.$

Замечание

Непрерывную функция $f(x)$ на отрезке $[-\pi, \pi]$ можно равномерно приблизить на этом отрезке тригонометрическим многочленом в том и только том случае, когда $f(\pi) = f(-\pi)$ .

Теорема 2 (Вейерштрасса)

Непрерывную на отрезке $[a, b]$ функцию $f(x)$ можно равномерно приблизить с любой степенью точности многочленом, то есть для любого $\varepsilon > 0$ найдётся многочлен $P_n(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n$ такой, что

$\max \limits_{a \le x \le b} \left| f(x) — P_n(x) \right| < \varepsilon.$

Доказательство.

Пусть $[a, b] = [0, \pi]$ и чётным образом продолжим функцию $f(x)$ на отрезок $[-\pi, 0]$ , а затем на всю вещественную ось с периодом $2 \pi$ . Получим чётную, $2 \pi$ -периодическую непрерывную функцию, совпадающую с $f(x)$ на отрезке $[0, \pi]$ (рис.1).

В силу теоремы Фейера для любого $\varepsilon > 0$ найдётся тригонометрический многочлен $T_m(x)$ такой, что

$\max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_m(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}. (1)$

Каждая из функций $\sin kx$ и $\cos kx$ является аналитической и поэтому раскладывается в степенной ряд, сходящийся на всей числовой прямой. Так как $T_m(x)$ — это конечная линейная комбинация функций $\sin kx$ и $\cos kx$ , то $T_m(x)$ также раскладывается в степенной ряд, сходящийся для всех вещественных $x$ ,

$T_m(x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots.$

Известно, что на любом отрезке $[\alpha, \beta]$ , лежащем внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится равномерно. Следовательно, $\forall \varepsilon > 0$ существует такое $k$ , что

$\max \limits_{0 \le x \le \pi} \left| T_m(x) — (c_0 + c_1 x + \ldots + c_k x^k) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}. (2)$

Если положить $P_k (x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_k x^k$ , то в силу (1) и (2) получаем

$\le \max \limits_{-\infty < x < +\infty} \left| f(x) — T_m(x) \right| + \max_{0 \le x \le \pi} \left| T_m(x) — P_k(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$

Следовательно,

$\max \limits_{0 \le x \le \pi} \left| f(x) — P_k(x) \right| < \varepsilon.$

Пусть теперь функция $f(x)$ непрерывна на произвольном отрезке $[a, b]$ . Положим $F(t) = f(a + \dfrac{t}{\pi} (b — a))$ , $0 \le t \le \pi$ .

Тогда функция $F(t)$ непрерывна на $[0, \pi]$ и её можно равномерно приблизить на $[0, \pi]$ многочленом $Q_k(t)$ , т.е.

$\max \limits_{0 \le t \le \pi} \left| f(a + \dfrac{t}{\pi} (b — a)) — Q_k(t) \right| < \varepsilon. (3)$

Полагая $x = a + \dfrac{t}{\pi} (b-a), P_k(x) = Q_k (\pi \dfrac{x — a}{b — a})$ ,
получаем из неравенства (3), что

$\max \limits_{a \le x \le b} \left| f(x) — P_k(x) \right| < \varepsilon.$

Литература

Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами

Тест по теме «Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами».

Задание 1 из 5

1.
Что такое тригонометрический многочлен?
- $f(x) = f(a)+\sum \limits_{k=1}^\infty \frac{f^{(k)} (a)}{ k!} (x - a)^k$
- $T_n(x) = \dfrac{a_0}{2} + \sum \limits_{k=1}^{n} a_k \cos kx + b_k \sin kx,$ , где $a_0, a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n$ - некоторые вещественные числа.
Задание 2 из 5

2.
Почему $T_m(x)$ можно разложить в степенной ряд, сходящийся для всех вещественных $x$ , $T_m(x) = c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots$ ?
- Потому, что $T_m(x)$ равномерно непрерывна.
- Потому, что $T_m(x)$ бесконечно дифференцируема.
- Потому, что $T_m(x)$ - это конечная линейная комбинация функций $\sin kx$ и $\cos kx$ .
Задание 3 из 5

3.
Вставьте пропущенную фразу.
- Так, как $f(x)$ является , то сумма Фейера $\sigma_n(x)$ будет тригонометрическим многочленом.
Задание 4 из 5

4.
Какую функцию можно с любой степенью точности равномерно приблизить тригонометрическим многочленом?
- непрерывную $2\pi$ -периодическую непрерывную и $2\pi$ -периодическую
Задание 5 из 5

5.
Можно ли непрерывную функцию $f(x)$ на отрезке $[-\pi, \pi]$ равномерно приблизить на этом отрезке тригонометрическим многочленом, когда $f(\pi) = -f(\pi)$ .

Суммируемостью рядов Фурье методом Фейера

Ядро Фейера

Зададим непрерывную и $2\pi$ -периодическую функцию $f(x)$ . Рассмотрим последовательность $S_n(x)$ частичных сумм ряда Фурье функции $f(x)$ , где

$S_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) \cdot D_n(t)dt,(1)$ а

$D_n(t)$ — ядро Дирихле:

$D_n(t) = \dfrac{1}{2} + \cos t + \ldots + \cos nt = \dfrac{\sin(n + \frac{1}{2})t}{2 \cdot \sin \frac{t}{2}}.(2)$ Определим суммы Фейера как средние арифметические сумм

$S_0(x), S_1(x),\ldots, S_n(x)$ :

$\sigma_n(x) = \dfrac{S_0(x) + \ldots + S_n(x)}{n+1}.(3)$

Подставляя в данную формулу выражение для частичной суммы ряда Фурье через ядро Дирихле, получаем, что

$\sigma_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) \dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1} dt.$ Обозначим

$F_n(t) = \dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1},(4)$ тогда

$\sigma_n(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) F_n(t) dt.(5)$

Функцию $F_n(t)$ назовём ядром Фейера. Приведём следующие свойства ядра Фейера:

$F_n(t)$ — четная, $2\pi$ -периодическая и непрерывная функция;
$\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi F_n(t)dt = 1$ ;
$F_n(t) \ge 0$ ;
$\lim \limits_{n\to\infty} \max \limits_{\delta \le t \le \pi} F_n(t) = 0$ при любом $\delta \in (0, \pi)$ .

Доказательство

Свойства 1) и 2) сразу следуют из формулы (4) и соответствующих свойств ядер Дирихле.

Докажем свойство 3). Подставляя в формулу (4) для ядра Фейера выражение (2) для ядер Дирихле, получаем

$(n + 1) \cdot F_n(t) = D_0(t) + \ldots + D_n(t) = \sum_{k=0}^{n}\dfrac{\sin(k + \frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}} =$

$=\dfrac{1}{4\sin^2 \frac{x}{2}}\sum_{k=0}^{n}2 \cdot \sin \frac{x}{2} \cdot \sin(k + \frac{1}{2})x = \dfrac{1 — \cos(n + 1)x}{4\sin^2 \frac{x}{2}} \ge 0. (6)$

Докажем свойство 4). Из равенства (6) следует, что $\sup \limits_{x \in [\delta, \pi]} F_n(x) \le \dfrac{2}{4\cdot \sin^2 \frac{\delta}{2}} \cdot \dfrac{1}{n + 1} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ , $0 < \delta < \pi$ .

Теорема (Фейера).

Последовательность $\{\sigma_n(x)\}$ сумм Фейера $2\pi$ -периодической непрерывной функции $f(x)$ равномерно сходится к функции $f(x)$ .

Доказательство.

Докажем равномерную непрерывность $f(x)$ на $\mathbb{R}$ .

Спойлер

По теореме Кантора функция $f(x)$ равномерно непрерывна на отрезке $[-2\pi, 2\pi]$ . Поэтому для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для любых $x, t \in [-2\pi, 2\pi]$ таких, что $\left| x — t \right| < \delta$ , выполнено неравенство $\left| f(x) — f(t) \right| < \varepsilon$ .

Пусть $\xi$ и $\eta$ – произвольные числа такие, что $\left| \xi — \eta \right| < \delta < \pi$ . Тогда для любого $\xi \in \mathbb{R}$ надётся целое число $k$ такое, что $\xi — 2k\pi = x \in [-\pi, \pi]$ . Так как по условию $\left| \xi — \eta \right| < \delta < \pi$ , то $t = \eta — 2k\pi \in [-2\pi, 2\pi]$ , и поэтому $\left| f(\xi) — f(\eta) \right| = \left| f(\xi — 2k \pi) — f(\eta — 2k \pi) \right| = \left| f(x) — f(t) \right| < \varepsilon$ , что доказывает равномерную непрерывность функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$ .

[свернуть]

Используя свойства 2) и 3) ядра Фейера, оценим разность $\sigma(x) — f(x)$ . Получаем, что $\sigma(x) — f(x) = \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi (f(x + t) — f(x)) F_n(t)dt$ ,

$\left| \sigma(x) — f(x) \right| \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt. (7)$

Зафиксируем $\varepsilon > 0$ . Воспользуемся равномерной непрерывностью функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$ и найдём $\delta > 0$ такое, что $\forall x \in \mathbb{R}$ и $\forall \left| t \right| < \delta$ выполнено равенство $\left| f(x + t) — f(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$ .

Разобьём отрезок интегрирования $[-\pi, \pi]$ в формуле (7) на три отрезка: $[-\pi, -\delta], [-\delta, \delta]$ и $[\delta, \pi]$ .

Воспользовавшись свойствами 2) и 3) ядра Фейера, получаем, что

$\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t) dt \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} \dfrac{\varepsilon}{2} F_n(t) dt \le$

$\le \dfrac{\varepsilon}{2\pi} \int \limits^{\delta}_{-\delta} F_n(t)dt = \dfrac{\varepsilon}{2}. (8)$

Из непрерывности на $\mathbb{R}$ $2\pi$ -периодичной функции $f(x)$ следует её ограниченность на $\mathbb{R}$ . Пусть $\left| f(x) \right| < M$ . Воспользуемся свойством 4) ядра Фейера и найдём такое $N$ , что $\forall n > N$ выполнено неравенство

$\max \limits_{t \in [\delta, \pi]} F_n(t) < \frac{\varepsilon}{8M}.$

Тогда $\forall n > N$ справедливо неравенство

$\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\pi}_{\delta} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt \le \dfrac{1}{\pi} \int \limits^{\pi}_{\delta} (\left| f(x + t) \right| + \left| f(x) \right|) F_n(t)dt \le$

$\le \dfrac{2M}{\pi} (\pi — \delta) \max \limits_{t \in [\delta, \pi]} F_n(t) < 2M \dfrac{\varepsilon}{8M} = \dfrac{\varepsilon}{4}. (9)$

Аналогично для всех $n > N$ :

$\dfrac{1}{\pi} \int \limits^{-\delta}_{-\pi} \left| f(x + t) — f(x) \right| F_n(t)dt < \dfrac{\varepsilon}{4}. (10)$

Следовательно, для любого $x \in \mathbb{R}$ и для всех $n > N$ выполнено неравенство $\left| \sigma_n(x) — f(x) \right| < \varepsilon$ (из неравенств (7) — (10)), которое означает, что последовательность сумм Фейера $\sigma_n(x)$ равномерно сходится на $\mathbb{R}$ к функции $f(x)$ .

Спойлер

Задан ряд $1 — 1 + 1 — 1 + \ldots$ . Данный ряд расходится, но суммируется в смысле Фейера. Найдём его частичные суммы $S_{2n} = 0$ , $S_{2n-1} = 1$ и средние суммы Фейера $\sigma_{2n} = \dfrac{1}{2}$ , $\sigma_{2n-1} = \dfrac{n}{2n-1}$ , $n = 1, 2, \ldots$ . Следовательно, $\sigma_n \to \dfrac{1}{2}$ .

[свернуть]

Литература

Суммируемость рядов Фурье методом Фейера

Тест по теме «Суммируемость рядов Фурье методом Фейера».

Задание 1 из 5

Соотнесите выражения.

Элементы сортировки

$\dfrac{\sin(n + \frac{1}{2})t}{2 \cdot \sin \frac{t}{2}}$
$\dfrac{D_0(t) + \ldots + D_n(t)}{n + 1}$
$\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi f(x + t) F_n(t) dt$

$D_n(t) =$

$F_n(t) =$

$\sigma_n(x) =$

Задание 2 из 5

2.
Свойством ядра Фейера не является следующее выражение:
- $F_n(t)$ - четная, $2\pi$ -периодическая и непрерывная функция
- $\lim \limits_{n\to\infty} \max \limits_{\delta \le t \le \pi} F_n(t) = 0$
- $\dfrac{1}{\pi} \int \limits_{-\pi}^\pi F_n(t)dt = 1$
- $\forall n \in \mathbb{N}$ $\frac{1}{\pi}\int \limits_{-\pi}^{\pi} F_n(t)dt = \pi$
Задание 3 из 5

3.
Расположите формулы так, чтобы каждая следующая являлась следствием из предыдущей в доказательстве теоремы Фейера.
- равномерная непрерывность $f(x)$ на $\mathbb{R}$
- $\exists \delta > 0$ такое, что $\forall x \in \mathbb{R}$ и $\forall \left| t \right| < \delta$ выполнено равенство $\left| f(x + t) - f(x) \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$
- ограниченность $f(x)$ на $\mathbb{R}$
Задание 4 из 5

4.
Что такое суммы Фейера?
- средние арифметические сумм $S_0(x), S_1(x),\ldots, S_n(x)$
- среднее арифметическое сумм $D_0(t), \ldots, D_n(t)$
Задание 5 из 5

5.
К чему равномерно сходится следовательность $\{\sigma_n(x)\}$ сумм Фейера $2\pi$ -периодической непрерывной функции $f(x)$ ?

Единственность предела сходящейся последовательности

Теорема (единственность предела)

Если последовательность $\{ x^{(n)} \}$ имеет предел, то он единственный.

Доказательство

Предположим противное. Пусть $\{ x^{(n)} \}$ сходится к точкам $a$ и $b$ , то есть $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = a$ и $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = b$ . Тогда, по определению предела сходящейся последовательности, $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, a) = 0$ и $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, b) = 0$ . В силу неравенства треугольника, для любого $n \in \mathbb{N}$ выполнено неравенство

$0 \le \rho(a, b) \le \rho(a, x^{(n)}) + \rho(b, x^{(n)}).$ Так как числовые последовательности

$\rho(a, x^{(n)})$ и

$\rho(b, x^{(n)})$ бесконечно малые, то

$\rho(a, b) = 0$ . Тогда, по аксиоме тождества в метрическом пространстве,

$a = b$ . Это доказывает единственность предела последовательности.

Источники

Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

Ограниченность сходящейся последовательности

Определение

Пусть задано метрическое пространство $X$ . Последовательность $\{ x^{(n)} \}$ называется ограниченной, если существует $C > 0$ и существует $a \in X$ такие, что для любого $n \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство: $\rho(x^{(n)}, a) \le C$ .

Теорема (ограниченность сходящейся последовательности)

Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство

Пусть дана последовательность $\{x^{(n)}\}$ и $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = a$ . По определению сходящейся последовательности, $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, a) = 0$ . По определению ограниченной числовой последовательности, числовая последовательность $\{\rho(x^{(n)}, a)\}$ ограничена, то есть существует $C \in \mathbb{R}$ такое, что для любого $k \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство $\rho(x^{(k)}, a) \le C$ . По определению ограниченной последовательности $\{x^{(n)}\}$ — ограничена.

Спойлер

Рассмотрим последовательность $x^{(n)} = ((-1)^n, \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{2^n})$ , $(n = 1, 2, \ldots)$ точек в пространстве $\mathbb{R}^3$ с заданной евклидовой метрикой. Эта последовательность ограничена: $\rho(x^{(n)}, 0) \le \sqrt{3}$ , но не имеет предела, поскольку не имеет предела числовая последовательность, составленная из первых координат данной последовательности.

Последовательность $y_n = (\frac{n+1}{n}, \frac{1}{n}, \frac{2n-1}{n+3})$ $(n = 1, 2, \ldots)$ точек из $\mathbb{R}^3$ , очевидно, имеет пределом точку $y = (1, 0, 2)$ , так как сходимость в метрике $\mathbb{R}^n$ эквивалентна покоординатной.

[свернуть]

Источники

Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Литература

Предел сходящейся последовательности

Тестовые вопросы по темам «Определение предела сходящейся последовательности. Единственность предела сходящейся последоваетльности. Ограниченность сходящейся последовательности».

Определение предела сходящейся последовательности

Определение

Пусть $\{x^{(n)}\}$ — последовательность точек метрического пространства $X$ . Говорят, что последовательность $\{ x^{(n)} \}$ сходится к точке $x$ и обозначают $\lim \limits_{n \to \infty} x^{(n)} = x$ , то есть точка $x$ называется пределом последовательности ${x^{(n)}}$ , если $\lim \limits_{n \to \infty} \rho(x^{(n)}, x) = 0$ .

Эквивалентное геометрическое определение может быть сформулировано следующим образом.

Определение

Точка $x$ называется пределом последовательности $\{x^{(n)}\}$ , если в любой окрестности точки $x \in X$ содержатся все точки последовательности $\{x^{(n)}\}$ , за исключением, быть может, конечного их числа, то есть какой бы шар с центром в точке $x$ мы не взяли, в него попадут все точки последовательности $\{x^{(n)}\}$ , кроме, быть может, конечного их числа.

Источники

Конспект лекций по математическому анализу Лысенко З.М.

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Теорема 1 (Вейерштрасса)

Доказательство

Замечание

Теорема 2 (Вейерштрасса)

Доказательство.

Литература

Теорема Вейерштрасса о равномерных приближениях непрерывных функций многочленами

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Ядро Фейера

Доказательство

Теорема (Фейера).

Доказательство.

Литература

Суммируемость рядов Фурье методом Фейера

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

Теорема (единственность предела)

Доказательство

Источники

Литература

Определение

Теорема (ограниченность сходящейся последовательности)

Доказательство

Источники

Литература

Предел сходящейся последовательности

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Определение

Определение

Источники

Литература