Лозинская Анастасия — Страница 2

Теорема Ролля о корне производной

Формулировка

Если $f(x)\in C[a,b]$ (т.е. она непрерывна на этом промежутке), дифференцируема на (a,b) и $f(a)=f(b)$ тогда $\exists \xi \in (a,b): f'(\xi )=0.$ Теорему Ролля можно сформулировать кратко так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один ноль производной этой функции. Для случая $f(a)=f(b)=0$ теорема формируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один ноль ее производной.

Доказательство

Обозначим $M=sup f(x), m=inf f(x)$ для $a\leq x\leq b.$ По теореме Вейерштрасса на отрезке $[a,b]$ существуют такие точки $c_{1}$ и $c_{2},$ что $f(c_{1})=m, f(c_{2})=M.$ Если $M=m,$ то $f(x)=const,$ и в качестве $\xi$ можно взять любую точку интервала $(a,b).$
Если $m\neq M,$ то $m<M,$ и поэтому $c_{1} 0$ такое, что $U_{\delta}(c_{1})\subset (a,b).$ Так как для всех $x\in U_{\delta }(c_{1})$ выполняется условие $f(x)\geq f(c_{1})=m,$ то по теореме Ферма $f'(c_{1})=0,$ т.е. условие $f'(\xi )=0$ выполняется при $\xi=c_{1}.$ Аналогично рассматривается случай когда $c_{2}\in (a,b).$

Геометрический смысл теоремы Ролля

При условиях теоремы $\exists \xi \in (a,b):$ касательная к $y=f(x)$ в точке $(\xi, f(\xi ))$ параллельна оси ox

Замечание! Все условия теоремы существенны.

Пример

Удовлетворяет ли функция $y=2-|x|,$ определенная на всей вещественной оси, условиям теоремы?

Спойлер

Теорема Ролля о корне производной

Этот тест был составлен для того, чтобы проверить знание теоремы Ролля о корне производной

Задание 1 из 2

1.
Удовлетворяет ли функция $y=2-|x|$ условиям теоремы?
- Всем кроме одного
- Полностью
- Не знаю
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 2

2.
Составьте теорему
- Если функция непрерывна на [a,b]
- дифференцируема на (a,b)
- $f(a)=f(b)$
- $\exists \xi (a,b):$
- $f'(\xi )=0$
Правильно

Неправильно

Литература

Конспект лекций Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.165-166
Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140

Производные и дифференциалы высших порядков

Вторая производная функции в точке

$x_{0}$

Пусть функция

$f(x)$ имеет производную во всех точках интервала

$(a,b)$ . Если

$f'(x)$ дифференцируема в точке

$x_{0}\in (a,b)$ , то ее производную называют производной второго порядка в точке

$x_{0}$ и обозначают

$f»(x_{0}),$

$f^{(2)}(x_{0}),$

$\frac{d^{2}f(x_{0})}{dx^{2}},$

$f_{xx}^{»}(x_{0}).$

Таким образом, по определению
$f^{»}(x_{0})=\underset{\Delta x\rightarrow 0}{\lim}\frac{f'(x_{0}+\Delta x)-f'(x_{0})}{\Delta x}.$

$f»(x_{0})$

$f(x)= \sin{x}$

Спойлер

$f'(x)=\cos{x}=\sin{(\frac{\pi }{2}-x)}=\sin{(x+\frac{\pi }{2})}$
$f»(x)=-\sin{x}=\sin{(2\tfrac{\pi }{2}+x)}$

[свернуть]
$f(x)=x\sqrt{1+x^{2}}$

Спойлер

$f'(x)=\sqrt{1+x^{2}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{1+2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}};$
$f»(x)=(\frac{1+2x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}})'[latex]=\frac{4x\sqrt{1+x^{2}}-(1+2x^{2})x(1+x^{2})^{-\frac{1}{2}}}{1+x^{2}}=\frac{3x+2x^{3}}{(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}};$

[свернуть]

В общем случае производные высших порядков вычисляются по принципу:
$f^{(n)}(x)=(f^{(n-1)}(x))'$

Т.е. производные более высоких порядков вычисляются через производные более низкого порядка. Если рассматривать пример 1, то можно заметить, что вторая производная была взята как производная производной первого порядка, а производная третьего порядка выглядит так:
$f»'(x)=(f»(x))’=(-\sin{x})’=-\cos{x}=\sin{(x+3\frac{\pi }{2})}$

Можно заметить некую закономерность в нахождении производных высшего порядка для $sinx$ и вывести общую формулу для этой функции:
$f^{(n)}(x)=\sin{(x+n\frac{\pi }{2})}$

Существуют функции, которые можно дифференцировать бесконечное количество раз.

Бесконечно дифференцируемая функция

Если функция имеет на

$[a,b]$ производные всех порядков, то она называется бесконечно дифференцируемой на

$[a,b]$

Например, к таким функциям можно отнести $f(x)=e^{x}$ т.к. $f^{n}(x)=e^{x}$

$\alpha f+\beta g$ тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и $(\alpha f+\beta g)^{(n)}=\alpha f^{(n)}+\beta g^{(n)}.$
$fg$ тоже имеют производные до n-ного порядка включительно и
$(fg)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$ (Формула Лейбница)

Замечание! Дифференциалы первого порядка имеют инвариантную форму. Т.е., несмотря на то, будет ли x зависимой или независимой переменной, дифференциал имеет вид
$dy=f'(x)dx.$ Второй дифференциал этим свойством уже не обладает.

Производные и дифференциалы высших порядков

Этот текст составлен для проверки знаний по теме «Производные и дифференциалы высших порядков»

Задание 1 из 4

1.
Вставьте пропущенное слово
- Дифференциалы первого порядка имеют (инвариантную) форму.
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Найдите производную четвёртого порядка функции $f(x)=7x^{3}+2x$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Справедливо ли выражение: [latex]f»(x)
- Да
- Нет
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Вставьте нужное слово
- Операция дифференцирования (ухудшает) свойства функций
Правильно

Неправильно

Литература

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Формулировка

Если функции $f\left( x \right)$ и $g\left(x\right)$ непрерывны на отрезке $[a,b]$ , дифференцируемы на интервале (a,b), причем $g'(x)\neq 0$ во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка $\xi \in (a,b)$ такая, что $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ .

Доказательство

Рассмотрим функцию $\varphi(x)=f(x)+\lambda g(x)$ , где число $\lambda$ выберем таким, чтобы выполнялось равенство $\varphi (a)=\varphi (b)$ , которое равносильно следующему:
$f(b)-f(a)+\lambda (g(b)-g(a))=0$ .

Заметим, что $g(b)\neq g(a)$ , так как в противном случае согласно Теореме Ролля существовала бы точка $c\in (a,b)$ такая, что $g'(c)=0$ вопреки условиям данной теоремы. Из равенства $f(b)-f(a)+\lambda (g(b)-g(a))=0$ следует, что $\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ .

Так как функция $\varphi$ при любом $\lambda$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема на интервале $(a,b)$ , а при значении $\lambda$ , определяемом предыдущей формулой, принимает равные значения в точках $a$ и $b$ , то по теореме Ролля существует точка $\xi \in (a,b)$ такая, что $\varphi ‘(\xi )=0$ , т.е. $f'(\xi )+\lambda g'(\xi )=0$ , откуда $\frac{f'(\xi )}{g'(\xi )}=-\lambda$ . Из этого равенства и формулы $\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ следует $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ .

Замечание. Теорема Лагранжа — частный случай теоремы Коши $(g(x)=x)$ .
Замечание. Теорему Коши нельзя получить используя теорему Лагранжа отдельно к числителю и к знаменателю.

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Правильно ли вы поняли обобщенную теорему Лагранжа?

Задание 1 из 3

1.
Чьим именем названа теорема, являющаяся частным случаем данной?
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Допишите недостающее условие теоремы Коши: $f$ и $g$ непрерывны на $\left[a,b\right]$ , $g'(x)\neq 0$ и
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Вставьте слово
- Теорему Коши (нельзя) получить используя теорему Лагранжа отдельно к числителю и знаменателю
Правильно

Неправильно

Литература

Конспект лекций Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.157-158

Точки экстремума

Локальный минимум.

Пусть

$f(x)$ лежит выше

$f(x_{0})$ для всех

$x\in U_{\delta }(x_{0})$ тогда говорят, что функция имеет локальный минимум в точке

$x_{0}.$

Локальный максимум.

Пусть

$f(x)$ лежит ниже

$f(x_{0})$ для всех

$x\in U_{\delta }(x_{0})$ тогда говорят, что функция имеет локальный максимум в точке

$x_{0}.$

Точки локального максимума и минимума называют точками локального экстремума.

Это были формальные определения, но можно объяснить иначе:
Возьмем некоторую точку на графике функции и некоторую ее окрестность. Если в окрестности это наивысшая точка, то назовем ее локальным максимумом, если же самая низкая, то минимумом.

Пример

Найти экстремумы функции $f(x)=2x^{3}-15x^{2}+36x-14.$

Спойлер

Так как $f'(x) = 6x^{2} — 30x +36 = 6(x -2)(x — 3),$ то критические точки функции $x_{1} = 2$ и $x_{2}=3.$ Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку $x_{1} = 2$ производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку $x_{2}=3$ производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке $x_{2}=3$ у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
$x_{1} = 2$ и $x_{2}=3,$ найдем экстремумы функции: максимум $f(2) = 14$ и минимум $f(3) = 13.$

[свернуть]

Точки экстремума

Этот тест создан чтобы проверить ваше понимание темы «Точки экстремума»

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 2
Можно ли сказать, что локальный максимум является самой высокой точкой функции?
- Да
- Нет
- Спорно
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 2
Рассортируйте функции по убыванию их графиков на отрезке [-1,1]
- $arcctgx$
- $y=2$
- $arcsinx$
- $\sqrt{x}$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 2
Чему равна производная функции в точке экстремума?
Правильно

Неправильно

Литература

Конспект лекций Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.164

Таблица производных

Функция	Производная	Условие
$c$	$0$	$c — const$
$x^{\alpha}$	$\alpha x^{\alpha -1}$	$x\in \Re$ , $x>0$
$a^{x}$	$a^{x}\ln a$	$a>0, x \in \Re$
$e^{x}$	$e^{x}$
$\log_{a}x$	$\frac{1}{x \ln{a}}$	$a>0, a\neq 1, x>0$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$x \ne 0$
$\sin x$	$\cos x$	$x\in \Re$
$\cos x$	$-\sin x$	$x\in \Re$
$\mathop{\rm tg} x$	$\frac{1}{\cos^{2} x}$	$x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n, n\in \mathbb{Z}$
$\mathop{\rm ctg} {x}$	$-\frac{1}{\sin^{2}x}$	$x\neq \pi n, n\in \mathbb{Z}$
$\mathop{\rm arcsin} x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	$\left \| x \right \|< 1$
$\mathop{\rm arccos} x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$	$\left \| x \right \|< 1$
$\mathop{\rm arctg} x$	$\frac{1}{1+x^{2}}$	$x\in \Re$
$\mathop{\rm arcctg} x$	$-\frac{1}{1+x^{2}}$	$x\in \Re$
$\mathop{\rm sh} x$	$\mathop{\rm ch} x$	$x\in \Re$
$\mathop{\rm ch} x$	$\mathop{\rm sh} x$	$x\in \Re$
$\mathop{\rm th} x$	$\frac{1}{\mathop{\rm ch}^{2} x}$	$x\in \Re$
$\mathop{\rm cth} x$	$-\frac{1}{\mathop{\rm sh}^{2} x}$	$x\neq 0$

Пример:

Найти $f'(x)$ , если функция $f(x)$ задана следующей формулой:

$f(x)= \sin2x$

Спойлер

$f'(x)=(\sin2x)’=2\cos2x$

[свернуть]
$f(x)=e^{-x^{2}}\ln(1+x^{3})$

Спойлер

$f'(x)=-2xe^{-x^{2}}\ln(1+x^{3})+e^{-x^{2}}\frac{3x^{2}}{1+x^{3}}$

[свернуть]

Таблица производных

Тест составлен для проверки знания таблицы производных.

Задание 1 из 4

1.
Количество баллов: 2
Найдите производную функции $f(x)=\sin{2x}$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 2
Напишите производную функции $f(x)=- \cos{x}$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 2
Выберите правильную производную функции $f(x)=c$
- $0$
- $c$
- $c^{2}$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 2
Производная какой функции является $\frac{1}{x}$ ?
Правильно

Неправильно

Тест на знание таблицы производных

Не хотите ли проверить, как хорошо вы знаете таблицу производных?

Задание 1 из 1

1.

Подберите правильно пару

Элементы сортировки

$0$
$\alpha x^{\alpha -1}$
$a^{x}\ln{a}$
$e^{x}$
$\frac{1}{x\ln{a}}$
$\frac{1}{x}$
$\cos{x}$
$- \sin{x}$
$\frac{1}{\cos^{2} x}$
$-\frac{1}{\sin^{2}x}$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
$\frac{1}{1+x^{2}}$
$-\frac{1}{1+x^{2}}$
$\mathop{\rm ch} x$
$\mathop{\rm sh} x$
$\frac{1}{\mathop{\rm ch}^{2} x}$
$-\frac{1}{\mathop{\rm sh}^{2} x}$

$c$

$x^{\alpha}$

$a^{x}$

$e^{x}$

$\log_{a}x$

$\ln{x}$

$\sin{x}$

$\cos{x}$

$\mathop{\rm tg} x$

$\mathop{\rm ctg} {x}$

$\mathop{\rm arcsin} x$

$\mathop{\rm arccos} x$

$\mathop{\rm arctg} x$

$\mathop{\rm arcctg} x$

$\mathop{\rm sh} x$

$\mathop{\rm ch} x$

$\mathop{\rm th} x$

$\mathop{\rm cth} x$

Литература

Конспект лекций Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, физмат-лит, 2001, стр.153

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Формулировка

Доказательство

Геометрический смысл теоремы Ролля

Пример

Теорема Ролля о корне производной

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Производные и дифференциалы высших порядков

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Формулировка

Доказательство

Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Точки экстремума

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Пример:

Таблица производных

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Тест на знание таблицы производных

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки