Рубрика: Математический анализ

Публикации по учебной дисциплине «Математический анализ» для студентов специальности «Прикладная математика»

Определение неявной функции одной переменной

Пусть функция $F\left(x, y \right)$ определена в $R^{2}$. Рассмотрим $F\left(x, y \right)=0$.

Обозначим: $G_{F}$ — график уравнения $F\left(x, y \right)=0$ (множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению $F\left(x, y \right)=0$); $A_{F}=pr_{ox}G_{F}$ — проекция графика $G_{F}$ на ось $X$.

Определение

Если $G_{F}$ взаимно однозначно проектируется на $A_{F}$, то существует единственная функция $f: A_{F}\rightarrow R$, график которой совпадает с графиком уравнения. Эта функция каждому $x\in A_{F}$ ставит в соответствие $y$, такой, что $F\left(x, y \right)=0$.

Тогда говорят, что $F\left(x, y \right)=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

Примеры

Спойлер

$y-x^{2}=0$
график1
График функции взаимно однозначно проектируется на ось $X$, следовательно функция $y-x^{2}=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

[свернуть]

Спойлер

$xy-1=0$
график2
График функции взаимно однозначно проектируется на ось $X$, следовательно функция $xy-1=0$ определяет $y$ как неявную функцию $x$.

[свернуть]

Спойлер

$y^{2}-x-\ln \frac{y}{x}=0$
график3
График функции не взаимно однозначно проектируется на отрезок $\left [ -0.5;0 \right ]$, следовательно функция $y^{2}-x-\ln \frac{y}{x}=0$ не определяет $y$ как неявную функцию $x$.

[свернуть]

Спойлер

$x^{2}+y^{2}-1=0$
график4
А функция $x^{2}+y^{2}-1=0$ не определяет $y$ как неявную функцию $x$, так как её график неоднозначно проектируется на отрезок $\left [ -1;1 \right ]$.

[свернуть]

Литература

Неявные функции

Тест для закрепления материала.


Таблица лучших: Неявные функции

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Формулы Ньютона-Лейбница

Если существует функция [latex]F(x)[/latex], непрерывная на отрезке [latex][a,b][/latex] и такая, что [latex]F(x)=f(x)[/latex] при [latex]a \leq x < b[/latex], то для несобственного интеграла $\int_{a}^{b}f(x)dx$ справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница:

$$ \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}[F(b-\varepsilon)-F(a)]$$

Если [latex]f(x)[/latex] непрерывна при [latex]a \leq x < b[/latex] и имеет точку разрыва [latex]x=a[/latex], тогда:

$$ \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}[F(b)-F(a+\varepsilon)]$$

Если подынтегральная функция не ограничена в отрезке интегрирования ( например [latex]x = c[/latex] ), то эту точку «вырезают», а интеграл $ \int_{a}^{b}f(x)dx$ определяют в предположении, что [latex]F(x)[/latex] — первообразная для [latex]f(x)[/latex], так:

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{c -\varepsilon}f(x)dx + \lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{c+\varepsilon}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} F(x)|_{a}^{c -\varepsilon} + $$
$$ + \lim\limits_{\varepsilon \to +0} F(x)|_{c+\varepsilon}^{b}=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}F(c — \varepsilon)-F(a) + F(b) — \lim\limits_{\varepsilon \to +0}F(c+\varepsilon)$$

Если пределы существуют и конечны, то интеграл $\int_{a}^{b}f(x)dx$ называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Литература

Тест : Формулы Ньютона-Лейбница

Тест на знание темы «Формулы Ньютона-Лейбница»

Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Пусть функция [latex]f(x)[/latex] определена в промежутке [latex][a,+ \infty),[/latex] т.е. для [latex]x \geq a[/latex], и интегрируема в любой конечной его части [latex][a,A],[/latex] так что интеграл [latex]\int_{a}^{A}f(x)dx[/latex] имеет смысл при любых [latex]A\geq a.[/latex]

Предел этого интеграла (конечный или бесконечный) при [latex]A \to +\infty[/latex] называют интегралом функции [latex]f(x)[/latex] от [latex]a[/latex] до [latex]+\infty[/latex] и обозначают символом $$\int\limits_{a}^{\infty}f(x)dx=\lim_{A \to +\infty}\int\limits_{a}^{A}f(x)dx(1)$$

В случае, если этот предел конечен, говорят, что интеграл [latex](1)[/latex] сходится, а функцию [latex]f(x)[/latex] называют интегрируемой в бесконечном промежутке [latex][a,+ \infty)[/latex]. Если же предел [latex](1)[/latex] бесконечен или вовсе не существует, то про интеграл говорят, что он расходится. В отличие от собственного интеграла, этот интеграл называются несобственным.

Спойлер

$$\int\limits_{0}^{\infty}\cos(x)dx=\lim_{b \to +\infty}\int\limits_{0}^{b}\cos(x)dx=\lim_{b \to +\infty}\sin(x)\mid_{0}^{b}=\lim_{b \to +\infty}(\sin(b)-\sin(0))=$$$$\lim_{b \to +\infty}\sin(b)$$ этого предела не существует, следовательно интеграл расходится.

[свернуть]

Спойлер

$$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+6x+7}=\lim_{b \to +\infty}\int\limits_{0}^{b}\frac{d(x+3)}{(x+3)^2-2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\lim_{b \to +\infty}\ln\bigg|\frac{x+3-\sqrt{2}}{x+3+\sqrt{2}}\bigg|\Bigg|_{0}^{b}=$$$$\frac{1}{2\sqrt{2}}\lim_{b \to +\infty}\bigg(\ln\Big|\frac{b+3-\sqrt{2}}{b+3+\sqrt{2}}\Big|-\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|\bigg)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\bigg[\ln1-\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|\bigg]=$$$$\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\Big|\frac{3-\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}}\Big|=\frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\frac{11+6\sqrt{2}}{7}$$ интеграл сходится.

[свернуть]

Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом определяется интеграл в пределах от [latex]-\infty[/latex] до $b:$ $$\int\limits_{-\infty}^{b}f(x)dx = \lim_{B \to -\infty}\int\limits_{B}^{b}f(x)dx$$

Спойлер

$$\int\limits_{-\infty}^{0}e^xdx=\lim_{b \to -\infty}\int\limits_{b}^{0}e^xdx=\lim_{b \to -\infty}e^x\mid_{b}^{0}=e^0-\lim_{b \to -\infty}(e^b)=e^0=1$$ этот интеграл сходится.

Так выглядит данная функция, цветом же выделена область интеграла

jaja3

[свернуть]

Несобственный интеграл на неограниченном промежутке

Тест на знание темы «Несобственный интеграл на неограниченном промежутке»

Литература:

Линейность несобственных интегралов

Пусть функции [latex]f(x)[/latex] и [latex]g(x)[/latex] определены и непрерывнына промежутке [latex][a,b)[/latex], где [latex]b[/latex] может быть и [latex]+\infty[/latex]. Если интегралы $\int_{a}^{b}f(x)dx$ и $\int_{a}^{b}g(x)dx$ то для всех [latex]\alpha, \beta \in R[/latex], тогда интеграл $\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))$ -сходится и имеет место равенство:

$$\int\limits_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha\int\limits_{a}^{b}f(x)dx+\beta\int\limits_{a}^{b}g(x)dx$$

Доказательство

Доказательство следует из линейности собственного интеграла Римана. Действительно, для [latex]\varepsilon < b[/latex] имеем

$$\int\limits_{a}^{\varepsilon}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha\int\limits_{a}^{\varepsilon}f(x)dx+\beta\int\limits_{a}^{\varepsilon}g(x)dx$$

и, переходя к пределу при [latex]\varepsilon \to b (\varepsilon < b)[/latex] и учитывая то, что приделы существуют по условию, получаем искомое равенство.

Замечание

Если интеграл $\int_{a}^{b}f(x)$ расходится, а интеграл $\int_{a}^{b}g(x)dx$ сходится, то интеграл $\int_{a}^{b}(f(x) + g(x))$ расходится. Если бы интеграл от $ f + g$ сходился, то сходился бы и интеграл от $f = (f + g) — g$, что неверно.

Литература

Тест : Линейность несобственных интегралов

Тест на знание темы «Линейность несобственных интегралов»

Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов

Теорема (признак Дирихле)

Пусть:

  • функция [latex]f[/latex] непрерывна и имеет ограниченную первообразную [latex]F[/latex] при [latex]x\in[a;+\infty)[/latex];
  • функция [latex]g[/latex] непрерывно дифференцируема и убывает на полуинтервале [latex][a;+\infty)[/latex];
  • [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0.[/latex]

Тогда интеграл [latex]I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится.

Спойлер

Покажем, что функция [latex]fg[/latex] удовлетворяет условию Коши на промежутке [latex][a,+\infty)[/latex]. Проинтегрируем эту функцию по частям:

[latex]\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx=F(x)g(x)|_{\xi’}^{\xi»}-\int\limits_{\xi’}^{\xi»}F(x)g'(x)dx,[/latex]

где [latex]\xi’,\xi»>a[/latex].
По первому условию теоремы можно утверждать, что:

[latex]\begin{vmatrix}\left.\begin{matrix}(Fg)\end{matrix}\right|_{\xi’}^{\xi»}\end{vmatrix}\leq[/latex][latex]M(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|[/latex]
[latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}F(x)g'(x)dx\end{vmatrix}\leq[/latex][latex]M\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx\end{vmatrix}.[/latex]

Обратим внимание на то, что при [latex]g'(x)\leq0[/latex] выполняется [latex]|g'(x)|=-g'(x)[/latex], и при [latex]g'(x)\geq0[/latex] выполняется [latex]|g'(x)|=g'(x)[/latex]. Рассмотрим эти два случая:

  • [latex]I_{1}=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx=-\int\limits_{\xi’}^{\xi»}g'(x)dx=g(\xi’)-g(\xi»);[/latex]
  • [latex]I_{1}=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx=\int\limits_{\xi’}^{\xi»}g'(x)dx=g(\xi»)-g(\xi’).[/latex]

Получается, что

[latex]|I_{1}|=\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}|g'(x)|dx\end{vmatrix}\leq(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|).[/latex]

Тогда:

[latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx\end{vmatrix}\leq2M(|g(\xi’)|+|g(\xi»)|)[/latex](*)

Поскольку [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0[/latex], то

 [latex]\forall\varepsilon>0\exists\delta_{\varepsilon}>0:\forall[/latex][latex]x\in[\delta_{\varepsilon},+\infty)\rightarrow|g(x)|<\frac{\varepsilon}{4M}[/latex]

Для [latex]\xi’,\xi»\in[\delta_{\varepsilon},+\infty)[/latex] из неравенства (*) и предыдущего условия следует, что

[latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’}^{\xi»}f(x)g(x)dx\end{vmatrix}\leq2M(\frac{\varepsilon}{4M}+\frac{\varepsilon}{4M})=\varepsilon.[/latex]

Получили, что функция [latex]fg[/latex] удовлетворяет условию Коши, и по критерию Коши сходимости интегралов [latex]I=\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится.

[свернуть]

Рассмотрим признак Абеля сходимости несобственных интегралов. Этот признак является следствием из признака Дирихле.

Теорема (признак Абеля)

Если на полуоси [latex][a,+\infty)[/latex]:

  • функция [latex]f[/latex] непрерывна и интеграл [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)dx[/latex] сходится;
  • функция [latex]g[/latex] непрерывно дифференцируема, ограничена и монотонна,

то интеграл [latex]\int\limits_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится.

Спойлер

Заметим, что интегралы [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] и [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)[-g(x)]dx[/latex] имеют одинаковый характер сходимости. Также, в силу монотонности функции [latex]g[/latex], одна из функций [latex]g[/latex] или [latex]-g[/latex] убывает.
Предположим, что убывает функция [latex]g[/latex]. Поскольку эта функция ограничена и монотонна, то существует конечный предел [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=c[/latex]. Так как функция [latex]g[/latex] убывает, то при [latex]x[/latex] стремящемся к [latex]+\infty[/latex] разность [latex]g(x)-c[/latex] тоже стремится к нулю.
Перепишем произведение функций [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] в следующем виде:

[latex]f(x)g(x)=f(x)[g(x)-c]+cf(x).[/latex]

В силу сходимости интеграла [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)dx[/latex], интеграл [latex]\int_{a}^{+\infty}cf(x)dx[/latex] сходится. Из этого же условия следует, что интеграл [latex]F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt[/latex] ограничен. Действительно, из существования конечного предела [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}F(x)=\int_{a}^{+\infty}f(x)dx[/latex] следует ограниченность функции [latex]F[/latex] в окрестности [latex]U(+\infty)=\left\{x:x>b\right\}[/latex] бесконечно удалённой точки [latex]+\infty[/latex]. Из непрерывности функции [latex]F[/latex] на сегменте [latex][a,b][/latex] следует её ограниченность. Получили, что [latex]F[/latex] ограничена на полуинтервале [latex][a,+\infty)[/latex]. Поскольку первообразная функции [latex]f[/latex] это [latex]F[/latex], то [latex]f[/latex] имеет ограниченную первообразную на [latex][a,+\infty)[/latex].
Для интеграла [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx[/latex] выполнены все условия признака Дирихле, следовательно этот интеграл сходится. В силу сходимости [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)[g(x)-c]dx[/latex], интеграл [latex]\int_{a}^{+\infty}f(x)g(x)dx[/latex] сходится, что и требовалось доказать.

[свернуть]

Примеры

Рассмотрим интеграл [latex]\int_{0}^{+\infty}\sin(x^2)dx[/latex]. Исследуем его на сходимость.

Спойлер

Представим наш интеграл в виде суммы двух интегралов [latex]\int_{0}^{\infty}=\int_{0}^{1}+\int_{1}^{\infty}[/latex] и исследуем последний на сходимость. Запишем подынтегральное выражение в следующем виде:

[latex]\sin(x^2)=(x\sin(x^2))(\frac{1}{x}).[/latex]

[latex]f(x)=x\sin(x^2)[/latex], [latex]g(x)=\frac{1}{x}[/latex]. Пусть

[latex]F(x)=\int_{1}^{x}t\sin(t^2)dt,[/latex]

и применим подстановку [latex]z=t^2[/latex]. Тогда

[latex]\forall{x}:F(x)=\frac{\cos(1)-\cos(x^2)}{2},|F(x)|\leq1.[/latex]

Функция [latex]g(x)\rightarrow0(x\rightarrow+\infty),g'(x)<0[/latex], а значит интеграл сходится по признаку Дирихле.

[свернуть]

Теперь рассмотрим интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}\cdot\;arctg{x}}{x^p}[/latex]. Проверим его на сходимость.

Спойлер

Пусть [latex]f(x)=\frac{\sin{x}}{x^p}[/latex], [latex]g(x)=arctg(x)[/latex]. Интеграл [latex]\int_{1}^{\infty}f(x)dx[/latex] сходится по признаку Дирихле, т.к. интегралы [latex]\begin{vmatrix}\int_{1}^{x}\sin(t)dt\end{vmatrix}\leq2[/latex], а [latex]\frac{1}{x^p}[/latex] монотонно стремится к [latex]0[/latex]. Функция [latex]g(x)\rightarrow\frac{\pi}{2}(x\rightarrow+\infty),g'(x)>0[/latex]. По признаку Абеля интеграл сходится.

[свернуть]

Литература
  1. А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин, «Курс математического анализа», физмат-лит, 2001, стр. 377-380
  2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа», том №1, Высшая школа, 1988-1989, стр. 672-676
  3. Г.М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том №2, стр. 564-565
  4. Конспект З.М. Лысенко
Тесты

Проверьте, как вы усвоили предоставленный материал.