$\DeclareMathOperator{\tg}{tg}$

Задача из журнала «Квант» (2000 год, 6 выпуск)

Задача

Окружность, вписанная в $\triangle ABC$,  касается его сторон в точках  $A’$, $B’$, $C’$,  точка $L$ – середина отрезка $A’B’$ (см. рисунок). Докажите, что $\angle ALB$ — тупой.

Введем обычные обозначения: $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$, p — полупериметр $\triangle ABC$. Так как $CA’=CB’=p-c$ и $CL$ биcсектриса $\angle C$, $CL= \left ( p-c \right )\cos\left ( \frac{C}{2} \right ).$ Применяя теорему косинусов к $\triangle ACL$ и $\triangle BCL$, получим $$AL^{2}=b^{2} +\left ( p-c \right )^{{2}}\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )-2b\left (p-c\right )\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right ),$$$$BL^{2}=a^{2} +\left ( p-c \right )^{{2}}\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )-2a\left ( p-c\right )\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right ),$$$$AL^{2}+BL^{2}-c^{2}=2\left (ab\cos C-p \left (p-c\right )\cos^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )\right)=$$$$=\frac{2\left(ab-p\left (p-c\right )-ab\tg^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )\right)}{\left (1+\tg ^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )\right)}.$$Поскольку $$ab-p\left ( p-c \right )=\left( \left( p-a \right)+ \left( p-c\right)\right)\left( \left( p-b \right)+\left( p-c \right) \right)-$$ $$-\left ( p-c \right ) ( \left ( p-a \right )+ \left ( p-b\right)+\left ( p-c \right ))=\left ( p-a \right)\left ( p-b \right ),$$ $$\tg ^{2}\left ( \frac{C}{2} \right )=\frac{r^{2}}{\left ( p-c\right )^{2}}=\frac{\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )}{p\left( p-c \right)},$$a $p\left ( p-c \right )< ab$, выражение $AL^{2}+BL^{2}-c^{2}$ отрицательно, т.е. $\angle ALB$ тупой.

А.Заславский

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 4 выпуск)

Условие

Всякий депутат имеет свой (абсолютный) рейтинг. В начальный момент после избрания каждый депутат вошел в одну из фракций, в которой он может подсчитать свой относительный рейтинг. Возможен переход депутата из одной фракции в другую, если его относительный рейтинг при этом увеличивается. Пусть в каждый момент времени может происходить лишь один такой переход. Докажите, что спустя конечное время все рейтинговые переходы прекратятся.

Доказательство

Всякий $i$-й депутат имеет свой абсолютный рейтинг $R_{i}$. В начальный момент (после избрания) каждый $i$-й депутат вошел в одну из фракций, в которой он может подсчитать свой относительный рейтинг: $r_{i} = \frac{R_{i}}{S}$, где $S$ – сумма всех абсолютных рейтингов данной фракции.

Обозначим через $S_{i}\left(t\right)$, $S_{j}\left(t\right)$ суммы всех абсолютных рейтингов депутатов $i$ и $j$ фракций в момент $t$. Согласно условию переход $k$-го депутата (в момент $t$) из $i$-й фракции в $j$-ю реализуется, если и только если выполняется неравенство $\frac{R_{k}}{S_{i}\left(t\right)} < \frac{R_{k}}{S_{j}\left(t\right) + R_{k}}$ т.е $S_{i}\left(t\right) > S_{j}\left(t\right) + R_{k}$, или $$R_{k} + S_{j}\left(t\right) — S_{i}\left(t\right) < 0 \tag{*}$$Отметим, что здесь получаем $S_{i}\left(t+1\right) = S_i\left(t\right) — R_{k}$ и $S_{j}\left(t+1\right) = S_j\left(t\right) + R_{k}$.

Теперь рассмотрим функцию $L\left(t\right) = \sum S^{2}_{m}\left(t\right)$, где индекс $m$ пробегает все номера фракций. Покажем, что при реализации перехода $L\left(t\right)$ убывает. Действительно, пусть в момент $t$ происходит переход $k$-го депутата из фракции $i$-й во фракцию $j$-ю. Тогда получаем $$L\left(t+1\right) = \left(S_{i}\left(t\right) — R_{k}\right)^{2} + \left(S_{j}\left(t\right) + R_{k}\right)^{2} + \sum S^{2}_{n}\left(t+1\right)$$где $n$ отлично от $i$ и $j$. Раскрывая первые два квадрата и находим $$L\left(t+1\right) = S^{2}_{i}\left(t\right) + S^{2}_{j}\left(t\right) + 2R_{k}\left(R_k + S_{j}\left(t\right) — S_{i}\left(t\right)\right) + \sum S^{2}_{n}\left(t+1\right)$$С учетом неравенства $\left(*\right)$ устанавливаем $L\left(t+1\right) < L\left(t\right)$. Но функция $L$ может принимать лишь конечное число значений, поэтому ее убывание не может продолжаться сколь угодно долго.

В.Ильичев

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 2 выпуск)

Условие

Длинный товарный поезд трогается с места. Вагоны соединены друг с другом с помощью абсолютно неупругих сцепок. Первоначально зазор в каждой сцепке равен $L$ (см. рисунок). Масса локомотива $m$, а его порядковый номер первый. Все вагоны загружены, и масса каждого из них тоже m.

1. Считая силу тяги локомотива постоянной и равной $F$ , найдите время, за которое в движение будет вовлечено $N$ вагонов.
2. Полагая, что состав очень длинный ($N\rightarrow \infty$), определите предельную скорость ${\mathcal v}_\infty$ локомотива.

Решение

1. Пусть ${\mathcal v}_i^{\prime}$ — скорость части состава из $i$ вагонов сразу после вовлечения в движение $i$-го вагона, а ${\mathcal v}_i$ — скорость части состава из $i$ вагонов перед ударом с $(i+1)$-м вагоном. Из закона сохранения импульса $$(i+1)m\mathcal v_{i+1}^{\prime}=im\mathcal {v}_i=\mathcal {p}_i$$По второму закону Нютона $$a_{a+1}=\dfrac{F}{(i+1)m}$$ а по известному кинематическому соотношению $$a_{i+1}L=\dfrac{\mathcal v_{i+1}^{2}-\mathcal v_{i+1}^{\prime2}}{2}$$Отсюда получим $$\mathcal v_{i+1}^{2}=\dfrac{2FL}{(i+1)m}+\left({\dfrac{i}{i+1}}\right)^{2}\mathcal v_{i+1}^{2}$$ или $$\mathcal {p}_{i+1}^{2}=2(i+1)mFL+\mathcal {p}_{i}^{2}$$Из этой рекуррентной формулы следует $$\mathcal {p}_{N}^{2}=2mFL\sum_{i=1}^{N}i+\mathcal {p}_{0}^{2}$$ или, так как $\mathcal {p}_{0}=0$, $$\mathcal {p}_{N}^{2}=2mFL\dfrac{N(N+1)}{2}$$ откуда $$\mathcal v_{N}=\sqrt{\dfrac{FL}{m}}\sqrt{\dfrac{N+1}{N}}$$Найдём теперь время $\mathcal t_{N}$ вовлечения в движение $N$ вагонов: $$\mathcal v_{i}-\mathcal v_{i}^{\prime}=\mathcal a_{i}\triangle\mathcal t_{i},$$ $$\triangle\mathcal t_{i}=\dfrac{\mathcal v_{i}-\mathcal v_{i}^{\prime}}{\mathcal a_{i}}=\dfrac{m}{F}(i\mathcal v_{i}-i\mathcal v_{i}^{\prime})=\dfrac{m}{F}(i\mathcal v_{i}-(i-1)\mathcal v_{i-1}),$$ $$\mathcal t_{N}=\dfrac{m}{F}\sum_{i=1}^{N-1}(i\mathcal v_{i}-(i-1)\mathcal v_{i-1})=\dfrac{m}{F}((N-1)\mathcal v_{N-1}-0\cdot\mathcal v_{0})=$$ $$=\dfrac{m}{F}\mathcal v_{N-1}(N-1).$$Используя полученное ранее выражение для $\mathcal v_{N}$, окончательно получим $$\mathcal t_{N}=\sqrt{\dfrac{mL}{F}}N\sqrt{1-\dfrac{1}{N}}.$$
2. Из выражения для $\mathcal v_{N}$ находим, что при $N\rightarrow \infty$ скорость состава $\mathcal n_{\infty}\rightarrow\sqrt{FL/m}$.

П. Бойко, Ю. Полянский

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 2 выпуск)

Условие

Пусть $p$ и $q$ — натуральные числа, большие $1$. Известно, что $q^3-1$ делится на $p$, а $p-1$ делится на $q$. Докажите, что $p =q^{\frac{3}{2}}+1$ или $p =q^{2}+q+1$.

Решение

Будем рассуждать так. Имеем $q^3-1 = pk$  для некоторого $k\geqslant 1$. Так как $p\equiv 1\left(\bmod{q}\right)$, то $k\equiv-1\left(\bmod{q}\right)$, т.е. $k = lq-1$ для некоторого $l\geqslant 1$. Из равенства $p = \frac{q^3-1}{lq-1}$ следует, что $l < q^2$, а также то, что числа $q^2-l$ и $q-l^2 $ делятся на $lq-1$. Предположим теперь, что $p \neq q^{\frac{3}{2}}+1$ (в частности, $l \neq q^{\frac{1}{2}}$). Если $1 < l< q,\,l\neq q^{\frac{1}{2}}$ , то $0 < \left|q-l^2\right|<lq-1 $ и, следовательно, делимость $q-l^2$ на $lq-1$ невозможна. Если же $q\leqslant l<q^2 $, то $0 < q^2-l<lq-1 $ и невозможна делимость $q^2-l$ на $lq-1$. Таким образом, $l = 1$ и $p =q^{2}+q+1$ . Этим все доказано.

Н. Осипов