Рубрика: Математический анализ

Публикации по учебной дисциплине «Математический анализ» для студентов специальности «Прикладная математика»

Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку $latex x=2\arctan t$    или  $latex \tan \frac{x}{2}=t$ .

 

Интегралы вида $latex \int R(\sin x, \cos x)dx$   , где R-рациональная функция.

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

$latex \sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ;       $latex \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ , где    $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ .

Гиперболические функции    определяются следующим образом:

$latex \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$ ;       $latex \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ .


Приведем еще несколько полезных соотношений :   

  • $latex \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$ ;
  • $latex \sinh 2x=2\sinh \cosh $ ;
  • $latex \cosh 2x=\cosh ^{2}+\sinh ^{2} $ . 

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки : 

$latex t=e^{x}$ ;           $latex x=\ln t$ ;           $latex dx=\frac{dt} {t}$ .

 

Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от $latex \sin x$, $latex \cos x$ и $latex \sinh x$, $latex \cosh x$»

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г.  (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Универсальная подстановка

Универсальная тригонометрическая подстановка, в англоязычной литературе называемая в честь Карла Вейерштрасса подстановкой Вейерштрасса, применяется в интегрировании для нахождения первообразных, определённых и неопределённых интегралов от рациональных функций от тригонометрических функций. Без потери общности можно считать в данном случае такие функции рациональными функциями от синуса и косинуса. Подстановка использует тангенс половинного угла.

 

Интегралы вида $latex \int R(\sin x, \cos x)dx$   , где R-рациональная функция.

Спойлер 

В результате подстановки   $latex t=\tan \frac{x}{2}$    в указанные интегралы получаем:

$latex \sin x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1+t^{2}}$ ;       $latex \cos x=\frac{1-\tan ^{2}\frac{x}{2}}{1+\tan ^{2}\frac{x}{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ , где    $latex dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}$ .

[свернуть]

Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки : 

Спойлер

$latex t=e^{x}$ ;           $latex x=\ln t$ ;           $latex dx=\frac{dt} {t}$ .

[свернуть]

Рис 1. Подстановка Вейерштрасса показана здесь как стереографическая проекция окружности

Подстановка Вейерштрасса
Для усвоения материала на практике, переходим в раздел «Примеры интегрирования рациональных функций от $latex \sin x$, $latex \cos x$ и $latex \sinh x$, $latex \cosh x$»

Список литературы:

  • А.Г. Попов, П.Е. Данко, Т.Я. Кожевникова «Мир и образование» 2005 г. (Издание 6-е. Часть 1)  стр. 234-242
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.

Дополнительные материалы :

 

 

Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

по темам «Интегрирование рациональных функций от sin x, cos x и sinh x, cosh x» и «Универсальная подстановка«


Таблица лучших: Тест (Вычисление интегралов методом универсальной подстановки)

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение интеграла Римана

Для лучшего восприятия этого материала сперва следует прочесть Определение интегральных сумм и их границы

$latex \triangle $ Предел  интегральной суммы  при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков $latex max\triangle x_{k}$ стремится к нулю:

$latex \underbrace{I=\int_{a}^{b}f(x)\ dx=  \lim_{max \triangle x_{k}\rightarrow 0}\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\triangle x_{k}.}$

называется определённым интегралом Римана  от функции $latex f(x)$ на отрезке $latex [a,b]$ (или в пределах от a до b).$latex \blacktriangle $

Замечание.  Если функция $latex f(x)$ непрерывна на $latex [a,b]$, то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка $latex [a,b]$ на элементарные отрезки и от выбора точек $latex \xi _{k}$ (теорема существования определенного интеграла).

Числа a и b соответственно называются нижним и верхним пределами интегрирования.

     Если $latex f(x)>0$ на $latex [a,b],$ то определённый интеграл $latex \int_{a}^{b}f(x)dx$ геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции —фигуры, ограниченной линиями $latex y=f(x),\ x=a,\ y=b,\ y=0 .$

Список литературы:

Тест (Определенный интеграл Римана)

Тест по темам:

1. Определенный интеграл Римана.

2. Интегральные суммы.


Таблица лучших: Тест (Определенный интеграл Римана)

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определение интегральных сумм и их пределов

Для лучшего восприятия этого материала сперва следует прочесть Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана

Определение 1. (Интегральная сумма)

Спойлер

Пусть функция $latex f(x)$ определена на отрезке   $latex [a,b]$. Разделим отрезок  $latex [a,b]$  на n произвольных частей точками $latex a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b,$ выберем на каждом элементарном отрезке $latex [x_{k-1};x_{k}]$ произвольную точку $latex \xi _{k}$ и найдём длину каждого такого отрезка: $latex \triangle x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$.

[свернуть]

$latex \triangle $ Интегральной суммой  для функции $latex f(x)$ на отрезке $latex [a,b]$ называется сумма вида

$latex \underbrace{\sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\triangle x_{k}},$   причем эта сумма имеет конечный предел $latex I$ если для каждого $latex \varepsilon >0$ найдется такое число $latex \delta >0$, что при $latex (max\ \triangle x_{k})<\delta$ неравенство $latex \underbrace{\left | \sum_{k=1}^{n}f(\xi _{k})\triangle x_{k}-I \right |<\varepsilon}$ выполняется при любом наборе числе $latex \xi _{k}.$ $latex \blacktriangle $

Определение 2. (Верхние и нижние суммы)

Спойлер

Пусть функция $latex f(x)$ ограничена на сегменте $latex [a;b]$ и $T $ — разбиение этого  сегмента точками  $latex a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<…<x_{n-1}<x_{n}=b.$  Обозначим через $latex M_{i}$ и $latex m_{i}$ соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте $latex [x_{i}-x_{i-1}]$.

[свернуть]

Суммы

$latex S=M_{1}\triangle x_{1}+M_{2}\triangle x_{2}+…M_{n}\triangle x_{n}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}M_{i\triangle x_{i}}}$

и

$latex S=m_{1}\triangle x_{1}+m_{2}\triangle x_{2}+…m_{n}\triangle x_{n}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}m_{i\triangle x_{i}}}$

называются соответственно верхней и нижней суммами функции $latex f(x)$ для данного разбиения $latex T$ сегмента $latex [a;b]$.

 

Рисунок 1. Разбиение сегмента $latex [a;b]$

Спойлер

default2

[свернуть]

.Замечание. Суммы такого вида называют суммами Дарбу.

Список литературы:

Тест (Определенный интеграл Римана)

Тест по темам:

1. Определенный интеграл Римана.

2. Интегральные суммы.


Таблица лучших: Тест (Определенный интеграл Римана)

максимум из 14 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Лемма Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — фундаментальная теорема математического анализа, гласящая, что из любой ограниченной последовательности точек пространства [latex]\mathbb{R}^n[/latex] можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Т. Б. — В., используется при доказательстве многих теорем анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема названа в честь чешского математика Бернарда Больцано и немецкого математика Карла Вейерштрасса, которые независимо друг от друга вывели ее формулировку и доказательство.

Формулировка. Любое бесконечное ограниченное множество [latex]F \subset \mathbb{R}^n[/latex] имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть множество [latex]F[/latex] является бесконечным и ограниченным множеством. Предположим, что оно не имеет предельных точек. Следовательно, оно является замкнутым. Поскольку [latex]F[/latex] еще и ограничено, то, по теореме Гейне – Бореля, [latex]F[/latex] компактно. Для каждой точки [latex]x \in F[/latex] построим такую окрестность [latex]U_x[/latex], в которой нет других точек из [latex]F[/latex], кроме [latex]x[/latex] (если бы для какой-то точки [latex]x[/latex] такой окрестности не было, то эта точка была бы предельной для [latex]F[/latex]). Тогда семейство [latex]\left\{U_x \right\}_{x \in F}[/latex] образует открытое покрытие компактного множества [latex]F[/latex]. Пользуясь компактностью [latex]F[/latex], выберем из него некое конечное подпокрытие, иными словами. конечный набор шаров, в каждом из которых содержится лишь по одной точке из множества [latex]E[/latex]. Но это противоречит тому, что множество [latex]E[/latex] бесконечно.[latex]\square[/latex]
Замечание. Предельная точка, существование которой утверждается в данной теореме, вообще говоря, не обязана принадлежать множеству [latex]E[/latex].

Литература: