Пусть [latex]f(x)[/latex] определена на полуинтервале [latex]\left[ a ,b \right)[/latex]. Для сходимости несобственного интеграла [latex]\int _{a}^{b}{f(x)dx}[/latex] необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши: для всякого [latex]\varepsilon > 0[/latex] найдется такое [latex]\delta\in\left[ a ,b \right)[/latex], что для любых [latex]{ \xi }_{ 1 },{ \xi }_{ 2 }\in\left( \delta ,b \right)[/latex] выполняется неравенство [latex]\left| \int _{{\xi}_{1}}^{{\xi}_{2}}{f(x)dx} \right| < \varepsilon[/latex].
Доказательство
Обозначим функцию [latex]\Phi (\xi ) = \int _{a}^{\xi}{f(x)dx}[/latex]. Тогда, сходимость интеграла [latex]\int _{a}^{b}{f(x)dx}[/latex] означает существование конечного предела [latex]\underset {\xi \to b-0}{\lim}\int _{a}^{\xi}{f(x)dx} = \underset {\xi \to b-0}{\lim}\Phi(\xi)[/latex], а этот предел существует, согласно критерию Коши, когда функция [latex]\Phi(\xi)[/latex] удовлетворяет условию
$$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta \in \left[ a;b \right): \forall \xi_1, \xi_2 \in \left(\delta, b \right ) \Rightarrow \left|\Phi(\xi_2)-\Phi(\xi_1) \right| < \varepsilon .$$
И в силу свойств интеграла получаем $$\left| \Phi (\xi _{ 2 })-\Phi (\xi _{ 1 }) \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset { a }{ \int } } f(x)dx- \overset { \xi_1 }{ \underset {a }{ \int} }f(x)dx \right| = \left|\overset { \xi _{ 2 } }{ \underset {\xi_1 }{ \int } } f(x)dx \right| < \varepsilon .$$
А это то, что нам и требовалось доказать.
Если функция $f$ имеет производные всех порядков на промежутке $(x_{0}-R, x_{0}+R)$ и все эти производные ограничены в совокупности, т.е. существует такое число $L>0$, что для всех $x\in(x_{0}-R, x_{0}+R)$ и всех $n=0,1,2,…$ выполняется:
$\left|f^{(n)}(x)\right|\leq L$,
(где $L$ не зависит от $n$), то функция $f$ представляется рядом Тейлора:
где правая часть неравенства стремится к нулю при $n\rightarrow\infty$, откуда и следует, что $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{a^{n}}{n!}=0$. Это равенство следует и из того что, выражение $\frac{a^{n}}{n!}$ является общим членом сходящегося ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{a^{n}}{n!}}$. Для того чтобы доказать формулу $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}}$, достаточно убедится, что
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_{n}(x)=0$,
где $r_{n}(x)$ — остаточный член в формуле Тейлора функции $f$. Возьмем $r_{n}(x)$ в форме Лагранжа ($r_{n}(x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$). Из $\left|f^{(n)}(x)\right|\leq L$ следует, что
Если у Вас возникли трудности с понятием дифференцируемости или непрерывности функции в точке в одномерном случае, то перейдите по ссылкам.
Как и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть еще одно необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных, связанное с ее непрерывностью.
Теорема. Если действительная функция нескольких действительных переменных дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Доказательство
Пусть функция [latex]f(x)[/latex] непрерывна в точке [latex]a[/latex]. Тогда ее полное приращение в точке [latex]a[/latex] можно записать в виде
Для того, чтобы последовательность функций [latex]f_{n}(x)[/latex], определенных на множестве [latex]E[/latex], сходилась равномерно к функции [latex]f(x)[/latex] на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
Пусть [latex]f_{n}\rightrightarrows f[/latex] на [latex]E[/latex]. Покажем, что [latex]\delta_{n}=\underset{x\in E}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid\rightarrow 0[/latex] при [latex]n\rightarrow\infty[/latex].
Имеем, что [latex]\forall\varepsilon >0[/latex] существует такой номер [latex]\exists n_{\varepsilon}[/latex], что [latex]\forall n\geq n_{\varepsilon}[/latex] и [latex]\forall x\in X[/latex] выполняется неравенство:
[latex]\mid f_{n}(x)-f(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}[/latex]
Тогда [latex]\forall n\geq n_{\varepsilon}[/latex] будем иметь:
[latex]\underset{x\in X}{sup}\mid f_{n}(x)-f(x)\mid\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon[/latex],
а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия (1).
Достаточность
Пусть справедливо условие (1). Докажем, что последовательность функций [latex]f_{n}(x)[/latex] равномерно сходится к функции [latex]f(x)[/latex].
Используя неравенство [latex]\mid f_{n}\left ( x \right )-f\left ( x \right )[/latex][latex]\mid\leq\delta_{n}[/latex] для [latex]x\in E[/latex], [latex]n\in N[/latex], мы получим, что [latex]\mid f_{n}(x)-f(x)\mid<\varepsilon[/latex], для [latex]x\in E[/latex], [latex]n\geq n_{\varepsilon}[/latex]. А это означает, что [latex]f_{n}(x)\rightrightarrows f(x)[/latex], [latex]x\in E[/latex].
Спойлер
Последовательность функций сходящихся к функции [latex]ln x[/latex]
Для того чтобы последовательность функций [latex]{f_{n}(x)}[/latex] сходилась равномерно на множестве [latex]E[/latex] необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:
[latex]f\left ( x \right )\mid+\mid f_{n}\left ( x \right )[/latex][latex]-f\left ( x \right )\mid<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\quad (5)[/latex]
Какое бы значение [latex]x[/latex] из [latex]X[/latex] не взяли, мы будем иметь числовую последовательность, для которой выполняется условие Коши. Следовательно, для этой последовательности существует конечный предел, что доказывает существование для последовательности предельной функции [latex]f\left ( x \right )[/latex].
Покажем, что последовательность [latex]{f_{n}}[/latex] сходится равномерно к функции [latex]f[/latex]
на множестве [latex]X[/latex]. Действительно, в силу условия (2), [latex]\forall\varepsilon>0[/latex] [latex]\quad\exists n_{\varepsilon}[/latex], что [latex]\forall n\geq n_{\varepsilon}[/latex], [latex]\forall p\geq 0[/latex] и [latex]\forall x\in X[/latex] справедливо неравенство
[latex]\mid f_{n+p}(x)-f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}\quad (3)[/latex]
Заметив, что [latex]\lim\limits_{p\rightarrow\infty}f_{n+p}(x)=f(x)[/latex], перейдем к пределу в неравенстве (3) при [latex] p\rightarrow\infty[/latex]; тогда [latex]\forall n>n_{\varepsilon}[/latex] и [latex]\forall x\in X[/latex] получим
[latex]\mid f(x)-f_{n}(x)\mid<\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon[/latex],
а это и означает, что [latex]f_{n}\rightrightarrows f[/latex].
Если у Вас возникли трудности с понятием дифференциала в одномерном случае, то ознакомьтесь с этой статьей.
Дифференциалы высших порядков
Полный дифференциал [latex]dU[/latex] функции от многих переменных — это функция тех же переменных, и можно определить полный дифференциал этой функции. Таким образом, получим дифференциал второго порядка [latex]d^2U[/latex] изначальной функции [latex]U[/latex], который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет к дифференциалу третьего порядка [latex]d^3U[/latex] изначальной функции и т.д.
Теперь рассмотрим функцию [latex]U=f(x,y)[/latex] двух переменных [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] и предположим, что переменные [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] — независимые переменные. По определению
При вычислении [latex]d^2U[/latex] обратим внимание, что дифференциалы [latex]dx[/latex] и [latex]dy[/latex] независимых переменных следует рассматривать только как постоянные величины, значит их можно выносить за знак дифференциала
[latex]d^2U=\partial[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\partial x]+\partial [\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\partial y]=\partial x\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}+\partial y\partial \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\partial x[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x + [/latex] [latex]+ \frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x \partial y}\partial y]+\partial y[\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}]=\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial x^2}\partial x^2+2\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y \partial x}\partial x \partial y+\frac{\partial ^2f(x,y)}{\partial y^2}\partial y^2.[/latex]
Вычисляя аналогичным образом [latex]d^3U[/latex], получим
[latex]d^3U=\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^3}\partial x^3+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x^2 dy}\partial x^2 \partial y+3\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial x \partial y^2}\partial x \partial y^2+\frac{\partial ^3f(x,y)}{\partial y^3}\partial y^3[/latex].
Эти выражения [latex]d^2U[/latex] и [latex]d^3U[/latex] приводят к следующей символической формуле для дифференциала любого порядка:
причем формулу следует понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, нужно возвести в степень [latex]n[/latex], применяя бином Ньютона, после чего показатели степеней [latex]y \frac{\partial }{\partial x}[/latex] и [latex]\frac{\partial }{\partial y}[/latex] будем считать указателями порядка производных по [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex] от функции [latex]f[/latex].
Геометрический смысл дифференциала функций двух переменных
Пусть функция [latex]z=f(x,y)[/latex] имеет в точке [latex]P_{0}(x_{0},y_{0})[/latex] дифференциал
Видим, что правая часть этого уравнения совпадает с правой частью уравнения (*) для дифференциала [latex]dx[/latex].
Левые части этих равенств равны, но в равенстве (*) левая часть и есть дифференциал функции [latex]z=f(x,y)[/latex] в точке [latex]P_{0}(x_{0},y_{0})[/latex], а в уравнении (**) левая часть означает соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости.
Вывод: геометрический смысл дифференциала функции двух переменных равен соответствующему приращению аппликаты касательной плоскости. Правила дифференцировaния
[latex]d(U+V)=dU+dV[/latex]
[latex]d(UV)=UdV+VdU[/latex]
[latex]d\frac{U}{V}=\frac{VdU-UdV}{V^2},[/latex][latex] \ \ V\neq[/latex][latex]0[/latex]
