Перестановкой $n$ элементов называется биекция [latex]n[/latex]- элементного множества на себя. Умножение перестановок проводится согласно правилу композиции отображений: [latex](\sigma \tau)=\sigma(\tau (i))[/latex], где [latex]\sigma, \tau \in S_{n}[/latex].
Для [latex]\sigma =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix}, \tau =\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3& 2 & 1\end{pmatrix}[/latex] получим:
[latex]\sigma \tau=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\2 & 3 & 4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\1 & 4 & 3 & 2\end{pmatrix}[/latex], а
[latex]\tau\sigma=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3& 4\\2 & 3 & 4 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\3 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix}[/latex], следовательно
[latex]\sigma\tau\neq\tau\sigma[/latex].
Рассмотрим некоторые свойства умножения перестановок, а именно:
- ассоциативность, т. е. [latex](\alpha \beta )\gamma =\alpha (\beta \gamma ) \forall \alpha, \beta, \gamma\in S_{n}[/latex];
- наличие единичного элемента [latex]e[/latex] такого, что [latex]\pi e=\pi=e\pi[/latex], где [latex]\pi[/latex]- произвольная перестановка;
- [latex]\forall \pi\in S_{n} \exists \pi^{-1}: \pi \pi^{-1}=\pi^{-1}\pi =e [/latex].
Отсюда следует определение группы [latex]S_{n}[/latex]:
Множество [latex]S_{n}[/latex], рассматриваемое вместе с естественной операцией умножения его элементов (композицией перестановок), называется симметрической группой степени [latex]n[/latex].
Основные свойства [latex]S_{n}[/latex]:
- [latex]S_{n}[/latex] — некоммутативна (при [latex]n\leq 3[/latex]);
- [latex]S_{n}[/latex] — неразрешима (при [latex] n\geq 5[/latex]);
- [latex]S_{n} — [/latex]разрешима (при [latex]n\leq 4[/latex]);
- Порядок симметрической группы перестановок (число элементов) [latex]S_{n}[/latex] равен [latex]n![/latex], т. е. [latex]|S_{n}|=n![/latex];
- Порядок подгруппы группы [latex]S_{n}[/latex], образованной множеством всех четных перестановок равен [latex](\frac{n}{2})![/latex];
- Каждая конечная группа [latex]G [/latex] изоморфна некоторой подгруппе группы [latex]S(G)[/latex] (теорема Кэли).
Рассмотрим симметрическую группу перестановок [latex]S_{3}[/latex]:
[latex]e=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\1& 2 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\1& 3 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\2& 1 & 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\2& 3 & 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\3& 1 & 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 &2 &3 \\3& 2 & 1\end{pmatrix}[/latex]
Порядок группы [latex]|S_{3}|=3!=6[/latex].
Пример: Граф Кэли симметрической группы [latex]S_{4}[/latex].
Список использованной литературы:
- Курош А. Г. Курс высшей алгебры- К. : Лань, 2004. — 431 с. (с.392).
- Кострикин А. И. Введение в алгебру- К. : ФИЗМАТЛИТ, 1994. — 272 с. (с. 50)
Подведение итогов.
Таблица лучших: Симметрическая группа
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |
путаница какая то! в источниках есть Курош, он же в своих книгах называет подстановкой то, что здесь — перестановка; а перестановкой — конкретный набор. то есть подстановка — отображение одной перестановки в другую