Рубрика: Математический анализ

Формулировка

Касательная к графику функции в точке локального экстремума [latex](x_{0},f(x_{0}))[/latex] параллельна оси абсцисс.

Замечание

Теорема неверна, если функцию [latex]f(x)[/latex] рассматривать на замкнутом отрезке [latex][a,b].[/latex]

Пример

Функция [latex]f(x)=x[/latex] на отрезке [latex][0; 1][/latex] в точке [latex]x=0[/latex] принимает наименьшее, а в точке [latex]x=1[/latex] наибольшее значение, однако, как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице.

Литература

• Конспект лекций Лысенко З.М.
• Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.165
• sernam.ru

Сама теорема здесь.

Формулировка

[latex]\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/latex] — угловой коэффициент секущей, которая проходит через точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)) графика функции y=f(x), а [latex]f'(\xi )[/latex] — угловой коэффициент касательной к графику в точке [latex](\xi ,f(\xi ))[/latex]. Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение [latex]\xi \in (a,b)[/latex] такое, что касательная к графику функции y=f(x) в точке [latex](\xi ,f(\xi ))[/latex] параллельна секущей, соединяющей точки [latex]A(a,f(a))[/latex] и [latex]B(b,f(b)).[/latex]

1. Следствие

   Если а дифференцируема на (a,b) и f'(x)=0 [latex]\forall x\in (a,b)[/latex] то f(x)=c=const на (a,b)

   Его доказательство:

   Возьмем [latex]\forall x\in (a,b)[/latex] и зафиксируем [latex][x,x_{0}]\subset (a,b)[/latex] ([latex][x_{0},x]\subset (a,b)[/latex]) Применим формулу конечных приращений Лагранжа на отрезке [latex][x,x_{0}][/latex]
   [latex]f(x)-f(x_{0})=f'(\xi )(x-x_{0})\Rightarrow f(x)=f(x_{0})[/latex], [latex]\forall x\in (a,b)[/latex].

2. Следствие

   Если функция дифференцируема на (a,b) и f'(x)=k=const. [latex]\forall x\in (a,b)\Rightarrow f(x)=(kx+b)[/latex] — линейная функция

   Его доказательство:

   Применяя теорему Лагранжа к функции f а на отрезке [latex][a,x]\subset [a,b][/latex]: [latex]f(x)-f(a)=f'(\xi )(x-a)[/latex]. [latex]f(x)-f(a)=k(x-a)[/latex]. [latex]f(x)=kx+b. b=f(a)-ka[/latex]

1. Следствие

   Пусть [latex]\varphi (x)[/latex]

   1. Непрерывна на [a,b];
   2. Дифференцируема на (a,b) (кроме быть может некоторой точки [latex]x_{0}\in (a,b)[/latex])
   3. [latex]\exists \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi ‘(x)[/latex]

   Тогда [latex]\exists \varphi ‘(x_{0}),[/latex] причем эта производная равна [latex]\lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi ‘(x)[/latex]

   Его доказательство:

   Пусть [latex]\lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi ‘(x)[/latex]=A, a<x<b, [latex]x\neq x_{0}.[/latex] По Теореме Лагранжа[latex]\varphi (x)-\varphi (x_{0})=\varphi ‘(\xi )(x-x_{0}),[/latex] где [latex]\xi \in (x_{0},x)\cup \xi \in (x,x_{0})\Rightarrow [/latex] [latex]\varphi ‘(\xi )=\frac{\varphi (x)-\varphi (x_{0})}{x-x_{0}}.[/latex] (Будем считать, что функция однозначна) [latex]\xi =\xi (x): x_{0}<\xi (x)<x\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\xi (x)=x_{0}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi ‘(\xi)=A=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\varphi (x)-\varphi (x_{0})}{x-x_{0}}=\varphi ‘(x_{0})[/latex]

Пример

Найти функцию [latex]\Theta =\Theta (x_{0},\Delta x)[/latex] такую, что [latex]f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=\Delta xf(x_{0}+\Theta \Delta x),[/latex] если [latex]f(x)=ax^{2}+bx+c, a\neq 0[/latex]

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Этот тест разработан для лучшего усвоения знаний

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Какая теорема является обобщением теоремы Лагранжа?

   • Ролля
   • Коши
   • Ферма
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Запишите недостающую часть формулы Лагранжа: [latex]f'(\xi )(b-a)[/latex]=
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Выберите правильные условия 3-го следствия

   • Непрерывность на [a,b]
   • Непрерывность на всей вещественной оси
   • Дифференцируемость на (a,b)
   • Дифференцируемость в каждой точке (a,b)
   • <script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML"></script> [latex]\exists \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(x)[/latex]
   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература

• Конспект лекций Лысенко З.М.
• Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.168-171
• Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140
• Прикладная математика. Cправочник математических формул

Формулировка

Если функция [latex]\in C[a,b][/latex] и дифференцируема на [latex](a,b),[/latex] то [latex]\exists \xi \in (a,b):f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).[/latex]

Доказательство

Рассмотрим функцию [latex]\exists \xi \in (a,b):f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),[/latex] где число [latex]\lambda [/latex] выберем таким, чтобы выполнялось условие [latex]\varphi (a)=\varphi (b),[/latex] т.е. [latex]f(a)+\lambda a=f(b)+\lambda b.[/latex] Отсюда находим
[latex]\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.[/latex]
Так как функция [latex]\varphi (x)[/latex]непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Ролля о корне производной существует точка [latex]\xi \in (a,b)[/latex] такая, что [latex]\varphi ‘(\xi )=f'(\xi )+\lambda =0.[/latex] Отсюда в силу условия [latex]\lambda =-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/latex] получаем равенство
[latex]f'(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/latex]
равносильное равенству [latex]f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).[/latex]

Пример

Доказать что [latex]ln(1+x)<x[/latex] при [latex]0<x[/latex]

Формула конечных приращений Лагранжа

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 2 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2

Информация

Этот тест был разработан для проверки усвоенных знаний по данному разделу

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 2

   1.

   Количество баллов: 2

   Вставьте правильное слово в условие теоремы конечных приращений Лагранжа

   • Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и (дифференцируема) на интервале (a,b), то ...
   Правильно
   

   Неправильно
   

   А вы уверены, что слово «дифференцируема» пишется именно так?
2. Задание 2 из 2

   2.

   Количество баллов: 2

   Запишите недостающую часть формулы Лагранжа: [latex]f'(\xi )(b-a)[/latex]=
   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература

• Конспект лекций Лысенко З.М.
• Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.166-168
• Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140

 Определения:

Функция $latex=f$ определённая на $latex (a;b)$ называется выпуклой вверх, если :
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$, $latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2})\geq f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$ .

Функция $latex=f$ определённая на $latex (a,b)$ называется выпуклой вниз, если :
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$, $latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2})\leq f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$.

Функция $latex=f$ определённая на $latex (a,b)$ называется строго выпуклой вверх, если:
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$,$latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2}) > f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$

Функция $latex=f$ определённая на $latex (a,b)$ называется строго выпуклой вниз, если:
$latex \forall x_{1}, x_{2} \epsilon (a;b)$,$latex \forall \alpha \epsilon (a,b) \Rightarrow f((1-\alpha)x_{1}+\alpha x_{2}) < f((1-\alpha)x_{1})+\alpha f(x_{2})$

Замечание:

Понятие выпуклой функции было введено Иенсеном (J.L.W.V.Jensen), который исходил, однако, из более частного соотношения,а именно:
$latex f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq (\leq) \frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$
В  случае если функция непрерывна это определение равносильно данным ранее.

 Пример:

Рассмотрим непрерывную функцию $latex f(x)=-(x-4)^{2}+4$ :

Возьмём точки $latex \left \{ 2,4,6 \right \}$ : $latex f(\frac{2+6}{2})\geq \frac{f(2)+f(6)}{2}$, т.е $latex 4 \geq 0$ $latex \Rightarrow$ функция выпукла вверх.

Геометрическая интерпретация :

Условие $latex f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})\geq \frac{f(x_{1}+f(x_{2})}{2}$ означает, что $latex \forall M_{1}, M_{2}$ графика функции $latex f(x)$ середина хорды лежит ниже, либо совпадает с точкой $latex M_{0}=f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})$.

Это можно продемонстрировать на примере функции $latex f(x)=-(x-4)^{2}+4$ :

Список литературы:

• Конспект по математическому анализу (преподаватель Лысенко З.М.);
• Фихтенгольц Г.М «Курс дифференциального и интегрального исчисления» (том 1), 5-е издание, глава 4, §2(стр 294)

Подпоследовательности

Определение.

Пусть задана некоторая последовательность {$latex x_n$} и
$latex n_1<n_2<…<n_k<…$
есть строго возрастающая последовательность натуральных чисел.Тогда последовательность
$latex {x_n}_1, {x_n}_2,…{x_n}_k…$
называется подпоследовательностью последовательности {$latex x_n$}.

Пример.
Пусть задана последовательность

$latex 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},..,\frac{1}{n},…$
Запишем некоторые ее подпоследовательности:

$latex 1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},…,\frac{1}{2n-1}…$  $latex (n_1=1,n_2=3,…,n_k=2k-1,…)$;

$latex \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},…,\frac{1}{2^n},…$    $latex (n_1=2,n_2=4,…,n_k=2^k,…)$;

$latex \frac{1}{5},\frac{1}{10},\frac{1}{15},…,\frac{1}{5n},…$  $latex (n_1=5,n_2=10,…,n_k=5^k,…)$;
Но последовательность

$latex 1,\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{1}{4},…,\frac{1}{n},…$
уже не является подпоследовательностью последовательности $latex 1,\frac{1}{2},..,\frac{1}{n},…$.

Определение.
Будем писать
$latex x \to +\infty$ $latex (\lim\limits_{x \to \infty }=+ \infty)$
и говорить, что последовательность {$latex x_n$} стремится к плюс бесконечности, если для каждого числа $latex c $ найдется номер $latex N \in \mathbb{N}$, такой что $latex x_{n}>c$ при любом $latex n>N.$
Аналогично даются определения для случая $latex x \to -\infty$,$latex x \to \infty.$

Частичный предел последовательности

Определение.
Частичным пределом последовательности называется предел какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.

Пример.

Пусть $latex {x_n}=(-1)^{n}.$Эта последовательность расходится, но ее подпоследовательности $latex x_{2k}$ и $latex x_{2k-1}$ сходятся соответственно к 1 и -1.Таким образом эти числа являются частичными пределами последовательности  $latex {x_n}=(-1)^{n}.$

Верхний и нижний пределы

Определение.
Пусть {$latex x_n$} — некоторая последовательность, а $latex L $ — множество всех её частичных пределов.Тогда $latex supL $ — называется верхним пределом последовательности и обозначается $latex supL=\varlimsup\limits_{n \to \infty} x_{n}.$

Нижний предел:

$latex infL=\varliminf\limits_{n \to \infty} x_{n}$

Пример 1.

Для последовательности $latex x_{k}=(-1)^{k}$:

$latex \varliminf\limits_{n \to \infty} x_{k}=$$latex \lim\limits_{n \to \infty}\inf\limits_{k \geq n}(-1)^{k}=\lim\limits_{n \to \infty}(-1)=-1.$

$latex \varlimsup\limits_{n \to \infty} x_{k}=$$latex \lim\limits_{n \to \infty}\sup\limits_{k \geq n}(-1)^{k}=\lim\limits_{n \to \infty}(1)=1.$

Пример 2.

Для последовательности $latex x_{k}=-k^{2}$:

$latex \varliminf\limits_{n \to \infty}(-k^{2})=-\infty.$

$latex \varlimsup\limits_{n \to \infty}(-k^{2})=$$latex \lim\limits_{n \to \infty}\sup\limits_{k \geq n}(-k)^{2}=\lim\limits_{n \to \infty}(-n^{2})=-\infty.$

 Литература.

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
• Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления т.1,стр. 94

Подпоследовательности. Частичный предел последоват ельности. Верхний и нижний пределы

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

• Квест пройден!

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 2

   Дана последовательность

   $latex 2,1,\frac{2}{3},\frac{1}{2},…,\frac{2}{n},…$

   Какая из следующих последовательностей не является подпоследовательностью данной?

   1)$latex 2,\frac{2}{3},\frac{2}{5},…,\frac{2}{2n-1},…$

   2)$latex 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},…,\frac{1}{2^{n-1}},…$

   3)$latex 2,\frac{2}{3},1,…,\frac{2}{n}$

   • 1
   • 2
   • 3
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 1

   Чему равны частичные пределы последовательности $latex x_{n}=(-1)^{n}$?

   • -1
   • - бесконечность
   • 1
   • + бесконечность
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Заполнить пропуск.

   • (частичным пределом) последовательности называется предел какой-нибудь сходящейся подпоследовательности.
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   Пусть {$latex x_n$} — некоторая последовательность, а $latex L$ — множество всех её частичных пределов.Тогдa $latex supL$ и $latex infL$ являются соответственно: