Теорема (Критерий дифференцируемости функции)

Для того, чтобы функция [latex]f[/latex] была дифференцируема в точке [latex]x_{0}[/latex] необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в точке [latex]x_{0}[/latex]. При этом дифференциал функции и её производная связаны следующим равенством:
[latex]dy={f}’ (x^{0})\Delta x[/latex].

Доказательство

Необходимость
Если функция [latex]f(x)[/latex]−дифференцируема в точке [latex] x_{0} [/latex], то [latex]\exists A: \Delta f(x))=A+\Delta x\alpha (\Delta x)[/latex], где: [latex]\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\alpha (\Delta x)=0[/latex].
Отсюда получаем, что [latex]\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{A}{\Delta x}+\frac{\Delta x\alpha (\Delta x)}{\Delta x}=[/latex][latex]=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}A+\alpha (\Delta x)=A[/latex]. Отсюда [latex]\exists f{}'(x_{0})=A[/latex], откуда следут, что [latex]dy=f{}'(x_{0})\Delta x[/latex].

Достаточность
Если существует [latex] f{}'(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} [/latex], то [latex] \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}- f{}'(x_{0}) = \alpha (\Delta x) [/latex], где [latex] \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\alpha (\Delta x)=0 [/latex]. Отсюда следует, что [latex] \Delta f(x)=f{}'(x_{0})\Delta x+\alpha (\Delta x)\Delta x [/latex]. Полученное равенство означает, что функция [latex] f(x) [/latex] — дифференцируема в точке [latex] x_{0} [/latex].  [latex]\square [/latex].