Основная теорема арифметики

Теорема. Любое натуральное число больше единицы может быть разложено в виде простых множителей и это разложение единственно (если не учитывать порядок множителей).

Докажем существование такого разложения и то, что оно единственно.

. Пусть $n \in N, n > 1$ и мы имеем два варианта.Если $n$ простое, и тогда разложение уже получено, либо $n$ составное, а значит может быть представлено в виде $n=p_{0}a_{0}$ , где $p_0$ — наименьший делитель $n$ . Допустим $a_{0}>1$ , а значит у нас снова два варианта. Либо $a_{0}$ — простое, либо оно составное и может быть представлено как $a_{0}=p_{1}a_{1}$ , где $p_1$ — наименьший делитель $a_{0}$ . Таким образом мы дойдем до $a_{m-1}=p_{m}a_{m}$ , где $a_{m}=1$ . Тогда $n=p_{0}p_{1}p_{2}\ldots p_{m}$ , где $p_{i}, i=\overline{0, m}$ является простым по лемме (1) о простоте наименьшего делителя.

. Пусть существуют два разложения числа $n\in N, n > 1$ на простые множители. Тогда $p_{1}p_{2}\ldots p_{n}=q_{1}q_{2}\ldots q_{m}$ . Так как $p_{1}p_{2}\ldots p_{n}$ разложение $n$ , а значит является его делителем, то $p_{1} \mid q_{1}q_{2}\ldots q_{m}$ . Если точнее, оно делит $q_{j}, j= \overline{1, m}$ .Но так как $q_{j}$ и $p_{1}$ — простые, то это возможно только в том случае, если $p_{1}=q_{i}$ . Так как порядок множителей не имеет значения, пусть это будет $q_{1}$ . И тогда мы можем сократить равенство на $p_{1}$ и получим $p_{2}\ldots p_{n}=q_{2}\ldots q_{m}$ . Повторяя рассуждения, мы придем к тому, что кончатся множители одного разложения (предположим что $n < m$ ) и мы получим такое равенство $1= q_{n}q_{n+1} \ldots q_{m}$ . Однако, так как все множители — простые, а значит (по определению простого числа) найдено противоречие. Это доказывает единственность.

Так как в разложении целого числа могут оказаться одинаковые множители, то можно обозначить количество вхождений множителя его степенью : $n=p^{a_{1}}_{1}p^{a_{2}}_{2}\ldots p^{a_{n}}_{n},$ где $p_{i} \neq p_{j}$ при $i, j = \overline{1, n}, i \neq j$ . Это называется каноническим разложением числа.

Примеры

Каноническим разложением числа $100$ будет $2^{2} \cdot 5^{2}$ .
Каноническим разложением числа $255$ будет $3^{1} \cdot 5^{1} \cdot 17^{1}$ .
Каноническим разложением числа $53$ будет $53^{1}$ .

Тест на канонические разложения

Тест для проверки понимания изложенной выше темы.

Разделите данные ниже разложения на канонические и неканонические.

Элементы сортировки

$2^{2}\cdot 5^{3}$
$2^{6}$
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$
$2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5$
$2^{4} \cdot 3$

Каноническое разложение

$500$

Каноническое разложение числа

$64$

Неканоническое разложение числа

$64$

Неканоническое разложение числа

$100$

Каноническое разложение числа

$48$

Литература

Электронный конспект по алгебре. Автор Белозеров.Г.С.
И.М.Виноградов. Основы теории чисел. 6-ое издание, 1952 год. стр.20-22.
Д.К.Фадеев. Лекции по алгебре. 1984 год. стр. 14-15.

Формула Муавра

Допустим $z=r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)$ и $n$ принадлежит множеству целых чисел. Тогда можно считать, что $z^{n}=r^{n}\cdot\left(\cos\left(n\phi\right)+i\sin\left(n\phi\right)\right).$

Пусть $n=2,$ где $n\in \mathbb {Z}$ — база индукции. Тогда $z^{2}=r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\cdot r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)=r^{2}(\cos\left(2\phi\right)+i\sin\left(2\phi\right)).$ Допустим, что теорема верна $\forall n\leqslant m, m\leqslant2$ и докажем, что она так же верна и для $n=m+1.$ Тогда $z^{m+1}=z^{m}\cdot z=r^{m}(\cos\left(m\phi\right)+i\sin\left(m\phi\right))\cdot r\cdot(\cos\phi+i\sin\phi)=$ $=r^{m+1}(\cos\left(m+1\right)\phi+i\sin\left(m+1\right)\phi).$ Для $n=1$ формула простая, а если $n=0,$ то $z=1,$ то есть $z^{0}=r^{0}\left(\cos\left(0\phi\right)+i\sin\left(0\phi\right)\right)=1\left(\cos0+i\sin0\right)=1.$ Следовательно, теорема справедлива $\forall n\geqslant0.$ Докажем, что она так же справедлива $\forall n\lt0.$ Тогда $z^{-n}=\dfrac{1}{z^{n}}=\dfrac{1}{\left(r\cdot\left(\cos\phi+i\sin\phi\right)\right)^{n}}=$ $=\dfrac{1}{r^{n}\left(\cos\left(n\phi\right)+i\sin\left(n\phi\right)\right)}=r^{-n}\dfrac{cos\left(n\phi\right)-i\sin\left(n\phi\right)}{\cos\left(n\phi\right)^{2}+\sin\left(n\phi\right)^{2}}=$ $=r^{-1}\dfrac{\cos\left(-n\phi\right)+i\sin\left(-n\phi\right)}{1}=r^{-n}\left(\cos\left(-n\phi\right)+i\sin\left(-n\phi\right)\right).$ Теорема доказана.

$\left|z^{n} \right|=\left|z \right|^{n} \forall n\in \mathbb {Z},$ $Arg\left(z^{n}\right)=n\cdot Arg\left(z\right)+2\pi k, k\in \mathbb {Z}, \forall n\in \mathbb {Z}.$

Примеры

Рассмотрим несколько примеров с использованием формулы Муавра.

Вычислить $\sqrt[5]{\dfrac{\left(-1+i\right)^{3}\cdot\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}}{i^{1323}}}.$

Решение

Найдём сначала $r$ для $\left(-1+i\right)^{3}$ : $r=\sqrt{\left(-1\right)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.$ Теперь найдём аргумент $z$ для $\left(-1+i\right)^{3}.$ Для этого нужно найти угол $\alpha :$ $\tan\alpha=1, \alpha=\dfrac{\pi}{4}+k\pi, k\in Z.$ Так как $\sin\alpha \lt0$ и $\cos\alpha \lt0,$ то $\alpha=\dfrac{3\pi}{4}.$
Теперь найдём $r$ и $z$ для $\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}:$ $r=\sqrt{\sqrt{3}^{2}+1^{2}}=\sqrt{4}=2.$ Найдём $z:$
$\tan\beta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \beta=\dfrac{\pi}{6}+s\pi, s\in Z.$ Так как $\sin\beta\gt0$ и $\cos\beta\gt0,$ то $\beta=\dfrac{\pi}{6}.$ $\left(-1+i\right)^{3}\cdot\left(\sqrt{3}+i\right)^{4}=\left(\cos\left(\dfrac{9\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{6}\right)\right)+i\sin\left(\dfrac{9\pi}{4}+\dfrac{4\pi}{6}\right)=$ $=\cos\dfrac{\pi}{12}+i\sin\dfrac{\pi}{12},$ $i^{1323}=-i.$ По формуле $\dfrac{\phi+2\pi k}{n},$ где $n=5,$ $k=\overline{0, 4}$ получаем: $w_{0}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}}{5}\right)\right)=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{60}\right)+\right.$ $\left.+i\sin\left(\dfrac{\pi}{60}\right)\right),$ $w_{1}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+2\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+2\pi}{5}\right)\right)=$ $=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{25\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{25\pi}{60}\right)\right),$ $w_{2}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+4\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+4\pi}{5}\right)\right)=$ $=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{49\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{49\pi}{60}\right)\right),$ $w_{3}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+6\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+6\pi}{5}\right)\right)=$ $=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{73\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{73\pi}{60}\right)\right),$ $w_{4}=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+8\pi}{5}\right)+i\sin\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{12}+8\pi}{5}\right)\right)=$ $=\sqrt[5]{\sqrt{2}^{3}\cdot16}\left(\cos\left(\dfrac{97\pi}{60}\right)+i\sin\left(\dfrac{97\pi}{60}\right)\right).$
Вычислить $\left(\sqrt{3}+i\right)^{2020}.$

Решение

$\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \alpha=\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in Z.$ Так как $\sin\beta\gt0$ и $\cos\beta\gt0,$ то $\beta=\dfrac{\pi}{6}.$ $\left(\sqrt{3}+i\right)^{2020}=\left(2\left(\cos{\dfrac{\pi}{6}}+i\sin{\dfrac{\pi}{6}}\right)\right)^{2020}=$ $=2^{2020}\left(\cos\left({\dfrac{2018+2}{6}}\pi\right)+i\sin\left({\dfrac{2018+2}{6}}\pi\right)\right)=$ $=2^{2020}\left(cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)=2^{2020}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).$

Смотрите также

А.И. Кострикин Введение в алгебру. Основы алгебры. — Москва: Физматлит, 1994. -320с. (с. 201-202).
Личный конспект, основанный на лекциях Г. С. Белозёрова.

Формула Муавра

Проверим как Вы усвоили материал.

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Верно ли $z^{n}=r^{n}\cdot(\cos(n\phi)+i\sin(n\phi))$ , если $n\in\mathbb {R}?$
- Да.
- Нет.
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Чему будет равно $\left(3 + \sqrt{3}\right)^{1939}?$
- $\left(\sqrt{3}\right)^{1939}\left(\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
- $\left(2\sqrt{3}\right)^{1939}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + i\dfrac{1}{2}\right)$
- $\left(2\right)^{1939}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
- $\left(2\right)^{1939}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + i\dfrac{1}{2}\right)$
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 5

3.

Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра

Подставьте к каждому примеру его решение.

Элементы сортировки

$64$
$4\left(\cos{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}+i\sin{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}\right)$
$8\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$
$4\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$\left(1+\sqrt{3}i\right)^{6}$

$\left(\sqrt{3}+i\right)^{2}$

$\left(\sqrt{3}+i\right)^{3}$

$\left(1+\sqrt{3}i\right)^{2}$

Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Впишите правильный ответ к примеру $\left(1+\sqrt{3}i\right)^{3}.$
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1

Рубрика: Алгебра
Справедлива ли формула Муавра для всех $n \lt 0?$
Правильно

Неправильно

Простые числа. Решето Эратосфена

Очень интересными с математической (и не только) точки зрения считаются простые числа. Для начала сформулируем несколько определений для дальнейшей работы.

— это натуральное число больше единицы и которое делится нацело только на единицу и на само себя. Таким образом, $p$ считается простым, если $p \in N, p > 1, \forall a \in N, a \neq 1, a \neq p, p \mbox{ mod } a \neq 0 .$

Натуральное число не являющиеся простым и больше $1$ называется составным.

Примеры

$3, 5, 7, 23$ — простые числа, что можно с легкостью проверить мысленно перебрав возможные делители для этих чисел. $177539$ — тоже простое число, однако проверить это устным перебором делителей будет значительно сложнее.
Любое четное число кроме $2$ — составное, так как имеет как минимум один делитель помимо $1$ и самого себя — $2$ .

Леммы

Сформулируем и докажем несколько лемм. Далее, если это потребуется, будем упоминать их как лемму и её номер в списке. Лемма (2), к примеру.

Пусть $p$ и является наименьшим делителем (не считая $1$ ) $n \in N, n > 1$ . Тогда $p$ — простое число.

Спойлер

Докажем от обратного. Предположим что $p$ , наименьший делитель для $n$ из условия, составное число. В таком случае, его можно представить как $p=p_{1}p_{2}$ . Отсюда $n=pb$ можно представить как $n=p_{1}p_{2}b$ , где $p_{1}, p_{2} < p$ . Если $n \vdots p$ , то оно делится и на $p_{1}, p_{2}$ . А так как они оба меньше $p$ , то $p$ не может быть наименьшим делителем $n$ . Таким образом, составное число не может быть наименьшим делителем числа, так как его всегда можно разложить на множители, которые в свою очередь тоже будут делителями $n$ .

[свернуть]
Пусть $p$ — наименьший (не считая $1$ ) натуральный делитель составного числа $n$ . Тогда $p\leqslant \sqrt{n}$ .

Спойлер

Пусть, по условию леммы, $p$ — наименьший отличный от нуля делитель $n$ . Тогда $n = pb$ , где $b\in N$ и $b\mid n$ . Очевидно, что в таком случае $p \leqslant b < n$ и отсюда $p^{2} \leqslant n$ , что доказывает неравенство данное в условии.

[свернуть]

Решето Эратосфена

Способ нахождения простых чисел до определенного $n$ . Метод подразумевает фильтрацию чисел до $n$ , отсеивая составные числа. Является псевдополиномиальным алгоритмом. Алгоритм заключается в следующем:

Требуется выписать все числа от $2$ до $n$ .
Изначально $p=2$ .
Далее вычеркнем все числа представимые в виде $2p, 3p, 4p, \ldots$ до $n$ .
Присвоим $p$ следующее не вычеркнутое число. Будем повторять $3$ и $4$ шаги до тех пор, пока $p \leqslant \sqrt{n}$ (по лемме (2)).
Таким образом, все составные числа будут вычеркнуты и останутся только простые.

Замечание

Если внимательно взглянуть на алгоритм, можно заметить что мы начинаем вычеркивать с $p^{2}$ . Пусть $k \in N, k > 1$ и $k$ очередное простое (а значит не вычеркнутое) число в списке. А значит, что перед тем как $p=k$ , мы вычеркнули (при условии что $k>2$ ) $2k$ , ведь на первом шаге мы вычеркнули все делящиеся на $2$ числа. Если $k>3$ , то и все делящиеся на $3$ числа были уже вычеркнуты. То есть $3k$ уже вычеркнуто. Таким образом, все составные числа имеющие нетривиальные делители до $k(k-1)$ включительно уже вычеркнуты, поэтому искать число чтобы вычеркнуть стоит начиная от $p^{2}$ . Подробнее с модфикациями алгоритма можно ознакомится на википедии и e-max.

Пример

Найдем все простые числа до $20$ с помощью решета Эратосфена. Для начала выпишем все числа. $2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20$

Положим $p=2$ и уберем все числа от $p^{2}$ до $20$ . Останется $2,3,\phantom{4,} 5,\phantom{6,} 7,\phantom{8,} 9,\phantom{10,} 11, \phantom{12,} 13,\phantom{14,} 15,\phantom{16,} 17,\phantom{18,} 19 \phantom{,20}$

Далее $p=3$ , и мы снова убираем ненужные нам числа. $2,3,\phantom{4,} 5,\phantom{6,} 7,\phantom{8,} \phantom{9,10,} 11, \phantom{12,} 13,\phantom{14, 15, 16,} 17,\phantom{18,} 19 \phantom{,20}$

Брать следующее $p$ не смысла, так как это будет $5$ , а $5^{2}>20$ . Таким образом мы нашли все простые числа до $20$ .

Тест на простые числа и решето Эратосфена

У вас есть возможность проверить то, как вы усвоили материал.

Литература

Электронный конспект по алгебре. Автор Белозеров.Г.С.
И.М.Виноградов. Основы теории чисел. 6-ое издание, 1952 год. стр.18-20.

Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли

Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы. То есть, если в СЛАУ $r=\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}$ , где $\operatorname{rang}A$ — обозначает ранг матрицы системы, а $\operatorname{rang}\widetilde{A}$ — ранг расширенной матрицы, тогда данная матрица совместна, причём система имеет единственное решение, если $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}=n$ , где $n$ — число неизвестных, и бесконечное число решений, если $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}<n$ .

Пусть задана расширенная матрица $\widetilde{A}$ :

$\widetilde{A}=\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1} \; + \; a_{12}x_{2} \; + \; \cdots \; + \; a_{1n}x_{n} \; = \; b_{1} \\a_{21}x_{1} \; + \; a_{22}x_{2} \; + \; \cdots \; + \; a_{2n}x_{n} \; = \; b_{2} \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\a_{m1}x_{1} \; + \; a_{m2}x_{2} \; + \; \cdots \; + \; a_{mn}x_{n} \; = \; b_{m} \end{matrix}\right.$

Скажем, что данная система совместна, в таком случае существуют числа $\left(c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\right)$ , которые являются частным решением матрицы, при подстановке их в систему. Мы получим равенство:

$\begin{Vmatrix} b_{1}\\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n}\\ \end{Vmatrix} = c_{1}\begin{Vmatrix} a_{11}\\ a_{21} \\\vdots\\ a_{m1} \end{Vmatrix} + c_{2}\begin{Vmatrix} a_{12}\\ a_{22} \\\vdots\\ a_{m2} \end{Vmatrix} + \dots+ c_{n}\begin{Vmatrix} a_{1n}\\ a_{2n} \\\vdots\\ a_{mn} \end{Vmatrix}$

Следовательно, вектор-столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов $\left(a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\right),$ матрицы $A.$ Так же, мы можем заметить, что сколько бы мы раз не приписали или не вычеркнули строку(столбец), от этого не меняется ранг системы, из этого следует, что $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}$ .

Если $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}$ , то это означает, что у них один и тот же базисный минор. Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора.

Следствие:

$\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}=n$ единственное решение.
$\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}<n$ бесконечное число решений.
Количество главных переменных равно рангу системы.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых используеться критерий совместности $\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}.$

$\left\{\begin{matrix} 2x_{1} \; — \; x_{2} \; + \; 5x_{3} \; = \; 4 \\3x_{1} \; — \; x_{2} \; + \; 5x_{3} \; = \; 0 \\5x_{1} \; — \; 2x_{2} \; + \; 3x_{3} \; = \; 2 \end{matrix}\right.$

Решение

Сначала, приведем матрицу к треугольному виду.

$\left(\begin{matrix} 2 & -1 & 5 & 4 \\ 3 & -1 & 5 & 0 \\ 5 & -2 & 3 & 2 \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} -1 & 2 & 5 & 4\\ -1 & 3 & 5 & 0 \\ -2 & 5 & 3 & 2 \end{matrix} \right)\sim$

$\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 5 & 4\\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -7 & -7 \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} -1 & 1 & 5 & 4\\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -7 & -3 \end{matrix} \right)$

Элементарные преобразования не меняют ранга матриц, поэтому в результате выполненных действий, получены эквивалентные исходнной матрице системы $A=\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -7\end{matrix}\right)$ и расширенная матрица системы $\widetilde{A}=\left(\begin{matrix} -1 & 1 & 5 & 4\\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & -7 & -3 \end{matrix} \right)$

$\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}\widetilde{A}=3$ значит, по теореме Кронекера-Капелли система совместна.
$\left\{\begin{matrix} x_{1} \; + \; x_{2} \; — \; x_{3} \; = \; 7 \\x_{1} \; + \; 2x_{2} \; — \; 3x_{3} \; = \; 1 \\-2x_{1} \; — \; 2x_{3} \; = \; 3 \end{matrix}\right.$

Решение

Приведем матрицу к ступенчистому виду:

$\left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & -4 \\ 1 & 2 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & -2 & 3 \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 2 & -4 & -5 \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -13 \end{matrix} \right)$

$\Rightarrow \widetilde{A}=\left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & -13 \end{matrix} \right)=\operatorname{rang}\widetilde{A}=3$

$\Rightarrow A=\left(\begin{matrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)=\operatorname{rang}A=2$

$\operatorname{rang}A\neq \operatorname{rang}\widetilde{A}$ . По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений несовместна.
$\left\{\begin{matrix} 5x_{1} \; — \; 3x_{2} \; + \; 2x_{3} \; + \; 4x_{4} = \; 3 \\4x_{1} \; — \; 2x_{2} \; + \; 3x_{3} \; + \; 7x_{4} = \; 1 \\8x_{1} \; — \; 6x_{2} \; — \; x_{3} \; — \; 5x_{4} = \; 9 \\7x_{1} \; — \; 3x_{2} \; + \; 7x_{3} \; + \; 17x_{4} = \; \lambda \end{matrix}\right.$

Решение

Очевидно, что от значения $\lambda$ зависит, будет ли матрица совместна или нет.

Сначала приведем матрицу к треугольному ввиду:

$\widetilde{A}=\left(\begin{matrix} 5 & -3 & 2 & 4 & 3\\ 4 & -2 & 3 & 7 & 1\\ 8 & -6 & -1 & -5 & 9 \\ 7 & -3 & 7 & 17 & \lambda \end{matrix} \right)\sim \left(\begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -3 & 2\\ 4 & -2 & 3 & 7 & 1\\ 0 & -2 & -7 & -19 & 7 \\ 7 & -3 & 7 & 17 & \lambda \end{matrix} \right)\sim$

$\left(\begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -3 & 2\\ 0 & 2 & 7 & 19 & -7\\ 0 & -2 & -7 & -19 & 7 \\ 0 & 4 & 14 & 38 & \lambda — 14 \end{matrix} \right)\sim\left(\begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -3 & 2\\ 0 & 2 & 7 & 19 & -7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{matrix} \right)$

При $\lambda\neq0$ : $\operatorname{rang}\widetilde{A}=3$ , $\operatorname{rang}A=2$ . По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений несовместна.

При $\lambda=0$ : $\operatorname{rang}\widetilde{A}=2$ , $\operatorname{rang}A=2$ . По теореме Кронекера-Капелли система линейных уравнений совместна.

Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли

Тест на закрепление материала «Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли».

Задание 1 из 4

1.
матрица совместима, если…
- ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы
- ранг основной матрицы больше расширенной матрицы
- ранг основной матрицы меньше расширенной матрицы
Задание 2 из 4

2.
Впишите пропущенные слова.
- Система имеет единственное решение, если ранг (равен) числу неизвестных, и бесконечное число решений, если ранг (меньше) числа неизвестных.
Задание 3 из 4

3.
Является ли система совместной
$\left\{\begin{matrix} 3x \; + \; 2y \; — \; 5z \; = \; -1 \\2x \; — \; 1y \; + \; 3z \; = \; 13 \\ 1x \; + \; 2y \; — \; z \; = \; 9 \end{matrix}\right.$
- да
- нет
Задание 4 из 4

4.
При каких значениях $\lambda$ система
$\left\{\begin{matrix} 2x_{1} \; + \; 3x_{2} \; — \; x_{3} \; = \; 1 \\4x_{1} \; + \; 6x_{2} \; — \; 3x_{3} \; = \; 3 \\8x_{1} \; + \; 12x_{2} \; — \; 9x_{3} \; = \; \lambda \end{matrix}\right.$
будет совместной?
- $\lambda$ =9
- $\lambda$ =4
- $\lambda$ =0

Литература

Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.-416 с. стр 119.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.-384 с. стр 101-103.

Существование ортонормированного базиса

Определение. Ортонормированный базис (ОНБ) — это базисная система векторов, которая ортогональна и нормирована.

Определение. Ортогональная система векторов — это система состоящая либо из только одного ненулевого вектора, либо из нескольких ненулевых векторов, которые попарно ортогональны.

Любой вектор евклидова пространства, скалярный квадрат которого равен единице, называется нормированным. Причем любой ненулевой вектор можно нормировать. Если вектор $a_{1} = \mu a,$ при $\mu = \left(a, a\right)^{-\frac{1}{2}},$ становится нормированным.

Определение. Система называется нормированной, если каждый вектор этой системы нормирован.

Теорема. (существование ОНБ в евклидовом пространстве) В любом конечномерном евклидовом пространстве можно найти ортонормированный базис.

Допустим, имеется система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ в евклидовом пространстве $\forall e \neq 0.$ Если мы возьмем произвольный вектор $a$ из $E$ и если бы ортонормированная система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ была бы базисом, то вектор $a$ совпадал бы с вектором $b$ . Тогда рассмотрим вектор $a-b$ при $b = \left(a, e_{1}\right)e_{1} + \left(a, e_{2}\right)e_{2} + … + \left(a, e_{n}\right)e_{n}.$ Тогда вектор $a-b:$ $\left(a-b, e_{k}\right) = \left(a-\sum\limits_{i = 1}^{n}\left(a, e_{i}\right)e_{i}, e_{k}\right) = \left(a, e_{k}\right)-\sum\limits_{i = 1}^{n}\left(a, e_{i}\right)\left(e_{i}, e_{k}\right) =$ $=\left(a, e_{k}\right)-\left(a, e_{k}\right) = 0.$ То есть вектор $a-b$ ортогонален ко всем векторам системы $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle.$ Причем мы еще и доказали, что $a-b = 0 \Rightarrow a = b.$ Значит ЛНЗ система $S = \langle e_{1},e_{2},…,e_{n}\rangle$ образует базис в евклидовом пространстве, т. к. векторы $S$ линейно выражают векторы $E.$ Таким образом, в любом конечномерном евклидовом пространстве мы можем найти ортонормированный базис, причем ортогонализировать его векторы можно процессом ортогонализации Грама-Шмидта, а нормировать по определению выше.

Смотрите также

Личный конспект на основе лекций Белозерова Г.С. Евклидовы пространства
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968, Глава 8, §34, «Определение евклидова пространства. Ортонормированные базы», c.215
Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, §28, «Ортогональность», стр. 93

Существование ортонормированного базиса

Тест на знание темы «Существование ортонормированного базиса»

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 3

Рубрика: Алгебра
В любом ли конечномерном евклидовом пространстве $\exists$ ортонормированный базис?
- Да.
- Нет.
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 16

Рубрика: Алгебра
Определение нормирования.
- вектор пространства, скалярный квадрат которого равен , называется нормированным. Причем любой (не нулевой) вектор можно нормировать.
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Количество баллов: 12

Рубрика: Алгебра
Какая система может образовать базис в евклидовом пространстве?
Правильно

Неправильно

Задание 4 из 5

4.

Количество баллов: 20

Рубрика: Алгебра

Сопоставьте части предложений.

Элементы сортировки

вектор, скалярный квадрат которого равен единице.
система, в которой скалярный квадрат каждого вектора равен единице.
наличие в системе одного не нулевого вектора или векторов, которые попарно ортогональны.
базисная система которая ортогональна и нормирована.

Нормированный вектор - это

Нормированная система - это

Ортогональность системы векторов - это

Ортонормированный базис - это

Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 15

Рубрика: Алгебра
Ортогональность системы векторов
- - это система состоящая из одного ненулевого вектора.
- - это система линейно зависимых векторов, когда скалярный квадрат каждого вектора равен единице.
- - это векторы, которые попарно ортогональны.
- возможна, только если эта система линейно зависима.
- возможна, только если эта система линейно независима.
Правильно

Неправильно

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Примеры

Тест на канонические разложения

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

Литература

Примеры

Смотрите также

Формула Муавра

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

Примеры

Леммы

Решето Эратосфена

Замечание

Пример

Тест на простые числа и решето Эратосфена

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Подсказка

2.

3.

4.

5.

Литература

Следствие:

Примеры решения задач

Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Литература

Смотрите также

Существование ортонормированного базиса

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.