Интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}\sqrt{x}dx[/latex] расходится при [latex]x\geq1[/latex].

Интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}[/latex] абсолютно сходится при [latex]x\geq1[/latex].

Т.к интеграл [latex]\widetilde{I}[/latex] сходится, то для него выполняется условие Коши:

Т.к. [latex]I[/latex] — несобственный интеграл, то подынтегральная функция [latex]f[/latex] интегрируема по Риману на сегменте [latex][\xi’,\xi»][/latex]. Из условия следует, что функция [latex]|f(x)|[/latex] интегрируема по Риману на этом же сегменте.
Т.к. функция интегрируема на каждом отрезке с концами [latex]\xi'[/latex] и [latex]\xi»[/latex], то выполняется неравенство:

Отсюда следует, что

Таким образом, функция [latex]f[/latex] удовлетворяет условию Коши и интеграл [latex]I[/latex] сходится.
Докажем исследуемое неравенство. Воспользуемся следующим  неравенством:

Данное н-во справедливо при любом [latex]\xi\in[a,b)[/latex]. Т.к интегралы [latex]I[/latex] и [latex]\widetilde{I}[/latex] сходятся, то, переходя к пределу при [latex]\xi[/latex] стремящемся к [latex]b[/latex] справа, получим требуемое неравенство.

Пусть [latex]I=\int_{a}^{b}g(x)dx,\;\widetilde{I}=\int_{a}^{b}|g(x)|dx,\;\widetilde{I}_{1}=\int_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx,\;\widetilde{I}_{2}=\int_{a}^{b}\left|f(x)+g(x)\right|dx.[/latex]

1. Из неравенства [latex]\left|f+g\right|\leq\left|f\right|+\left|g\right|[/latex], критерия Коши и сходимости интегралов [latex]\widetilde{I}[/latex] и [latex]\widetilde{I}_{1}[/latex] следует сходимость интеграла [latex]\widetilde{I}_{2}[/latex].
2. Пусть интеграл [latex]I_{1}[/latex] сходится, а [latex]\widetilde{I}_{1}[/latex] расходится.  Тогда (из сходимости интегралов [latex]I_{1}[/latex] и [latex]I[/latex])  интеграл [latex]I_{2}[/latex] сходится, а [latex]\widetilde{I}_{2}[/latex]  расходится. В противном случае из н-ва [latex]\left|f\right|\leq\left|f+g\right|+\left|g\right|[/latex] и сходимости [latex]\widetilde{I}[/latex] следовала бы сходимость [latex]\widetilde{I}_{1}[/latex]. Аналогично рассматривается ситуация с условной сходимостью интегралов [latex]I_{2}[/latex] и [latex]I_{1}[/latex].
3. Из расходимости [latex]I_{1}[/latex] следует расходимость [latex]I_{2}[/latex]. Если бы это было не так, то из сходимости [latex]I[/latex]  и равенства [latex]f=\left(f+g\right)-g[/latex] следовала бы сходимость [latex]I_{1}[/latex].

[latex]I=\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx[/latex]

Рассмотрим три ситуации:

• [latex]\alpha>1[/latex]
• [latex]0<\alpha\leq1[/latex]
• [latex]\alpha\leq0[/latex]

1. Пусть [latex]\alpha>1[/latex]. [latex]\begin{vmatrix}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}\end{vmatrix}\leq\frac{1}{x^\alpha}[/latex], следовательно, в силу сходимости интеграла [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}[/latex], сходится интеграл [latex]\widetilde{I}=\int_{1}^{+\infty}\frac{\left|\sin{x}\right|}{x^\alpha}dx[/latex], т.е. интеграл [latex]I[/latex] сходится абсолютно. Отсюда, по теореме 1, следует сходимость интеграла [latex]I[/latex].
2. Рассмотрим второй случай. Интегрируя по частям, получим
   [latex]\left.\begin{matrix}I=-\frac{\cos{x}}{x^\alpha}\end{matrix}\right|_{1}^{+\infty}-\alpha\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha+1}}dx[/latex],

   где [latex]\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha}}=0[/latex], а [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha+1}}dx[/latex] сходится абсолютно. Следовательно, [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^{\alpha+1}}dx[/latex] сходится и интеграл [latex]I[/latex] сходится при [latex]0<\alpha\leq1[/latex]. Интеграл [latex]\int_{1}^{+\infty}\frac{\left|\sin{x}\right|}{x^\alpha}dx[/latex] при [latex]0<\alpha\leq1[/latex] расходится, а значит, что при [latex]0<\alpha\leq1[/latex] интеграл [latex]I[/latex] сходится условно.

3. Рассмотрим [latex]\alpha\leq0[/latex]. Используя критерий Коши, докажем расходимость интеграла [latex]I[/latex]. Пусть [latex]\delta>1[/latex]. Выберем число [latex]n\in\mathbb{N}[/latex] таким, чтобы [latex]2n\pi>\delta[/latex], и положим
   [latex]\xi’_{\delta}=2n\pi+\frac{\pi}{6},\xi»_{\delta}=2n\pi+\frac{5\pi}{6}[/latex].

   Т.к. при [latex]x\in[\xi’_{\delta};\xi»_{\delta}][/latex] выполняется неравенство [latex]\sin{x}\geq\frac{1}{2}[/latex] и [latex]\frac{1}{x^\alpha}\geq1[/latex] при [latex]x\geq1[/latex] и [latex]\alpha\leq0[/latex], то

   [latex]\begin{vmatrix}\int\limits_{\xi’_{\delta}}^{\xi»_{\delta}}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx\end{vmatrix}=\int\limits_{\frac{\pi}{6}+2n\pi}^{\frac{5\pi}{6}+2n\pi}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx\geq\frac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi}{6}+2n\pi}^{\frac{5\pi}{6}+2n\pi}dx=\frac{\pi}{3}.[/latex]

   Очевидно, что условие Коши не выполняется и интеграл расходится при [latex]\alpha\leq0[/latex].

Ответ:[latex] I=\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x^\alpha}dx[/latex]:

• абсолютно сходится при [latex]\alpha>1[/latex];
• условно сходится при [latex]0<\alpha\leq1[/latex];
• расходится при [latex]\alpha\leq0[/latex].