Определение

Функция $f$ определенна на множестве $X\subset R^{n}$ называется равномерно непрерывной на $X,$ если $\forall\varepsilon > 0,$ $\exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0,$ что для любых двух точек $x, y \in X,$ удовлетворяющих условию $\rho(x, y) < \delta,$ выполняется неравенство $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.

Теорема Кантора

Если функция $f$ определенна и непрерывна на компактном множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве.

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест по теме: «Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 8 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 2

   Сопоставить

   Элементы сортировки

   • $f(x)=\frac{1}{x}$ на $(0; 1)$
   • $f(x)=x+\sin x$ на $\mathbb{R}$
   • $x^{2}$ на $[-a; a]$

   • Непрерывная, но не равномерно непрерывная на компактном множестве

   • Равномерно непрерывная на $\mathbb{R}$

   • Равномерно непрерывная на $[-a,a]$

   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 2

   Всегда ли непрерывная функция на некотором множестве равномерно непрерывна на этом множестве? (да/нет)
   Правильно
   

   Легко видеть, что равномерная непрерывная на множестве непрерывна на ней. Наоборот, если функция непрерывна на некотором множестве, то она не обязательно равномерно непрерывна на этом множестве. Так например [latex]f(x, y) = x^{2}+y^{2}[/latex] на [latex]\mathbb{R}^{2}[/latex]

   Неправильно
   

   Легко видеть, что равномерная непрерывная на множестве непрерывна на ней. Наоборот, если функция непрерывна на некотором множестве, то она не обязательно равномерно непрерывна на этом множестве. Так например [latex]f(x, y) = x^{2}+y^{2}[/latex] на [latex]\mathbb{R}^{2}[/latex]
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 2

   Если функция [latex]f[/latex] определенна на множестве [latex]X\subset R^{n}[/latex] и [latex]\forall\varepsilon > 0[/latex] [latex]\exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0[/latex], что для любых двух точек [latex]x, y \in X[/latex], удовлетворяющих условию [latex]\rho(x, y) < \delta[/latex], выполняется неравенство [latex]|f(x)-f(y)|<\varepsilon[/latex], то функция [latex]f[/latex] называется

   • равномерно непрерывной
   • сложной
   • замкнутой
   • непрерывной
   • равномерной
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 2

   Согласно теореме Кантора функция равномерно непрерывна на некотором компактном множестве обладает свойствами:

   • определена
   • непрерывна
   • замкнута
   • равномерная
   • компактная
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники

Г.М. Фихтенгольц  Курс дифференциального интегрального исчисления т.1 (стр. 370-371)

Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одеса 2009 (стр. 11-12).

Вторым замечательным пределом называется равенство

[latex]\lim_{x\rightarrow 0}\limits (1+x)^{\frac{1}{x}}=e[/latex].

Рассмотрим 2 примера.

Тест

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Замечательный предел

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 6 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 2

   Чему равен [latex]\lim_{x\rightarrow 1}\limits (1+\frac{1}{3x})^{4x}[/latex]

   • $\frac{1}{2}$
   • $\sqrt{3}$
   • $1$
   • $e^{\frac{4}{3}}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 2

   Нахождение какого из этих пределов можно свести ко второму замечательному пределу?

   • $ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 7x}{3x} $
   • $ \lim\limits_{x \rightarrow 0} (1+\tan x)^{ \frac{1}{2x}}$
   • $ \lim\limits_{x \rightarrow \infty} (\frac{2-x}{x+1})^{2x+3}$
   • $ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos 4x}{5x}$
   • $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{5x^{2}}{\sin^{2} \frac{x}{2}}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 2

   Сопоставить пределы и их значения

   Элементы сортировки

   • $1$
   • $\ln a$
   • $a$

   • $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$

   • $ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}$

   • $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{a}-1}{x}$

   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники

Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одеса 2009 (стр. 26-27).

Б. П. Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 60-63).

Определение тела вращения и его объема

Тела вращения – это объемные тела, которые образуются при вращении некой плоской фигуры, которая, в свою очередь, ограничена кривой и вращается вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Определение кубируемости

Тело [latex]M[/latex] — называется кубируемым, если верхний объем [latex]\overline{V}[/latex] совпадает с нижним [latex]\underline{V}[/latex] и тогда величина [latex]V=\overline{V}=\underline{V}[/latex] называется объемом [latex]M[/latex].

Пусть Тело [latex]M[/latex] — тело вращения, полученное вращением некоторой плоской фигуры вокруг оси [latex]OX[/latex] или [latex]OY[/latex].
[latex]M[/latex] — кубируемо и его объем вычисляется по формуле [latex]V=\pi\int\limits_{a}^{b} f^2(x) dx[/latex].
Вот пример тела полученого вращением вокруг оси [latex]OX[/latex] криволинейной трапеции, образованной непрерывной функцией [latex]y=f(x)[/latex] и прямыми [latex]x=a[/latex] и [latex]x=b[/latex].

Если на сегменте [latex][a,b] [/latex] функции [latex]f(x)[/latex] имеет непрерывную производную [latex]f^{‘}(x)[/latex], то поверхность [latex]M[/latex], образованная вращением графика этой функции вокруг оси [latex]Ox[/latex], квадрируема и её площадь [latex]P[/latex] может быть вычислена по формуле[latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx[/latex]

Доказательство. Длина [latex]l_{i} [/latex] звена [latex]A_{i-1}A_{i} [/latex] ломанной [latex]A_{0}A_{1}…A_{n} [/latex] равна [latex]\sqrt{(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}}.[/latex] По формуле Лагранжа имеем [latex]y_{i}-y_{i-1}=[/latex][latex]f(x_{i})-f(x_{i-1})=[/latex][latex]f^{‘}(\xi)(x_{i}-x_{i-1}) [/latex]. Полагая [latex]x_{i}-x_{i-1}=\Delta_{x_{i}} [/latex]. Поэтому, согласно формуле,
[latex]P(x_{i})=[/latex][latex]2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}}+[/latex][latex]\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}}+[/latex][latex]\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}-f(\xi_{i}))\sqrt{1+f^{‘2}}\Delta_{x_{i}},[/latex] Обозначим эту формулу [latex](**).[/latex] Первая сумма в правой части представляет собой интегральную сумму функции [latex]2\pi{f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx}[/latex], которая в силу условий утверждения интегрируема и имеет предел [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx[/latex]. Докажем, что выражение в правой части [latex](**)[/latex] имеет предел, равный нулю. В самом деле, пусть [latex]\varepsilon>0[/latex]. Так как функция [latex]f(x)[/latex] равномерно непрерывны на сегменте [latex][a,b] [/latex], то по данному[latex]\varepsilon>0[/latex] можно указать такое [latex]\delta>0[/latex], что при [latex]\Delta<\delta[/latex][latex](\Delta=\max\Delta_{x_{i}})[/latex] выполняются неравенства [latex]|y_{i-1}-f(\xi_{i})|<\varepsilon[/latex] и [latex]|y_{i}-f(\xi_{i})|<\varepsilon[/latex]. Если [latex]T[/latex] — максимальное значение функции [latex]\sqrt{1+f^{‘2}(x)}[/latex] на сегменте [latex][a,b][/latex], то получаем
[latex]|\sum\limits_{i=1}^{n}((y_{i-1}-f(\xi_{i}))+[/latex][latex](y_{i}-f(\xi_{i})))\sqrt{{1+f^{‘2}(\xi_{i})}}\Delta_{x_{i}}|<[/latex][latex]2T\varepsilon\sum\limits_{i=1}^{n}\Delta_{x_{i}}=[/latex][latex]2T(b-a)\varepsilon.[/latex] В силу произвольности [latex]\varepsilon >0[/latex] предел указанного выражения равен нулю. Итак, мы доказали существование предела [latex]P[/latex] площадей [latex]P(x_{i})[/latex] и установили, что этот предел может быть вычислен по формуле [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx[/latex].
Замечание 1.Квадрируемость поверхности вращения можно доказать при более слабых условиях. Достаточно потребовать, чтобы функция [latex]f^{‘}(x)[/latex] была определена и интегрируема на сегменте [latex][a,b].[/latex] Из этого предположения вытекает интегрируемость функции [latex]f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}.[/latex] Дальнейшее рассуждение ничем не отличается от рассуждений, проведенных при доказательстве утверждений этого пункта.
Замечание 2. Если поверхность [latex]M[/latex] получается посредством вращения вокруг оси [latex]Ox[/latex] кривой [latex]L[/latex], определяемой параметрическими уравнениями
[latex]x=\phi(t)[/latex], [latex]y=\psi(x)[/latex], [latex]\alpha\leq t\leq \beta,[/latex] то осуществляя замену переменных под знаком определенного интеграла в формуле
[latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx,[/latex] получим следующее выражение для площади [latex]P[/latex] этой поверхности [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt.[/latex]
Пример 1.Найдем площадь [latex]P[/latex] поверхности эллипсоида вращения. Пусть эллипс [latex]\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1[/latex] вращается вокруг оси [latex]Ox[/latex]. Рассмотрим сначала случай [latex]a>b[/latex](вращение вокруг большой оси эллипса). Так как в этом случае [latex]f(x)=\frac{b}{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}[/latex], то полагая [latex]e=\sqrt{\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}[/latex], найдем [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{-a}^{a}f(x)\sqrt{1+f^{‘2}(x)}dx=[/latex][latex]2\pi\frac{b}{a}\int\limits_{-a}^{a}\sqrt{a^{2}-e^{2}x^{2}}dx=[/latex][latex]2\pi b(b+\frac{a}{e}\arcsin e)[/latex]. Если [latex]a<b[/latex], то полагая [latex]e=\sqrt{\frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}}[/latex] и проводя соответствующие вычисления, получим [latex]P=[/latex][latex]2\pi b(b+\frac{a^{2}}{2b}\ln\frac{1+e}{1-e})[/latex].
Пример 2. Найдем площадь [latex]P[/latex] поверхности, образованной вращением вокруг оси [latex]Ox[/latex] циклоиды, определяемой параметрическими уравнениями [latex]x=a(t- \sin t),[/latex] [latex]y=a(1-\cos t)[/latex], [latex]0\leq t\leq 2\pi[/latex]. По формуле [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt[/latex]. Имеем [latex]P=[/latex][latex]2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\psi(t)\sqrt{\phi^{‘2}(t)+\psi^{‘2}(t)}dt=[/latex][latex]2\sqrt{2}\pi a^{2}\int\limits_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^{\frac{3}{2}}dt=[/latex][latex]\frac{64}{3}\pi a^{2}[/latex].
Литература

Вычислении площади поверхности вращения

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Вычислении площади поверхности вращения

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 18 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Количество баллов: 1

   По какой формуле вычисляется площадь поверхности вращения

   • $$2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx$$
   • $$2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1-f^{'2}(x)}dx$$
   • $$2\pi\int\limits_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f^{'}(x)}dx$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Количество баллов: 5

   
   Дано 5 квадратов. Их площади равны $$12\pi^{2}, 6\pi^{2}+20\pi,125,7\pi^{2}(1+\sqrt{2}), 5\pi^{2}(\ln(1 +\sqrt{2} )+\sqrt{2}). $$ Расположите от меньшего к большему.

   • $$5\pi^{2}(\ln(1 +\sqrt{2} )+\sqrt{2})$$
   • $$12\pi^{2}$$
   • $$6\pi^{2}+20\pi$$
   • $$125$$
   • $$7\pi^{2}(1+\sqrt{2})$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Количество баллов: 3

   
   $$Вычислим~ площадь~ Q ~поверхности, ~образованной~ вращением~ в ~пространстве~ вокруг~ оси~ Ox~ части ~линии$$ $$y=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} ,~ расположенной~ над ~отрезком~ [0;1] ~оси~ Ox .$$

   • $$\frac{\pi}{36}(14\sqrt{2}+3\ln(3+2\sqrt{2}))$$
   • $$\frac{\pi}{35}(14\sqrt{2}+3\ln(3+2\sqrt{2}))$$
   • $$\frac{\pi}{36}(14\sqrt{2}-3\ln(3+2\sqrt{2}))$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Количество баллов: 5

   Поставьте в соответствие фигуру и способ получения путем вращения.

   Элементы сортировки

   • Сфера
   • Тор
   • Эллипсоид вращения
   • Параболоид вращения
   • Конус

   • Получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр.

   • Получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости.

   • Получается вращением эллипса вокруг одной из его осей.

   • Получается вращением параболы вокруг своей оси.

   • Получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую.

   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   Количество баллов: 1

   Поверхность, образуемая вращением цепной линии называется
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Количество баллов: 3

   
   Найти площадь поверхности, полученной вращением вокруг оси [latex]Ox[/latex] дуги параболы [latex]y=2x,[/latex] [latex]0 \leq x \leq 1.[/latex]

   • 
     15.2395 15.3171 15.3178

   Правильно
   

   Неправильно
   

Рассмотрим поверхность [latex]M[/latex], образованную вращением вокруг оси [latex]Ox[/latex], заданной на сегменте [latex][a,b] [/latex] функции [latex]y=f(x)[/latex]. Определим понятие квадрируемости поверхности вращения [latex]M[/latex]. Пусть [latex]T[/latex] — разбиение сегмента [latex][a,b] [/latex] точками [latex]a=x_{0}<x_{1}<…[/latex][latex]<x_{n}=b [/latex], и пусть [latex]A_{0}[/latex],…,[latex]A_{n}[/latex] — соответствующие точки функции [latex]y=f(x)[/latex]. Построим ломанную [latex]A_{0}A_{1}…A_{n}[/latex]. При вращении этой ломанной вокруг оси мы получим поверхность [latex] M(A_{i})[/latex], составленную из боковых поверхностей усеченных конусов. Обозначим через [latex] P(x_{i})[/latex] площадь поверхности [latex] M(A_{i})[/latex]. Если [latex] y_{i}[/latex] — ординаты [latex]f(x)[/latex] в точках [latex] x_{i}[/latex], а [latex] l_{i}[/latex] — длина звена [latex] A_{i-1}A_{i}[/latex] ломанной [latex]A_{0}A_{1}…A_{n}[/latex], то
[latex] P(x_{i})=2\pi\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{y_{i-1}+y_{i}}{2}l_{i}=[/latex][latex]\pi\sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i-1}+y_{i})l_{i}[/latex]
Сформулируем следующее определения.

Литература

Площадь поверхности вращения

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Поверхность вращения

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 2 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 1

   Что называется пределом площади [latex]P(x_{i})[/latex]

   • $$ если~ \forall\epsilon>0\exists\triangle>0, что~ \exists ~разбиения~T~ сегмента[a,b] ,$$ $$ максимальная~длина~ D~ частичных~ сегментов ~которого~ меньше$$ $$ ~\triangle~выполняется ~неравенство ~$$ $$|P(x_{i})-P|<\epsilon.$$
   • $$ если~ \forall\epsilon>0\exists\triangle>0, что~ \exists ~разбиения~T~ сегмента[a,b] ,$$ $$ максимальная~длина~ D~ частичных~ сегментов ~которого~ меньше $$ $$ ~\triangle~выполняется ~неравенство ~$$ $$|P(x_{i})-P|>\epsilon.$$
   • $$ если~ \exists\epsilon>0\exists\triangle>0, что~ \forall ~разбиения~T~ сегмента[a,b] ,$$ $$ максимальная~длина~ D~ частичных~ сегментов ~которого~ меньше $$ $$ ~\triangle~выполняется ~неравенство ~$$ $$|P(x_{i})-P|<\epsilon.$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 1

   если, $$\exists ~предел ~P ~площадей ~P(x_{i}) $$ то поверхность вращения называется
   Правильно
   

   Неправильно