Рубрика: Математический анализ

Публикации по учебной дисциплине «Математический анализ» для студентов специальности «Прикладная математика»

Неопределённый интеграл и его свойства

Пусть функция [latex]f[/latex] определена на некотором промежутке. Совокупность всех ее первообразных на этом промежутке называется неопределённым интегралом от функции [latex]f[/latex] и обозначается $$\int f(x)dx.$$
Символ [latex]\int[/latex] называется знаком интеграла, а [latex]f(x)[/latex] —подынтегральной функцией.

Если [latex]F(x)[/latex] — какая-либо первообразная функции [latex]f[/latex] на рассматриваемом промежутке, то пишут

[latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex],

где [latex]C[/latex] — произвольная постоянная.

Нахождение неопределённого интеграла. от заданной функции называют интегрированием.

Следует отметить, что всякое равенство, в обеих частях которого стоят неопределённые интегралы, есть равенство между множествами.

Под знаком интеграла пишут не саму функцию [latex]f[/latex], а ее произведение на дифференциал. Это делается, например, для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная.

Спойлер

[latex]\int x^2z dx=\frac{x^3z}{3}+C[/latex]

[свернуть]

Спойлер

[latex]\int x^2z dz=\frac{x^2z^2}{2}+C[/latex]

[свернуть]

Спойлер

[latex]\int \frac{3}{2} \sqrt{x} dx=x^\frac{3}{2}+C=x \sqrt{x}+C[/latex], [latex]x\in[0,\infty][/latex]

[свернуть]

см. Таблица основных интегралов

Свойства неопределённого интеграла

Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex].

Спойлер

  Если функция [latex]F[/latex] дифференцируема на некотором промежутке, то 

[latex]\int dF(x)=F(x)+C[/latex] 

 или

[latex]\int F'(x)dx=F(x)+C[/latex]. 

 

Это следует из определения первообразной.

[свернуть]

Спойлер

Если [latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex] и  [latex]\int g(x)dx=G(x)+C[/latex], то  [latex]\int [f(x)+g(x)]dx=F(x)+G(x)+C[/latex], или

[latex]\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx[/latex]


Действительно, при наших предположениях имеет место равенство

[latex](F(x)+G(x))’=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x).[/latex]

[свернуть]

Спойлер

Если [latex]\int f(x)dx=F(x)+C[/latex], то для любого действительного числа [latex]\alpha\ne 0[/latex] [latex] \int[\alpha f(x)] dx=\alpha F(x)+C[/latex], или

[latex]\int[\alpha f(x)] dx=\alpha \int f(x) dx[/latex]

Это равенство очевидно следует из определения. Заметим, что при [latex]\alpha=0[/latex] оно не верно по той причине, что в левой части совокупность всех постоянных, а в правой — тождественный нуль.

[свернуть]

Спойлер

Если [latex] \int f(t)dt=F(t)+C[/latex], то для любого [latex] a\ne 0[/latex] и для любого [latex]b[/latex]

[latex] \int f(ax+b)d=\frac{1}{a} F(ax+b)+C.[/latex]

Действительно,

[latex] [\frac{1}{a} F(ax+b)]’=\frac{1}{a} F'(ax+b)a=f(ax+b)[/latex].

 

[свернуть]

Спойлер

Если [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] имеют первообразные на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], а [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] — числа, то функция [latex]\alpha f+\beta g[/latex] также имеет первообразную на [latex]\bigtriangleup[/latex], причём при [latex]\alpha^2+\beta^2>0[/latex] выполняется равенство

[latex]\int(\alpha f(x)+\beta g(x)) dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx[/latex].

 

[свернуть]

Литература.

  1. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
  2. Зарубин В.С., интегральное исчисление функций одного переменного — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 16
  3. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 454-455
  4. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 456-458
  5. В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 158-159)

 Тест.

Неопределённый интеграл и его свойства

Неопределённый интеграл и его свойства

Таблица лучших: Неопределённый интеграл и его свойства

максимум из 15 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема о разности двух первообразных

Дифференцируемые в промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex] функции [latex]F(x)[/latex] и [latex]G(x)[/latex] будут в этом промежутке первообразными одной и той же функции [latex]f(x)[/latex] тогда и только тогда, когда разность их значений для любого [latex]x\in\bigtriangleup[/latex] постоянна.

[latex]F(x)-G(x)=C=const[/latex]

Спойлер

Пусть  [latex]F(x)[/latex] — некоторая первообразная функции [latex]f(x)[/latex] в промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex]. Следовательно, по определению [latex]F'(x)=f(x)[/latex]. Но тогда и функция [latex]G(x)=F(x)-C[/latex] ([latex]C=const[/latex]) также является промежутке первообразной функции [latex]f(x)[/latex] в этом промежутке , поскольку [latex]G'(x)=(F(x)-C)’=F'(x)=f(x)[/latex].

Пусть [latex]F(x)-G(x)=H(x)[/latex]. Найдем производную

[latex]H'(x)=(F(x)-G(x))’=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0[/latex]

Но в силу признака постоянства дифференцируемой функции, вытекающего из теоремы Лагранжа, равенство [latex]H'(x)=0[/latex] означает, что [latex]H(x)=F(x)-G(x)=C=const[/latex].
Итак, доказана эквивалентность тому, что функция [latex]F(x)[/latex] и [latex]G(x)[/latex] могут быть первообразными лишь одной и той же функции.

[свернуть]

Литература.

  1. Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 15

Тест

Теорема о разнице двух первообразных

Таблица лучших: Теорема о разнице двух первообразных

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Пример функции, не имеющей первообразной

Докажем, что функция

[latex]{\mathop{\rm sgn}} x = \left\{ \begin{array}{l}~~1,~~~x > 1\\~~0,~~~x = 0\\- 1,~~~x < 0\end{array} \right.[/latex]

signum

имеет первообразную на любом промежутке, не содержащем точку 0, и не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку 0.
Спойлер

  1. На любом промежутке, не содержащем точку 0, функция [latex]sgn x[/latex] постоянна и равна 1 (или -1). Следовательно, любая ее первообразная имеет вид [latex]F(x)=x+C[/latex] (или [latex]F(x)=-x+C[/latex]), где [latex]C[/latex] — некоторое число.
  2. Рассмотрим теперь промежуток, содержащий точку 0, например (-1,1). На интервале (-1,0) любая первообразная функции [latex]sgn x[/latex] имеет вид [latex]F_1=-x+C_1[/latex], а на интервале (0,1) любая первообразная функции [latex]sgn x[/latex] имеет вид [latex]F_2(x)=x+C_2[/latex].

При любом выборе постоянных [latex]C_1[/latex] и [latex]C_2[/latex] мы получаем на интервале (-1, 1) функцию, не имеющую производной в точке x=0. Например, если выбрать [latex]C_1=C_2=C[/latex], то получим функцию [latex]F(x)=|x|+C[/latex], недифференцируемую в точке 0. Следовательно, функция [latex]sgn x[/latex] не имеет первообразной на интервале (-1, 1) и вообще на любом промежутке, содержащем точку 0.

[свернуть]

 

Спойлер

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки [latex]0[/latex]. Как видно [latex]lim_{x\rightarrow -0}\: sign(x)=-1[/latex] и [latex]lim_{x\rightarrow +0}\: sign(x)=1[/latex]. По  теореме*  предел функции в точке [latex]0[/latex] не существует.

* Функция [latex]f(x)[/latex] имеет предел в точке [latex]a[/latex] тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке [latex]a[/latex].

[свернуть]

Источники

  1. Пример
  2. Sgn

Тест

Пример функции, не имеющей первообразной

Пример функции, не имеющей первообразной

Таблица лучших: Пример функции, не имеющей первообразной

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Дифференцируемость и арифметические операции

Если функции [latex]f[/latex] и [latex]g[/latex] дифференцируемы в точке [latex]x[/latex], то в этой точке также дифференцируемы следующие функции: [latex]\alpha f(x)\pm\beta g(x)[/latex], [latex]f(x)g(x)[/latex], [latex]\frac{f(x)}{g(x)}, (g(x) \neq 0)[/latex];

Причём:

  1. [latex]{[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]}’ = \alpha {f}'(x) \pm \beta {g}'(x)[/latex]([latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta[/latex] — некоторые константы);
  2. [latex]{[f(x)g(x)]}’ = {f}'(x)g(x) + f(x){g}'(x)[/latex];
  3. [latex]{[\frac {f(x)}{g(x)}]}’ =\frac{{f}'(x)g(x) — f(x){g}'(x)}{[g(x)]^2} (g(x) \neq 0)[/latex];

Доказательство :

  1. Достаточно доказательства для случая [latex]y(x) = \alpha f(x) + \beta g(x);[/latex]
    [latex]y(x) = {\alpha f(x) + \beta g(x)} \Rightarrow\Delta y=[/latex]
    [latex]=y(x + \Delta x) — y(x) = \alpha f(x + \Delta x) + \beta g(x+\Delta x) — \alpha f(x) — \beta g(x)=[/latex]
    [latex]=\alpha f(x+\Delta x) -\alpha f(x)+\beta g(x+\Delta x) — \beta g(x) =[/latex]
    [latex]=\alpha \Delta f(x) + \beta \Delta g(x) \Rightarrow[/latex] [latex]\frac{\Delta y}{\Delta x} =[/latex] [latex]=\frac{\alpha\Delta f(x)+\beta \Delta g(x)}{\Delta x}=[/latex]
    [latex]\alpha \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} +\beta \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} \underset{propetiesoflimits}{\Rightarrow} \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =[/latex] [latex]={y}'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \alpha \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} + \beta \frac{\Delta g(x)}{\Delta x} = \alpha{f}'(x)+\beta{g}'(x)[/latex]
    [latex]\Rightarrow[/latex] В общем случае: [latex]{[\alpha f(x) \pm \beta g(x)]}’ = \alpha {f}'(x) \pm \beta {g}'(x)[/latex];
  2. [latex]y(x)=f(x)g(x) \Rightarrow \Delta y = y(x + \Delta x) — y(x) =[/latex]
    [latex]= f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) — f(x)g(x) = [f(x) + \Delta f(x)][g(x) + \Delta g(x)] — f(x)g(x) =[/latex]
    [latex]= \Delta f(x)g(x) + \Delta g(x)f(x) + \Delta f(x) \Delta g(x) \Rightarrow[/latex]
    [latex]\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}g(x) + \frac{\Delta g(x)}{\Delta x}f(x) + \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\Delta g[/latex]
    При переходе к пределам получим следующее:
    [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {y}'(x) = {f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)+{f}'(x)0([/latex]в силу непрерывности дифференцируемой функции [latex]g(x), \lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta g(x)=0);[/latex]
    [latex]\Rightarrow {y}'(x)={f}'(x)g(x)+f(x){g}'(x)[/latex], что и требовалось доказать;
  3. [latex]y = \frac{f(x)}{g(x)}, (g(x) \neq 0)\Rightarrow[/latex]
    [latex]\Delta y = \frac{f(x+\Delta x)}{g(x + \Delta x)} — \frac{f(x)}{g(x)}=[/latex]
    [latex]= \frac{f(x) + \Delta f(x)}{g(x) + \Delta g(x)}- \frac{f(x)}{g(x)} =[/latex]
    [latex]\frac{\Delta f(x)g(x) + f(x)g(x) — f(x)g(x) — \Delta g(x)f(x)}{[g(x)]^2+\Delta g(x)\Delta g(x)}=[/latex]
    [latex]\frac{\Delta f(x)g(x) — \Delta g(x)f(x)}{[g(x)]^2+\Delta g(x)\Delta g(x)}[/latex]
    [latex]\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{\Delta f(x)g(x)}{\Delta x} — \frac{\Delta g(x)f(x)}{{\Delta x}}}{[g(x)]^2+[\Delta g(x)]^2}[/latex]
    Перейдя к пределам получим:
    [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = {y}'(x) = \frac{{f}'(x)g(x) — {g}'(x)f(x)}{[g(x)]^2}[/latex], что и требовалось доказать.

Замечание: Из определения дифференциала и формул дифференцирования 1,2 и 3 следует, что:

Примеры:

  • Условие: Найти производную функции [latex]f(x)=e^{3x}+\frac{4x}{x^{2}}[/latex]
    Решение:
    Найдём производную по 1-ому правилу: [latex]{(e^{3x}+\frac{4x}{x^{2})}}’=3e^{3x}+{(\frac{4x}{x^{2}})}'[/latex], теперь по 3-ему правилу:[latex]{(\frac{4x}{x^{2}})}’=\frac{4x^{2}-8x^{2}}{x^{4}}[/latex], итого получаем, что [latex]{(e^{3x}+\frac{4x}{x^{2})}}’=3e^{3x}-\frac{4x^{2}}{x^{4}}[/latex]

Тест:

Простой тест для проверки усвоения правил дифференцирования.


Таблица лучших: Правила дифференцирования

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Список литературы: