Корень степени $n$ из комплексного числа
Определение Пусть $z=r\left ( \cos\varphi + i\sin\varphi \right ).$ Тогда корнем степени $n$ из комплексного числа $z$ называется комплексное число $w$, для которого верно равенство $w^n=z.$
Легко заметить, что при $z=0 \Rightarrow w=0.$ Поэтому предположим, что $z \neq 0$
Пусть $w=\rho \left ( \cos\psi + i\sin\psi \right ),$ чему тогда равны $\rho,\:\psi?$
Распишем равенство $w^n=z,\:z=r\left ( \cos\varphi + i\sin\varphi \right )$ $$\left ( \rho \left ( \cos\psi +i\sin\psi \right ) \right )^n=r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$$ Воспользуемся формулой Муавра:$$ \rho^n \left ( \cos n \psi +i\sin n \psi \right ) =r(\cos\varphi +i\sin\varphi )$$Из равенства комплексных чисел следует равенство их аргументов и модулей. $$\rho = \sqrt[n]{r}$$ $$\psi =\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n},\:k=0,1,..,n-1$$ Тогда: $$w_k=\sqrt[n]{r}\left( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )+i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right )\right )$$ Пришли к зависимости корня от параметра $k$. Рассмотрим лемму.
Лемма. $w_k=w_l\Leftrightarrow \left ( k-l \right )\vdots \,n$
$w_k=w_l$ равные комплексные числа, а значит их аргументы равны $$\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi k}{n}=\frac{\varphi }{n}+\frac{2\pi l}{n}+2\pi t$$ $$ 2\pi \left(k-l \right )=2\pi nt\Leftrightarrow k-l=nt\Leftrightarrow \left(k-l \right )\vdots \: n$$
$W=\left \{ w_0,\:w_1,…,\:w_{n-1} \right \}$ — множество корней степени $n$ из $z$. В силу вышеизложенной леммы все корни попарно различны. Значит мы имеем только n различных значений аргумента, при этом модули корней равны $$\left | \sqrt[n]{z} \right |=\sqrt[n]{\left | z \right |}$$ $$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[n]{z}=\frac{\mathop{\rm Arg}\,z+2\pi k}{n},\,k=\overline{0,\,n-1}$$Общий вид корня степени $n$ $$\sqrt[n]{z}= \left \{ \sqrt[n]{r}\left ( \cos\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n} \right ) +i\sin\left ( \frac{\varphi }{n} +\frac{2\pi k}{n}\right ) \right) \right \},$$ где $k\in \mathbb{N},\,k=\overline{0,\,n-1}$
Замечание. $\displaystyle\frac{\varphi }{n}$ называется фазой, $\displaystyle\frac{2\pi k}{n}$ называется сдвигом по фазе.
Следствие. Так как все значения корня имеют одинаковый модуль, то есть одинаковое расстояние от начала координат (равное модулю этих корней), все они вписаны в окружность с центром в начале координат. Множество всех корней степени $n$ из комплексного числа изображается как правильный $n$-угольник.
Квадратный корень из комплексного числа
Извлечь квадратный корень из комплексного числа можно и без перехода к тригонометрической форме. Рассмотрим теорему
Теорема. Если $z = a + bi,\:\left(a^2+b^2\neq 0\right),$ то существует ровно 2 корня
- $b = 0,\:a > 0 \Rightarrow w = \pm \sqrt{a}$
- $b = 0,\: a < 0 \Rightarrow w = \pm i\sqrt{a}$
- $b \neq 0 \Rightarrow w = \pm \left(\sqrt{\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+b^2} + a} {2}}+i \, \mathop{\rm sign} \, b \sqrt{\displaystyle\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)$
Пусть $w=x+yi,$ где $x,\:y\in \mathbb{R}$ $$w^2=z \Rightarrow (x+yi)^2=a+bi$$ $$x^2-y^2+2xyi=a+bi$$ Получили $$x^2-y^2=a$$ $$2xy=b$$ Если $b=0$, тогда или $x=0$, или $y=0$.
- $b=0,\:y=0.$ Тогда получим $x^2=a \Rightarrow \: x\pm \sqrt{a}$
- $b=0,\:x=0.$ Тогда получим $-y^2=a \Rightarrow a<0.$ Тогда $y^2=-a \Rightarrow y^2=ai^2\Rightarrow y=\pm\sqrt{a}i$
- $b \neq 0,\: x \neq 0.$
Выразим $y$ из равенства $$y=\frac{b}{2x}$$Подставим значение $y$ в равенство, получим: $$x^2-\frac{b^2}{4x^2}=a$$ Домножим обе части равенства на $4x^2$ $$4x^4-4x^2a-b^2=0$$
Воспользуемся формулой дискриминанта, тогда $$x_{1,2}^{2}=\frac{2a\pm\sqrt{4a^2+4b^2}}{4}=\frac{a\pm\sqrt{a^2+b^2}}{2},\: x_{1,2}^{2}\in \mathbb{R}$$ $$x_{1}^{2}=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}>0$$ $$x_{2}^{2}=\frac{a-\sqrt{a^2+b^2}}{2}<0,$$так как $x_{2}^{2}\in \mathbb{R} \Rightarrow$ не имеет решений $$x=\pm \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}$$
Выразим $y^2$ из равенства $$y^2=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}-a= \frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}$$ Тогда $$y=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}$$ Из равенства следует, что $\mathop{\rm sign}\,xy=\mathop{\rm sign}\,b.$ Значит, если $\mathop{\rm sign}\,b>0$ то $\mathop{\rm sign}\,x=\mathop{\rm sign}\,y,$ если же $\mathop{\rm sign}\,b<0$, то $\mathop{\rm sign}\,x=-\mathop{\rm sign}\,y.$ Откуда следует: $$w=\pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\,\mathop{\rm sign}\,b \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}\right)$$
Примеры решения задач
- Найти общий вид корней третьей степени из $z=-\sqrt{3}+i$
РешениеЗапишем $z$ в тригонометрической форме $$z=2\left ( \cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6} \right )$$Аргументы и модули корней третьей степени будут иметь вид:$$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[3]{z}=\frac{5 \pi }{18}+\frac{2 \pi k }{3},\:k=0,1,2$$ $$\left | \sqrt[3]{z} \right |=\sqrt[3]{2}$$Тогда общий вид корней будет таков $$w_k=\left \{ \sqrt[3]{2}\left ( \cos\left ( \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \right )+i\sin\left ( \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3} \right ) \right ) \right \},$$ $$k=0,1,2$$
[свернуть] - Найти значения квадратных корней из $z=3-4i$
Решение$$w_{1,2}=\pm \sqrt[2]{z},\:w=x+iy$$ $$\left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$
Ранее мы получили равенства для $x^2$ и $y^2$ . Воспользуемся этими равенствами $$y^2=\frac{1}{2}\left (-3+5 \right )=1$$ $$x^2=\frac{1}{2}\left ( 3+5 \right )=4 $$ Откуда $$x=\pm 2,\:y=\pm 1$$ Значит $$w_{1,2}=\pm \left(2-i\right)$$[свернуть] - Решите уравнение $z^2=2i$
Решение$$z=\pm \sqrt{2i}$$Уравнение будет иметь два корня $w_{1,2}$. Найдем их
$$w_{1,2}=\pm z,\:w=x+iy$$ $$\left | z^2 \right |=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{0^2+2^2}=\sqrt{4}=2$$
Ранее мы получили равенства для $x^2$ и $y^2$ . Воспользуемся этими равенствами $$y^2=\frac{1}{2}\left (0+2 \right )=1$$ $$x^2=\frac{1}{2}\left ( 0+2 \right )=1 $$ Откуда $$x=\pm 1,\:y=\pm 1$$ Значит корни уравнения будут равны $$w_{1,2}=\pm \left(1+i\right)$$[свернуть] - Будет ли $z_1=\sqrt[4]{2}\left ( \cos \frac{14\pi}{24}+i\sin\frac{14\pi}{24} \right )$ корнем четвертой степени из $z=\sqrt{3}+i$?
РешениеНайдем общий вид корней четвертой степени из $z$ и проверим, принадлежит ли $z_1$ множеству корней. Запишем $z$ в тригонометрической форме$$z=2\left ( \cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6} \right )$$Аргументы и модули корней четвертой степени будут иметь вид: $$\mathop{\rm Arg}\,\sqrt[4]{z}=\frac{ \pi }{24}+\frac{ \pi k }{2},\:k=0,1,2,3$$ $$\left | \sqrt[4]{z} \right |=\sqrt[4]{2}$$ Тогда общий вид корней будет таков $$w_k= \left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2} \right ) \right ) \right \},$$ $$k=0,1,2,3$$ Корни четвертой степени комплексного числа $z$ равны $$w_0=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_1=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{13\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{13\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_2=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{25\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{25\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $$w_3=\left \{ \sqrt[4]{2}\left ( \cos\left ( \frac{37\pi}{24} \right )+i\sin\left ( \frac{37\pi}{24} \right ) \right ) \right \}$$ $z_1$ не равен какому-либо корню четвертой степени из $z,$ значит он не является корнем четвертой степени из $z$
[свернуть]
Извлечение корней из комплексных чисел
Тест на знание темы «Извлечение корней из комплексных чисел»
Смотрите также
- Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, Глава 4, § 19, «Дальнейшее изучение комплексных чисел» (стр. 123-127)
- К. Д. Фадеев Лекции по алгебре М.: Наука, 1984, Глава 2, §3, «Обоснование комплексных чисел»(стр. 39-42)
- А. И. Кострикин Введение в алгебру М.: Наука, 1994, Глава 5, §1, «Обоснование комплексных чисел»(стр. 202-203)
