Задача из журнала «Квант» (1999 год, 6 выпуск)
Условие
Пусть $x, \ y, \ z, \ p, \ q, \ r$ — положительные числа, такие, что $p+q+r=1$, $x^{p}y^{q}z^{r}=1.$ Докажите неравенство $$\frac{p^2x^2}{qy+rz}+\frac{q^2y^2}{px+rz}+\frac{r^2z^2}{px+qy} \geqslant \frac{1}{2}$$
Решение
Докажем вначале некоторые вспомогательные неравенства.
Лемма 1.$$\begin{equation}\label{eq:m1710_first} x^{\alpha}-\alpha x \leqslant 1 — \alpha \end{equation},$$ где $x\gt0, \ 0 \lt \alpha \lt 1.$
При $x\gt0$ рассмотрим функцию
$$f\left ( x \right )=x^{\alpha}-\alpha x,$$ где $0\lt\alpha\lt1.$ Имеем $${f}’\left ( x \right )=\alpha \left ( x^{\alpha-1}-1 \right ) \begin{cases} \gt0 \text { при } 0 \lt x \lt 1\\
\lt0 \text { при } x \gt 1
\end{cases}$$
Следовательно функция возрастает, пока $x$ изменяется в промежутке $\left ( 0; \ 1 \right ]$ и убывает в промежутке $\left [ 1; +\infty \right ).$ Отсюда ясно, что $f\left ( 1 \right )=1-\alpha$ будет наибольшим значением функции в промежутке $\left ( 0; +\infty \right ).$
Лемма 2.$$\begin{equation}\label{eq:m1710_second} a^{\alpha}b^{\beta} \leqslant \alpha a + \beta b\end{equation},$$ где $a, \ b, \ \alpha, \ \beta \gt 0, \ \alpha + \beta = 1.$
Для доказательства достаточно положить в $\eqref{eq:m1710_first}$ $x=\frac{a}{b}$ и обозначить $1- \alpha$ через $\beta.$
Лемма 3.$$a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} \leqslant \alpha a + \beta b + \gamma c,$$ где $a, \ b, \ c, \ \alpha, \ \beta, \ \gamma \gt 0, \ \alpha + \beta + \gamma=1.$
Для доказательства достаточно дважды применить неравенство $\eqref{eq:m1710_second}$:
$$a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}=a^{\alpha} \left ( b^{\frac{\beta}{\beta + \gamma}}c^{\frac{\gamma}{\beta + \gamma}} \right )^{\beta + \gamma} \leqslant \alpha a + \left ( \beta + \gamma \right )b^{\frac{\beta}{\beta + \gamma}}c^{\frac{\gamma}{\beta + \gamma}} \leqslant \\
\leqslant \alpha a + \left ( \beta + \gamma \right )+ \left ( \frac{\beta}{\beta + \gamma}b+\frac{\gamma}{\beta + \gamma}c \right ) \leqslant \alpha a + \beta b + \gamma c,$$что и требовалось доказать.
Аналогично можно было бы совершить и переход от $n$ к $n + 1$ и доказать — по методу математической индукции — общее неравенство, которое (в измененных обозначениях) имеет вид
$$\begin{equation}\label{eq:m1710_third} {a_1}^{q_1}{a_2}^{q_2} \ldots {a_n}^{q_n} \leqslant q_1a_1 + q_2a_2 + \ldots + q_na_n, \end{equation}$$ (где $a_1,\ldots,a_n, \ q_1,\ldots,q_n\gt0, \ q_1+\ldots+q_n=1$).
Равенство достигается лишь тогда, когда $a_1 = \ldots = a_n.$
Перейдем теперь к доказательству неравенства задачи.
Воспользуемся неравенством Коши — Буняковского
$$\left (u_1 u_2 + v_1 v_2 + w_1 w_2 \right )^2 \leqslant \left ( {u_1}^2 + {v_1}^2 + {w_1}^2 \right )\left ( {u_2}^2 + {v_2}^2 + {w_2}^2 \right ),$$ где $u_i, \ v_i, \ w_i \ \left (i = \overline {1, 2} \right )$ — действительные числа. Полагая
$$u_1 = \frac{px}{\sqrt{qy+rz}}, \ v_1 = \frac{qy}{\sqrt{px+rz}}, \ w_1 = \frac{rz}{\sqrt{px+qy}},\\
u_2 = \sqrt{qy+rz}, \ v_2 = \sqrt{px+rz}, \ w_2 = \sqrt{px+qy},$$ будем иметь неравенство
$$
\begin{multline}\left (px + qy + rz \right )^2 \leqslant \left ( \frac{p^2x^2}{qy + rz} + \frac{q^2y^2}{px + rz} + \frac{r^2z^2}{pz + qy} \right ) \times \\ \times 2 \left (px + qy + rz \right ),\end{multline}$$ из которого следует, что
$$\frac{p^2x^2}{qy + rz} + \frac{q^2y^2}{px + rz} + \frac{r^2z^2}{pz + qy} \geqslant \frac{1}{2} \left (px + qy + rz \right ).$$ Так как $p + q + r = 1$, то для оценки суммы $px + qy + rz$ снизу можно применить неравенство леммы 3:
$$px + qy + rz \geqslant x^p y^q z^r = 1.$$ Неравенство задачи доказано.
Замечание 1. Полагая в неравенстве $\eqref{eq:m1710_third}$ $q_1 = \ldots = q_n=\frac{1}{n}$, получим
$$\sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} \leqslant \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}.$$ Из неравенства $\eqref{eq:m1710_third}$ нетрудно вывести также и некоторые другие классические утверждения. Например, легко получить так называемое неравенство Коши — Гёльдера:
$$\left \{ \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i \right \} \leqslant \left \{ \sum\limits_{i=1}^n a_i ^k \right \} ^ \frac{1}{k} \cdot \left \{ \sum\limits_{i=1}^n b_i ^{{k}’} \right \} ^ \frac{1}{{k}’}$$ (где $a_i, \ b_i \gt 0, \ k, \ {k}’ \gt 1, \ \frac{1}{k} + \frac{1}{{k}’} = 1$), а также неравенство, носящее имя Минковского:
$$\left \{ \sum\limits_{i=1}^n \left ( a_i + b_i \right ) ^k \right \} ^ \frac{1}{k} \leqslant \left \{ \sum\limits_{i=1}^n a_i ^k \right \} ^ \frac{1}{k} + \left \{ \sum\limits_{i=1}^n b_i ^k \right \} ^ \frac{1}{k}$$ (где $a_i, \ b_i \gt 0, \ k \gt 1$).
Замечание 2. Положим в неравенстве задачи $p = q = r = \frac{1}{3}:$
$$\frac{x^2}{y + z} + \frac{y^2}{z + x} + \frac{z^2}{x + y} \geqslant \frac{3}{2}.$$ Теперь положим $a = \frac{1}{x}, \ b = \frac{1}{y}, \ c = \frac{1}{z}.$ Получим:
$$\frac{1}{a^3 \left (b + c \right )} + \frac{1}{b^3 \left (c + a \right )} + \frac{1}{c^3 \left (a + b \right )} \geqslant \frac{3}{2},$$ где $a \gt 0, \ b \gt 0, \ c \gt 0, \ abc = 1.$
Эта задача предлагалась в 1995 году на Международной математической олимпиаде (см. задачу М1526).