Рубрика: Математический анализ

Публикации по учебной дисциплине «Математический анализ» для студентов специальности «Прикладная математика»

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке

Теорема (Достаточные условия дифференцируемости функции в точке)

Пусть функция [latex]f[/latex] принадлежит классу [latex]C^{1}(E)[/latex], где открытое множество [latex]E\subset \mathbb{R}^{n}[/latex] . Тогда [latex]f[/latex] дифференцируема на [latex]E[/latex].

Через [latex]C^{1}(E)[/latex] обозначается класс всех всех непрерывно дифференцируемых на множестве [latex]E[/latex] функций.

Доказательство

Фиксируем [latex]x_{0}\in E[/latex]. Поскольку множество [latex]E[/latex] открыто, то существует шар [latex]U_{0}[/latex] с центром в этой точке, целиком содержащийся в [latex]E[/latex]. Пусть [latex]r[/latex]– радиус этого шара и вектор [latex]h[/latex] имеет длину [latex]\left | h \right |<r[/latex]. Обозначим: [latex]x_{j}=x_{0}+h^{1}e_{1}+…+h^{j}e_{j}, (j=1,…,n)[/latex]. Ясно, что [latex]x_{n}=x_{0}+h[/latex].
Заметим, что все [latex]x_{j}[/latex] принадлежат шару [latex]U_{0}[/latex]. Действительно,$$\left | x_{0}-x_{j} \right |=\sqrt{\sum_{i=1}^{j}(h^{j})^{2}}\leq \left | h \right |< r.$$
Поскольку шар – выпуклое множество, то каждый из отрезков [latex][ x_{j-1},x_{j} ][/latex] содержится в [latex]U_{0}[/latex]. Действительно, этот отрезок – это множество точек [latex]x=(1-t)x_{j-1}+tx_{j}[/latex], где [latex]0\leq t\leq 1[/latex], и мы получаем [latex]\left | x_{0}-x_{j} \right |\leq (1-t)\left | x_{0}-x_{j-1} \right |+\left | x_{0}-x_{j} \right |< r[/latex].
Воспользуемся равенством: $$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\left [ f(x_{j})-f(x_{j-1}) \right ].$$
Рассмотрим отдельно каждое из слагаемых в правой части. При фиксированном [latex]j[/latex] положим [latex] g(t)=f(x_{j-1}+te_{j})[/latex], [latex](0\leq t\leq h^{j}) [/latex]. По определению частной производной имеем: $$ g{}'(t)=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{j-1}+te_{j}) .$$
По формуле Лагранжа получаем:
$$ f(x_{j})-f(x_{j-1})=g(h^{j})-g(0)=g{}'(\tau _{j})h^{j}=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi _{j})h^{j},$$
где [latex]\xi _{j}=x_{j-1}+\tau_{j}e_{j}[/latex] — некоторая точка отрезка, соединяющего [latex]x_{j-1}[/latex] и [latex]x_{j}[/latex].
Имеем [latex] \left | x_{0}-\xi_{j} \right |\leq \left | h \right | [/latex].
Обозначим $$ \alpha _{j}(h)=\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})-\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi_{j}) .$$
По условию все частные производные непрерывны в точке [latex]x_{0}[/latex] и поэтому [latex]\lim_{h\rightarrow 0}\alpha _{j}(h)=0 , (j=1,…,n)[/latex].
В силу равенства $$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\left [ f(x_{j})-f(x_{j-1}) \right ]$$ имеем:
$$f(x_{0}+h)-f(x_{0})=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(\xi_{j})h^{j}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})h^{j}-\sum_{j=1}^{n}\alpha _{j}(h)h^{j}=$$$$=A(h)+\rho (h),$$
где $$ A(h)=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x^{j}}(x_{0})h^{j} .$$
Итак, [latex]A[/latex] является линейной формой аргумента [latex]h[/latex], а [latex]\left | \rho(h) \right |\leq \left | h \right |\sum_{j=1}^{n}\left | \alpha_{j}(h) \right |[/latex].
Поэтому, получаем, что [latex]\frac{\rho(h)}{\left | h \right |}\rightarrow 0[/latex] при [latex]h\rightarrow 0[/latex].
Согласно определению дифференцируемости, теорема доказана.[latex]\square [/latex]

Замечание 1

Из доказательства видно, что если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки [latex]x_{0}[/latex] и в этой точке все они непрерывны, то функция дифференцируема в точке [latex]x_{0}[/latex].

Замечание 2

Непрерывность частных производных – только достаточное условие дифференцируемости. Оно не является необходимым.

Следствие

Каждая функция класса [latex]C^{1}[/latex] непрерывна.

[spoilergroup]

Спойлер

Пусть
[latex]f(x)=\left | x \right |^{2}\sin \frac{1}{\left | x \right |^{2}}[/latex], [latex]x\neq 0[/latex] и [latex]f(x)=0[/latex], [latex]x=0[/latex].
Найдем частные производные
[latex]\frac{\partial f}{\partial x^{i}}=2x^{j}\sin \frac{1}{\left | x \right |^{2}}-\frac{2x^{i}}{\left | x \right |^{2}}\cos \frac{1}{\left | x \right |^{2}}[/latex], [latex](x\neq0)[/latex].
При [latex]x=0[/latex] наша функция дифференцируема, т.к. [latex]f(h)-f(0)=f(h)=\bar{o}(\left | h \right |)[/latex]. Однако, как легко видеть, все частные производные разрывны в точке [latex]x=0[/latex].

[свернуть]

[/spoilergroup]

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Достаточное условие дифференцируемости функции в точке

Проверка знания достаточного условия дифференцируемости функции в точке


Таблица лучших: Достаточное условие дифференцируемости функции в точке

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости

Пусть дана последовательность [latex]a_1, a_2,…, a_n,…[/latex], где [latex]a_i\epsilon \mathbb{R}, i \epsilon \mathbb{N}[/latex]

Символ вида (*) [latex]a_1+a_2+…+a_n+…[/latex] называется числовым рядом и обозначается[latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_n [/latex], при этом [latex]a_n[/latex] называется общим членом ряда. Ряд (*) называется сходящимся, если существует предел [latex]\lim_{n \to \infty }S_n[/latex], где [latex]S_n[/latex] это n-ая частичная сумма ряда, [latex]S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k[/latex].

s

При этом, число [latex]S=\lim_{n \to \infty }S_n[/latex] называется суммой ряда, и пишут [latex]S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n [/latex].

Если же предел частичных сумм [latex]\lim_{n \to \infty }S_n[/latex] не существует или бесконечен, то говорят, что ряд (*) расходится и никакой суммы ряду не присваивается.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

[latex]q+q^{2}+…+q^{n}+…[/latex]

Запишем n-ю частичную сумму и с упростим выражение с помощью формулы суммы геометрической прогрессии.

[latex]S_n=q+q^{2}+…+q^{n}=\frac{q(1-q^{n})}{1-q}[/latex], [latex]|q|\neq1[/latex]
[latex]\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\frac{q}{1-q}[/latex], при [latex]|q|<1[/latex]
[latex]\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\infty[/latex], при [latex]|q|>1 [/latex].
[latex]\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}n=\infty[/latex], при [latex]q=1 [/latex].
[latex]\lim\limits_{n \to \infty}S_n[/latex] не существует, при [latex]q=-1 [/latex].

Таким образом, при [latex]|q|<1[/latex] ряд сходится, а при [latex]|q|\geq1 [/latex] — расходится.

Необходимое условие сходимости числового ряда

Если ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/latex] сходится, то необходимо [latex]\lim_{n \to \infty}a_n=0[/latex].

Доказательство.

Если ряд сходится, то [latex]\exists \lim_{n \to \infty}S_n=S[/latex], следовательно [latex]\exists \lim_{n \to \infty}S_{n-1}=S[/latex].

Рассмотрим [latex]\lim_{n \to \infty}(S_{n-1}-S_n)=S-S=0[/latex], где [latex]S_{n-1}-S_n=a_n[/latex], [latex]a_n[/latex] — общий член ряда, [latex]\lim_{n \to \infty}a_n=0[/latex]. Теорема доказана.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n-1}[/latex].

Необходимое условие не выполняется: [latex]\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{2n-1}=\frac{1}{2}\neq 0[/latex]. Следовательно, ряд расходится.

Литература

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Тест на проверку знаний о сходящихся и расходящихся рядах, а также необходимого условия сходимости.

Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница

Знакопеременным числовым рядом
называется ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены.
Знакочередующийся ряд
Числовой ряд вида [latex]u_{1}-u_2+u_3-u_4+…+(-1)^{n-1}u_n+…,[/latex] где [latex]u_n — [/latex]это модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда.
Теорема Лейбница(Признак Лейбница)
Если для знакочередующегося числового ряда
[latex]u_{1}-u_2+u_3-u_4+…+(-1)^{n-1}u_n+…(*)[/latex]
Выполняются два условия:

  • Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине [latex]u_{1} > u_2 > …> u_n > …[/latex]
  • Члены ряда стремятся к нулю [latex]\lim_{n \to \infty} u_n = 0[/latex]

то ряд [latex](*)[/latex] сходится, при этом сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство:

Частичную сумму чётного порядка можно записать так: [latex]S_{2n}=(u_{1}-u_2)+(u_3-u_4)+…+(u_{2n-1}-u_{2n})[/latex].

По условию [latex]u_{1} > u_2 > …> u_{2n-1} > u_{2n},[/latex] следовательно все разности в скобках положительны, значит, [latex]S_{2n}[/latex] увеличивается с возрастанием [latex]n[/latex] и [latex]S_{2n}>0[/latex] при любом [latex]n.[/latex]

С другой стороны, если переписать так [latex]S_{2n}=u_{1}-[(u_2-u_3)+(u_4-u_5)+…+(u_{2n-2}-u_{2n-1})+u_{2n}].[/latex] Выражение в квадратных скобках положительно и  [latex]S_{2n}>0,[/latex] поэтому  [latex]S_{2n}<u_1[/latex]для любого  [latex]n.[/latex] Таким образом, последовательность частичных сумм [latex]S_{2n}[/latex] ограничена и возрастает, следовательно, существует конечный  [latex]\lim_{n \to \infty}S_{2n}=S.[/latex] При этом  [latex]0<S_{2n}\leq u_1.[/latex]

Переходя к частичную сумму нечётного порядка, имеем [latex]S_{2n+1}=S_{2n}+u_{2n+1}.[/latex] Перейдём в последнем равенстве к пределу при [latex]n \to \infty:\lim_{n \to \infty}S_{2n+1}=\lim_{n \to \infty}S_{2n}+\lim_{n \to \infty}u_{2n+1}=S+0=S.[/latex] Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного порядка имеют один и тот же предел [latex]S,[/latex] поэтому [latex]\lim_{n \to \infty}S_{n}=S,[/latex] следовательно данный ряд сходится.

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

В данном тесте вы можете проверить, как вы усвоили материал.


Таблица лучших: Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Литература:

Определение квадратичной формы

Определение

Квадратичной формой [latex]Q\left(x_{1}, x_{2}, …, x_{n} \right)[/latex] от [latex]n[/latex] неизвестных [latex]x_{1}, x_{2}, …, x_{n}[/latex] называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Обозначая коэффициент при [latex]x_{i}^{2}[/latex] через [latex]a_{ii}[/latex], а при произведении [latex]x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}\left(i\neq j \right)[/latex] — через [latex]a_{ij}+a_{ji}\left(a_{ij}=a_{ji} \right)[/latex], квадратичную форму [latex]Q[/latex] можно представить в виде

[latex]Q\left(x_{1}, x_{2}, …, x_{n} \right) = a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+…+a_{1n}x_{1}x_{n}+…+a_{n1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+…+a_{nn}x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}x_{i}x_{j}}}[/latex]

Симметричная матрица [latex]A= \left(a_{ij} \right)[/latex] называется матрицей квадратичной формы [latex]Q[/latex].

Примеры

Пример 1

Написать матрицу квадратичной формы.
[latex]Q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) = 2x_{1}^{2}-5x_{2}^{2}+8x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+6x_{2}x_{3}[/latex]

Пример 2

Написать квадратичную форму по её матрице.
[latex]A=\begin{pmatrix}4 & 0& 2\\ 0& 7 & 1\\ 2&1 &-5 \end{pmatrix}[/latex]

[spoilergroup]

Пример 1

[latex]A=\begin{pmatrix}2 & 2& -1\\ 2& -5 & 3\\ -2&3 &8 \end{pmatrix}[/latex]

[свернуть]

Пример 2

[latex]Q\left(x_{1}, x_{2},x_{3} \right) = 4x_{1}^{2}+7x_{2}^{2}-5x_{3}^{2}+4x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}[/latex]

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Тест на знание квадратичной формы

Тест на умение распознать квадратичную форму и составить для неё матрицу квадратичной формы, а также наоборот — написать квадратичную форму по её матрице.

Формула конечных приращений Лагранжа

Теорема (Формула конечных приращений Лагранжа)

Если функция [latex] f\in C[a,b] [/latex] и дифференцируема на интервале [latex](a,b)[/latex], то [latex] \exists \theta \in (0,1)[/latex], [latex]f(a)-f(b)=f{}'(x_{0} )(b-a)[/latex], где [latex] x_{0}=a+ \theta(b-a)[/latex].

Геометрический смысл (для случая одной переменной): на дуге графика данной функции, соединяющей точки [latex](a,f(a))[/latex] и [latex](b,f(b))[/latex], найдется точка [latex](c,f(c))[/latex], (и, возможно, не одна), в которой касательная к графику функции параллельна хорде, соединяющей концы дуги.

RealyfinalVersion — копия

Доказательство

Рассмотрим функцию [latex]\varphi (x)=f(x)+\lambda x[/latex] где число [latex]\lambda[/latex] выберем таким, чтобы выполнялось условие [latex]\varphi (a)=\varphi (b)[/latex], т.е. [latex]f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b[/latex]. Отсюда находим: [latex]\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/latex].

Так как функция [latex]\varphi (x)[/latex] непрерывна на отрезке [latex][a,b][/latex], дифференцируется на интервале [latex](a,b)[/latex] и принимает равные значения на концах этого интервала то, по теореме Ролля, существует точка [latex]x_{0}\in (a,b)[/latex] такая, что [latex]\varphi{}'(x_{0})=f{}'(x_{0})+\lambda =0[/latex]. Отсюда получаем, что [latex]f{}'(x_{0})=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} [/latex], или [latex]f(b)-f(a)=f{}'(x_{0})(b-a). [/latex] [latex]\square [/latex]

[spoilergroup]

Спойлер

Доказать, что [latex]\ln (1+x)\leqslant x[/latex], [latex]x>0[/latex] (*),
[latex]\left | \arctan x_{2} -\arctan x_{1} \right |\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |[/latex], [latex]x_{1}\in \mathbb{R}[/latex], [latex]x_{2}\in \mathbb{R}[/latex]. (**)
а) Применяя теорему Лагранжа к функции [latex]f(x)=\ln (1+x)[/latex] на отрезке [latex][0,x][/latex], где [latex]x>0[/latex], получаем [latex]\ln(1+x)=\frac{1}{1+\xi }x[/latex], откуда следует неравенство (*), так как [latex]0<\xi<x[/latex].
б) По теореме Лагранжа для функции [latex]\arctan x[/latex] на отрезке с концами [latex]x_{1}[/latex] и [latex]x_{2}[/latex] находим
$$\arctan x_{2} — \arctan x_{1}=\frac{1}{1+\xi ^{2}}(x_{2}-x_{1}),$$
откуда получаем [latex]\left | \arctan x_{2}-\arctan x_{1} \right |=\frac{\left | x_{2}-x_{1} \right |}{1+\xi ^{2}}\leqslant \left | x_{2}-x_{1} \right |[/latex], так как [latex]0<\frac{1}{1+\xi^{2}}\leqslant 1[/latex].
Полагая в соотношении (**) [latex]x_{2}=x[/latex], [latex]x_{1}=0[/latex], получаем
[latex]\left | \arctan x \right |\leqslant \left | x \right |[/latex], [latex]x\in \mathbb{R}[/latex],
и, в часности,
[latex]0\leqslant \arctan x\leqslant x[/latex], [latex]x\geqslant 0[/latex].

[свернуть]

[/spoilergroup]

Использованная литература

Рекомендованная литература

Тест

Формула конечных приращений Лагранжа

Теста на знание формулы конечных приращений Лагранжа

Таблица лучших: Формула конечных приращений Лагранжа

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных