Рубрика: Алгебра

Учебные материалы по уневерситетскому курсу алгебры

Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма

Найдите прямую сумму и пересечение подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

$ a_1=(1,2,3), a_2=(4,3,1), a_3=(2,-1,-5)$
$ b_1=(1,1,1), b_2=(-3,2,0), b_3=(-2,3,1)$

Найдем базис первой системы:
$ A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 3 & 1 \\
2 & -1 & -5 \end{pmatrix} \sim$ $ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -5 & -11 \\
0 & -5 & -11 \end{pmatrix} \sim$ $ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -5 & -11 \\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $
$ \langle a_1, a_2 \rangle$ — базис $ A$

Найдем базис второй системы:
$ B = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
-3 & 2 & 0 \\
-2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \sim$ $ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 5 & 3\\
0 & 5 & 3 \end{pmatrix} \sim$ $ \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 5 & 3\\
0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$ \langle b_1, b_2 \rangle$ — базис $ B$

Найдем пересечение пространств [latex]\left \langle b_1, b_2 \right \rangle[/latex] и [latex]\left \langle a_1, a_2 \right \rangle[/latex] по формуле [latex]\alpha_1a_1+\alpha_2a_2=\beta_1b_1+\beta_2b_2=x_1[/latex]
([latex]x_1[/latex] будет базисным вектором)
[latex]\alpha_1a_1+\alpha_2a_2-\beta_1b_1-\beta_2b_2=0[/latex]

[latex]\alpha_1\begin{pmatrix}1 \\2 \\ 3 \end{pmatrix}+\alpha_2\begin{pmatrix} 4 \\3\\ 1 \end{pmatrix}-\beta_1\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}-\beta_2\begin{pmatrix} -3 \\2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0 \end{pmatrix}[/latex]

$ \left\{
\begin{matrix}
\alpha_1 + 4\alpha_2 — \beta_1 + 3\beta_2 & = & 0 \\
2\alpha_1 + 3\alpha_2 — \beta_1- 2\beta_2 & = & 0\\
3\alpha_1 + \alpha_2 — \beta_1 & = & 0
\end{matrix}\right.$

Решаем полученную систему:
[latex]\begin{pmatrix} 1&4&-1&3 \\ 2&3&-1&-2 \\ 3&1&-1&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1& 4 & -1 & 3 \\ 0& -5 & 1 & -8\\ 0& -11 & 2 & 9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1& 4 & -1 & 3 \\ 0& 1 & 0 & -7\\ 0& -5 & 1 & -8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1& 4 & -1 & 3 \\ 0& 1 & 0 & -7\\ 0& 0 & 1 & -43 \end{pmatrix}[/latex]
[latex]\begin{cases} \beta_1-43\beta_2=0 \\ \alpha _2-7\beta_2=0\\ \alpha _1+4\alpha _2-\beta_1+3\beta_2=0 \end{cases}[/latex]
[latex]\begin{cases} \beta_1=43\beta_2 \\ \alpha _2=7\beta_2\\ \alpha _1=12\beta_2 \end{cases}[/latex]

$ \begin{array}{c|c|c|c|c}
& \alpha_1 & \alpha_2 & \beta_1 & \beta_2 \\ \hline C_1 & 12 & 7 & 43 & 1 \end{array}$
Следовательно $ \dim(L_1 \cap L_2)= 1$
Находим размерность суммы
$ \dim(L_1 + L_2)= \dim L_1 +\dim L_2-\dim (L_1 \cap L_2)=2+2-1=3$
выберем из системы векторов [latex]\left \langle a_1,a_2,b_1,b_2 \right \rangle[/latex] три линейнонезависимых:
[latex]\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 & 3 &1 \\ 1 &1 &1 \\ -3 &2 &0 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 0 &1 &2 \\ 0& -1 &-2 \\ 1 &1 &1 \\ 0 &5 &3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0& -1 &-2 \\ 1 &1 &1 \\ 0 &5 &3 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ b_1\\ b_2 \end{pmatrix}[/latex]
Получаем [latex]\left \langle a_2,b_1,b_2 \right \rangle[/latex] — ЛНЗ и [latex]L_1+L_2= L\left \langle a_2,b_1,b_2 \right \rangle[/latex].

[latex]x_1=\beta_1b_1+\beta_2b_2=\begin{pmatrix} 43*1+1*(-3) \\ 43*1+1*2 \\ 43*1+1*0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}40 \\45 \\43 \end{pmatrix}[/latex]
И [latex]L_1\cap L_2= L\left \langle 40,45,43 \right \rangle[/latex].

Построение ортогональных и ортонормированных систем

Процессом ортогонализации системы векторов [latex]a_{1}, a_{2}, …, a_{s}[/latex] называется переход от данной системы к системе [latex]b_{1}, b_{2}, …, b_{s}[/latex], построенной следующим образом: [latex]b_{1}=a_{1}[/latex]; [latex]b_{k}=a_{k}-\sum\limits_{i=1}^{k-1}c_{i}b_{i} (k=2, 3, …, s)[/latex], где [latex]c_{i}=\frac{(a_{k}, b_{i})}{(b_{i}, b_{i})}[/latex].

Система векторов евклидового пространства называется ортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой.

Всякая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. Если ортогональная система состоит из ненулевых векторов, то её можно нормировать. Нормированная ортогональная система называется ортонормированной.

Процесс ортогонализации Грама Шмидта :
Данный алгоритм позволяет из множества ЛНЗ (линейно независимых) векторов [latex]m_{1}, …, m_{n}[/latex] построить множество ортогональных векторов [latex]t_{1}, …, t_{n} [/latex]или ортонормированных векторов [latex]k_{1}, …, k_{n}[/latex], однако при условии, что выполняется данное условие: каждый вектор [latex]t_{j}[/latex] либо же [latex]k_{j}[/latex] выражается линейной комбинацией векторов [latex]m_{1}, …, m_{j}[/latex].

Оператором проекции является выражение: [latex]pro j_{t}m=\frac{(m, t)}{(t, t)}t[/latex], где [latex](m, t)[/latex] — скалярное произведение вектора [latex]m[/latex] и [latex]t[/latex].
Процесс Грама Шмидта:

[latex]\begin{matrix}t_{1} =m_{1} &(1) \\ t_{2} =m_{2}-proj_{t_{1}}m_{2} &(2) \\ t_{3} =m_{3}-proj_{t_{1}}m_{3}-proj_{t_{2}}m_{3} &(3) \\ t_{4} =m_{4}proj_{t_{1}}m_{4}-proj_{t_{2}}m_{4}-proj_{t_{3}}m_{4} & (4)\\ . & & \\ .& & \\ .& & \\t_{n}=m_{n}-\sum\limits_{j=1}^{n-1}proj_{t_{j}}m_{n} & (n) \\ \end{matrix}[/latex]

Элемент [latex]k_{j}[/latex] выражается так: [latex]k_{j}=\frac{t_{j}}{\left \| t_{j} \right \|}[/latex]. Результатом данных преобразований может быть либо система ортогональных векторов [latex]t_{1}, …, t_{n}[/latex], либо ортонормированных векторов [latex]k_{1}, …, k_{n}[/latex]. (База евклидового пространства называется ортонормированной, если она ортогональна, а все её векторы нормированы. Вектор называется нормированным,если его скалярный квадрат равен единице.)

Пример:

Для того, чтобы построить ортогональный базис подпространства, натянутого на данную систему векторов, нужно применить процесс ортогонализации:

[latex]\begin{matrix}(1, 2, 2, -1 )\\ (1, 1, -5, 3)\\ (3, 2, 8, -7)\end{matrix}[/latex]

Решение:

Дано: [latex]m_{1}=(1, 2, 2, -1 ), m_{2}=(1, 1, -5, 3), m_{3}=(3, 2, 8, -7)[/latex]. Вычислить: [latex]\begin{Vmatrix}m_{1}\end{Vmatrix}=\sqrt{(m_{1}, m_{1})}=\sqrt{1+4+4+1}=\sqrt{10}[/latex]. Возьмём такое [latex]t_{1}=m_{1};t_{1}=(1, 2, 2,-1)[/latex]. Далее высчитаем: [latex](t_{1}, t_{1})=1+4+4+1=10[/latex]. Далее положим такое [latex]t_{2}=m_{2}-\frac{(m_{2},m_{1})}{(t_{1},t_{1})}t_{1}=(1, 1, -5, 3)-\frac{(1+2-10-3)}{10}(1, 2, 2, -1)=(1, 1,-5, 3)+\frac{10}{10}(1, 2 , 2, -1)=(2, 3, -3, 2)=1\cdot 1+1\cdot 2-5\cdot 2+3\cdot (-1)=10.[/latex]Аналогично, [latex]t_{3}=m_{3}-\frac{(m_{3},t_{2})}{(t_{2},t_{2})}t_{2}-\frac{(m_{3},t_{1})}{(t_{1},t_{1})}t_{1}=(3, 2, 8, -7)+(2, 3, -3, 2)-(3, 6, 6, -3)=[/latex]
[latex](2, -1, -1,-2)[/latex], где [latex](m_{3},t_{2})=6+6-24-14=-26, [/latex]
[latex](t_{2},t_{2})=4+9+9+4=26[/latex] и [latex](m_{3}, t_{1})=3+4+16+7=30[/latex].

Ответ: (1, 2, 2, -1 ), (2, 3, -3, 2), (2, -1, -1,-2).

[latex]t_{n}=m_{n}-\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{(m_{n}, t_{i})}{(t_{i},t_{i})}t_{i}[/latex],

[latex](t_{1},…,t_{n})[/latex] — ортогональный базис;

[latex]\begin{Bmatrix}\frac{t_{1}}{\begin{Vmatrix}t_{1}\end{Vmatrix}},…,\frac{t_{n}}{\begin{Vmatrix}t_{n}\end{Vmatrix}}\end{Bmatrix} [/latex] — ортонормированный базис.

Список использованной литературы:

Подведем итоги.

Нахождение собственных подпространств линейного оператора

Задача

Дана матрица линейного оператора, заданного в некотором базисе. Найти собственное подпростанство линейного оператора.

$ A=\begin{pmatrix}
3 & -2 & 2\\
2 & -1 & 2\\
2 & -2 & 3
\end{pmatrix}$

Решение

Решим характерестическое уравнение:

[latex]\det\left| {A-\lambda E}\right| = [/latex] [latex]\left| \begin{array}{ccc}3-\lambda &-2 &2\\2 &-1-\lambda &2\\2 &-2 &3-\lambda\end{array}\right| =[/latex]

[latex]= (3-\lambda) \left| \begin{array}{ccc}-1-\lambda & 2\\-2 & 3-\lambda\end{array}\right| + 2 \left| \begin{array}{ccc}2 &2\\2 & 3 -\lambda \end{array}\right| + 2 \left| \begin{array}{ccc}2 &-1-\lambda\\2 &-2 \end{array}\right| =[/latex]

$ =(3-\lambda)(\lambda^2 — 2\lambda +1) + 2(-2\lambda +2) + 2(2\lambda — 2) =$

$ =(3-\lambda)(\lambda^2 — 2\lambda +1)=0$
 
Решая уравнение, мы нашли собственные значения $ \lambda_{1}=3,$ $ \lambda_{2} =\lambda_{3}=1 \Rightarrow $ спектр оператора $ A$ состорит из двух собственных значений.

Теперь найдём собственные вектора:

1.Пусть $ \lambda = 1$.
$ \begin{cases}2x_1 — 2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 2x_2 + 2x_3 = 0\end{cases}$

Пусть $ x_2$ и $ x_3$ — свободные переменные, а $ x_1$ — зависимая, т.е. $ x_1=x_2-x_3$:

$ x_1$ $ x_2$ $ x_3$
1 2 1
0 1 1

Собственный вектор: $ X_1=A_1\left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)$, $ X_2 = {A_{2} \left(
\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}$

2.Пусть $ \lambda = 3$.
$ \begin{cases}-2x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 4x_2 + 2x_3 = 0\\2x_1 — 2x_2 = 0\end{cases}$

Пусть $ x_2$ — свободная переменные, а $ x_1$ и $ x_3$ — зависимые:

$ x_1$ $ x_2$ $ x_3$
1 1 1

Собственный вектор: $ X_3=A_3\left(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)$

Так как собственные векторы при собственных значениях образуют базис собственного подпрастранства $ \Rightarrow$
$ E_{\lambda_{1}} = $ $ \langle {A_{3} \left(
\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}\rangle$
$ E_{\lambda_{2}} = $ $ \langle {A_{1} \left(
\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right)}$, $ {A_{2} \left(
\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)}\rangle$

Список литературы:

Нахождение собственных подпространств линейного оператора

Тест по теме «Нахождение собственных подпространств линейного оператора »


Таблица лучших: Нахождение собственных подпространств линейного оператора

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Симметрическая группа

Перестановкой $n$ элементов называется биекция [latex]n[/latex]- элементного множества на себя. Умножение перестановок проводится согласно правилу композиции отображений: [latex](\sigma \tau)=\sigma(\tau (i))[/latex], где [latex]\sigma, \tau \in S_{n}[/latex].

Для [latex]\sigma =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix}, \tau =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3& 2 & 1\end{pmatrix}[/latex] получим:

[latex]\sigma \tau=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\2 & 3 & 4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\1 & 4 & 3 & 2\end{pmatrix}[/latex], а

[latex]\tau\sigma=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3& 4\\2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}[/latex], следовательно
[latex]\sigma\tau\neq\tau\sigma[/latex].

Рассмотрим некоторые свойства умножения перестановок, а именно:

  1. ассоциативность, т. е. [latex](\alpha \beta )\gamma =\alpha (\beta \gamma ) \forall \alpha, \beta, \gamma\in S_{n}[/latex];
  2. наличие единичного элемента [latex]e[/latex] такого, что [latex]\pi e=\pi=e\pi[/latex], где [latex]\pi[/latex]- произвольная перестановка;
  3. [latex]\forall \pi\in S_{n} \exists \pi^{-1}: \pi \pi^{-1}=\pi^{-1}\pi =e [/latex].

Отсюда следует определение группы [latex]S_{n}[/latex]:
Множество [latex]S_{n}[/latex], рассматриваемое вместе с естественной операцией умножения его элементов (композицией перестановок), называется симметрической группой степени [latex]n[/latex].

Основные свойства [latex]S_{n}[/latex]:

  1. [latex]S_{n}[/latex] — некоммутативна (при [latex]n\leq 3[/latex]);
  2. [latex]S_{n}[/latex] — неразрешима (при [latex] n\geq 5[/latex]);
  3. [latex]S_{n} — [/latex]разрешима (при [latex]n\leq 4[/latex]);
  4. Порядок симметрической группы перестановок (число элементов) [latex]S_{n}[/latex] равен [latex]n![/latex], т. е. [latex]|S_{n}|=n![/latex];
  5. Порядок подгруппы группы [latex]S_{n}[/latex], образованной множеством всех четных перестановок равен [latex](\frac{n}{2})![/latex];
  6. Каждая конечная группа [latex]G [/latex] изоморфна некоторой подгруппе группы [latex]S(G)[/latex] (теорема Кэли).

Рассмотрим симметрическую группу перестановок [latex]S_{3}[/latex]:

[latex]e=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\1& 2 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\1& 3 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\2& 1 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\2& 3 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\3& 1 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\3& 2 & 1\end{pmatrix}[/latex]

Порядок группы [latex]|S_{3}|=3!=6[/latex].

Пример: Граф Кэли симметрической группы [latex]S_{4}[/latex].

Список использованной литературы:

Подведение итогов.


Таблица лучших: Симметрическая группа

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Задача о ортогональном проектировании на подпространство

Задача №1:

Найти ортогональную проекцию  $ y$ и ортогональную составляющую $ z$ вектора $ x$ на линейное подпространство $ L$ :

$ x=(4,-1,-3,4)$, $ L$ натянуто на векторы $ a_1=(1,1,1,1), a_2=(1,2,2,-1), a_3=(1,0,0,3)$.

Решение:

для начала найдем базу системы векторов $ a_1, a_2, a_3$

$ \begin{Vmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&2&2&-1 \\ 1&0&0&3 \end{Vmatrix}$ ~ $ \begin{Vmatrix} 1&1&1&1 \\ 0&1&1&-2 \\ 0&-1&-1&2 \end{Vmatrix}$

отсюда получается, что $ y=p_1*a_1+p_2*a_2$, а $ x=p_1*a_1+p_2*a_2+z$

домножим последние уравнение на $ a_1$ и $ a_2$ и получим систему:

$ \begin{cases} (x,a_1)=p_1*(a_1,a_1)+p_2*(a_2,a_1) \\ (x,a_2)=p_1*(a_1,a_2)+p_2(a_2,a_2) \end{cases}$  $ \begin{cases} 4=4*p_1+4*p_2 \\ -8=4*p_1+10*p_2 \end{cases}$  $ \begin{cases} p_1=3 \\ p_2=-2 \end{cases}$

отсюда получаем $ y=3*a_1-2*a_2=(1,-1,-1,5)$ и $ z=x-y=(3,0,-2,-1)$

Ответ: $ z=(3,0,-2,-1)$ $ y=(1,-1,-1,5)$.

Задача №2:

Найти  ортогональную  составляющую $ z$ вектора $ x$ и угол между$ x$  и линейным подпространством $ L$:

$ x=(2,2,1,1)$, $ L$ натянуто на векторы $ a_1=(3,4,-4,-1), a_2=(0,1,-1,-2)$.

Решение:

$ x=p_1*a_1+p_2*a_2+z$, домножим  уравнение на $ a_1$ и $ a_2$ и получим систему:

$ \begin{cases} (x,a_1)=p_1*(a_1,a_1)+p_2*(a_2,a_1) \\ (x,a_2)=p_1*(a_1,a_2)+p_2(a_2,a_2) \end{cases}$ $ \begin{cases} 9=42*p_1+10*p_2 \\ -1=10*p_1+6*p_2 \end{cases}$ $ \begin{cases} p_1=\frac{8}{19} \\ p_2=-\frac{33}{38} \end{cases}$

отсюда получаем $ y=\frac{8}{19}a_1-\frac{33}{38}a_2=(\frac{24}{19},\frac{32}{19},-\frac{32}{19},-\frac{8}{19})-(0,\frac{33}{38},-\frac{33}{38},-\frac{66}{38})=(\frac{24}{19},\frac{31}{38},-\frac{31}{38},\frac{25}{19})$ и $ z=x-y=(\frac{14}{19},\frac{45}{38},\frac{69}{38},-\frac{6}{19})$

чтобы найти угол между $ x$ и подпространством достаточно найти угол между вектором и ортогональной проекцией, то есть: $ \cos\alpha=\frac{x_1*y_1+x_2*y_2+x_3*y_3+x_4*y_4}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2} * \sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2}} =\frac{\sqrt{16815}}{190}$

Ответ: $ z=(\frac{14}{19},\frac{45}{38},\frac{69}{38},-\frac{6}{19})$,  $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{16815}}{190}$

Задача №3:

Найти ортогональную проекцию  $ y$ и ортогональную составляющую $ z$ вектора $ x$ на линейное подпространство $ L$:

$ x=(5,2,-2,2)$, $ L$ натянуто на векторы $ a_1=(2,1,1,-1), a_2=(1,1,3,0), a_3=(1,2,8,1)$.

Решение:

$ \begin{Vmatrix} 2&1&1&-1 \\ 1&1&3&0 \\ 1&2&8&1 \end{Vmatrix}$  ~ $ \begin{Vmatrix} 1&1&3&0 \\ 2&1&1&-1 \\ 1&2&8&1 \end{Vmatrix}$  ~ $ \begin{Vmatrix} 1&1&3&0 \\ 0&-1&-5&-1 \\ 0&1&5&1 \end{Vmatrix}$

отсюда получается, что $ y=p_1*a_1+p_2*a_2$, а $ x=p_1*a_1+p_2*a_2+z$

домножим последние уравнение на $ a_1$,  $ a_2$,  и получим систему:

$ \begin{cases} (x,a_1)=p_1*(a_1,a_1)+p_2*(a_2,a_1) \\ (x,a_2)=p_1*(a_1,a_2)+p_2(a_2,a_2) \end{cases}$  $ \begin{cases} 8=7*p_1+6*p_2 \\ 1=6*p_1+11*p_2 \end{cases}$  $ \begin{cases} p_1=2 \\ p_2=-1 \end{cases}$

отсюда получаем $ y=2*a_1-a_2=(3,1,-1,-2)$ и $ z=x-y=(2,1,-3,-4)$

Ответ:  $ y=(3,1,-1,-2)$ , $ z=(2,1,-3,-4)$.

Список использованной литературы:

  1. Проскуряков И.В.Сборник задач по линейной алгебре : Наука, 3-е издание. 1966 год. №1402, 1370, 1371.

    2. тест

    Данный тест предназначен для проверки своих знаний по данной теме.