Рубрика: Математический анализ

Если последовательности   [latex]\left \{ x_{n} \right \}, \left \{ y_{n} \right \}, \left \{ z_{n} \right \}[/latex] таковы, что  [latex]x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}[/latex] для всех  [latex]n \geq N_{0}[/latex],  [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }z_{n}=a[/latex], то последовательность  [latex]\left \{ y_{n} \right \}[/latex] сходится и  [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=a[/latex].

Доказательство:

По определению предела для любого  [latex]\varepsilon > 0[/latex] найдутся номера  [latex]N_{1}=N_{1}(\varepsilon )[/latex] и  [latex]N_{2}=N_{2}(\varepsilon )[/latex] такие, что  [latex]x_{n}\in U_{\varepsilon }(a)[/latex] при всех  [latex]n\geq N_{1}[/latex] и  [latex]z_{n}\in U_{\varepsilon }(a)[/latex] при всех  [latex]n\geq N_{2}[/latex]. Отсюда и из условия  [latex]x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}[/latex] для всех  [latex]n \geq N_{0}[/latex]  следует, что при всех  [latex]n\geq N[/latex],  где N = max [latex]\left ( N_{0},N_{1},N_{2} \right )[/latex], выполняется условие  [latex]y_{n}\in U_{\varepsilon }(a)[/latex]. Это означает, что существует  [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=a[/latex].

Пример:  

Пусть  [latex]a_{n}\geq -1[/latex] при всех   [latex]n\in \mathbb{N}[/latex] и  [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }a_{n}=0[/latex]  Доказать, что

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sqrt[k]{1+a_{n}}=1, k\in \mathbb{N}[/latex]

Решение:

Докажем сначала, что

[latex]1-\left | a_{n} \right |\leq \sqrt[k]{1+a_{n}}\leq 1+\left | a_{n} \right |,~n\in \mathbb{N},~k\in \mathbb{N}.[/latex]

Действительно, если  [latex]a_{n}\geq 0[/latex], то

[latex]1\leq \sqrt[k]{1+a_{n}}\leq \left ( \sqrt[k]{1+a_{n}} \right )^{k}=1+a_{n}=1+\left | a_{n} \right |[/latex]

а если [latex]-1\leq a_{n}\leq 0[/latex], то

[latex]1\geq \sqrt[k]{1+a_{n}}\geq \left ( \sqrt[k]{1+a_{n}} \right )^{k}=1+a_{n}=1-\left | a_{n} \right |[/latex],

откуда следуют неравенства  [latex]1- \left | a_{n} \right | \leq \sqrt[k]{1+a_{n}}\leq 1+\left | a_{n} \right |,~n\in \mathbb{N},~k\in \mathbb{N}.[/latex]. Применяя теорему (о трёх последовательностях), получаем  утверждение  [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sqrt[k]{1+a_{n}}=1, k\in \mathbb{N}[/latex].

Теорема:  

Если  [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a,~ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=b[/latex], причем  [latex]a<b[/latex], то
[latex]\exists N_{0} :\forall n\geq N_{0} \rightarrow x_{n}< y_{n}[/latex].

Доказательство:

Выберем  [latex]\varepsilon > 0[/latex]  таким, чтобы [latex]\varepsilon[/latex]-окрестности  точек а и b не пересекались (возьмем, например,  [latex]\varepsilon =\frac{\left ( b-a \right )}{3}>0[/latex]).  Согласно определению предела по заданному  [latex]\varepsilon[/latex] можно найти номера [latex] N_{1}[/latex] и  [latex] N_{2}[/latex] такие, что  [latex] x_{n}\in U_{\varepsilon}(a)[/latex] при всех  [latex] n\geq N_{1}[/latex] и   [latex] y_{n}\in U_{\varepsilon}(b)[/latex] при всех  [latex] n\geq N_{2}[/latex]. Пусть  [latex]N_{0}= max\left ( N, N_{2} \right )[/latex]. Тогда при всех  [latex] n\geq N_{0}[/latex] выполняются неравенства

[latex]x_{n}<a+\varepsilon <b-\varepsilon < y_{n}[/latex]

откуда следует утверждение

[latex]\exists N_{0} :\forall n\geq N_{0} \rightarrow x_{n}< y_{n}[/latex].

Следствие: 

Если  [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a,~ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=b[/latex], и  [latex]\forall n\in \mathbb{N}\rightarrow x_{n}\geq y_{n}[/latex]  то

[latex]a\geq b[/latex].

Доказательство: 

Предположим, что неравенство   [latex]a\geq b[/latex] не выполняется. Тогда [latex]a < b[/latex]
и по предыдущей теореме справедливо утверждение

[latex]\exists N_{0} :\forall n\geq N_{0} \rightarrow x_{n}< y_{n}[/latex],

которое противоречит  условию

 [latex]\forall n\in \mathbb{N}\rightarrow x_{n}\geq y_{n}[/latex].

Поэтому должно выполняться неравенство  [latex]a\geq b[/latex].

Замечание:  

В следствии  утверждается, что если соответствующие члены двух сходящихся последовательностей связаны знаком нестрогого неравенства, то такое же неравенство справедливо и для пределов этих последовательностей. Однако знак строгого неравенства, вообще говоря, не сохраняется, т. е. если [latex]x_{n}>y_{n}[/latex] при [latex]n\geq N_{0}[/latex] и последовательности  [latex]\left \{ x_{n} \right \},\left \{ y_{n} \right \}[/latex] сходятся, то   [latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}[/latex].

Например:

Если  [latex]x_{n}=1+\frac{1}{n},~ y_{n}=1-\frac{1}{n},[/latex], то  [latex]x_{n}> y_{n},~ n\in \mathbb{N}[/latex], но

[latex]\lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}=1[/latex].

Литература:

1. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
2. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа, физмат-лит, 2001, стр.42-44

Сходящаяся последовательность

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 1 заданий окончено

Вопросы:

1. 1

Информация

Этот тест по теме: Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 1

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

максимум из 3 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 1

   1.

   Соотнести части теорем

   Элементы сортировки

   • $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n} =a $
   • $ \exists N_{0} :\forall n\geq N_{0} \rightarrow x_{n}< y_{n} $

   • $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n} \leq \lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n} \leq \lim\limits_{n\rightarrow \infty }z_{n} $ и $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n} = \lim\limits_{n\rightarrow \infty }z_{n}=a $

   • $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=a,~ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}=b $ причем a < b

   Правильно
   

   Неправильно
   

Если остаток в формуле Тейлора $latex |r_{n}(x_{0},x)|< \alpha _{0} &s=1 $,то формулу Тейлора для многочлена можно записать так: $latex f(x)\approx f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f»(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+…+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} &s=1 $.

В свою очередь остаточный член: $latex r_{n}(x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(xi )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} &s=1 $ — определяет погрешность формулы.

Задание:

Записать разложение по формуле Маклорена ($latex x_{0}=0 $) с остатком в форме Лагранжа. Оценить абсолютную погрешность.

Пример 1

$latex \sin x=x-\frac{x^{3}}{6} &s=2 $, причём $latex |x| \leq \frac{1}{2} &s=2 $

Решение

Исходная формула:

$latex \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-…-\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} &s=2 $

Обобщим запись:

$latex \sin x=\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\rightarrow 0}{o(x^{2k+1})} &s=2 $

Выясним промежуток для переменной:

$latex x \in \left ( -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right ) &s=2 $

Запишем разложение по формуле Тейлора:
$latex \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin^{(4)}( x )}{4!}x^{4}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin( x +4\frac{\pi }{2} )}{4!}x^{4}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin( x +2\pi )}{4!}x^{4} &s=2 $

Пользуясь правилом приведения:

$latex \sin( x +2\pi )=\sin x &s=2 $
$latex \sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin x}{4!}x^{4} &s=2 $

Оценим последнее слагаемое:

$latex \left | \frac{\sin x}{4!}x^{4} \right |= \frac{\left | \sin x \right |}{4!}\left | x^{4} \right |\leq \frac{\left | x^{4} \right |}{4!}\leq \frac{\frac{1}{2}}{4!}=\frac{1}{16\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=\frac{1}{384} &s=2 $

Пример 2

$latex e^{x}\simeq1+x+\frac{x^{2}}{2!}+…+\frac{x^{n}}{n!} &s=2 $, $latex 0\leq x\leq 1 &s=2 $

Решение

Выпишем и оценим остаток в формуле Тейлора:

$latex |r_{n} ( x_{0},x )|=\left | \frac{e^{x }}{(n+1)!}x^{n+1} \right |\leq \left | \frac{e^{x }}{(n+1)!} \right | &s=2 $

Учитывая промежуток для переменной, запишем и оценим:
$latex \begin{Bmatrix}
x_i \in \left ( 0;1 \right )\
e\approx 2,71
\end{Bmatrix}\Rightarrow \left | \frac{e^{x_i }}{(n+1)!} \right |\leq \frac{3}{(n+1)!} &s=2 $

Пример 3

$latex \sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8} &s=2 $, $latex 0\leq x\leq 1 &s=2 $

Решение

Запишем разложение:

$latex \sqrt{1+x}=1+\frac{\alpha }{1!}x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^{2}+\frac{f^{(3)}(x_i)}{3!}x^{3} &s=2 $

Найдём производную:

$latex f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}} &s=2 $
$latex f^{(2)}(x)=\frac{1}{2}((1+x)^{-\frac{1}{2}})’=-\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}} &s=2 $
$latex f^{(3)}(x)=(-\frac{1}{4})(-\frac{3}{2})(1+x)^{-\frac{5}{2}}=\frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}} &s=2 $
$latex f^{(3)}(x_i )=\frac{3}{8}(1+x_i )^{-\frac{5}{2}} &s=2 $

Оценим последнее слагаемое:

$latex \left | \frac{3}{8}\cdot \frac{(1+x_i )^{-\frac{5}{2}}}{3!} x^{3}\right |=\left |\frac{(1+x_i )^{-\frac{5}{2}}}{16} x^{3} \right |\leq \frac{2^{-\frac{5}{2}}}{16}\cdot 1< \frac{1}{16} &s=2 $

Источники:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Приближенные вычисления с помощью формулы Тейлора»).
• Фихтенгольц Г.М. — Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1, Глава третья, пар. 5, ст. 258-263.

Рассмотрим вычисление пределов с помощью формулы Тейлора на примерах:

$latex 1)\; \;

\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{tg x-\frac{x}{1+x^{2}} }{\sin x-sh x}=\begin{bmatrix}
tg x=x+\frac{x^{3}}{3}+\circ (x^{2})\\
-\frac{1}{1+x^{2}}=1-x^{2}+\circ (x^{2})\\
-x\frac{1}{1+x^{2}}=x(1-x^{2}+\circ (x^{2}))=x-x^{3}+\circ (x^{3})\\
tg x-\frac{x}{1+x^{2}}=x+\frac{x^{3}}{3}+\circ (x^{2})-x+x^{3}-\circ (x^{3})=\frac{4}{3}x^{3}+\circ (x^{3})\\

\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\circ (x^{4})\\

sh x=x+\frac{x^{3}}{3!}+\circ (x^{4})\\

\sin x-sh x=x-\frac{x^{3}}{3!}-x-\frac{x^{3}}{3!}+\circ (x^{4})=-\frac{1}{3}x^{3}+\circ (x^{4})\\

\end{bmatrix}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{4}{3}x^{3}+\circ (x^{3})}{-\frac{1}{3}x^{3}+\circ (x^{4})}=-4 &s=4

$

$latex 2)\; \;

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt{x^{2}+2x}-2\sqrt{x^{2}+x}+x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt{x^{2}(1+\frac{2}{x})}-2\sqrt{x^{2}(1+\frac{1}{x})}+x)=\begin{bmatrix}
t=\frac{1}{x}\\
t\rightarrow 0\\
\end{bmatrix}=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t^{2}}(\sqrt{1+2t}-2\sqrt{1+t}+1)=\begin{bmatrix}
(1+x)^{\alpha }=1+\frac{\alpha }{1!}x+\frac{\alpha(\alpha-1) }{2!}x^{2}+\circ (x^{2})\\
(1+2t)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{\frac{1}{2}}{1!}2t+\frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}) }{2!}4t^{2}+\circ (t^{2})\\
(1+t)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{\frac{1}{2}}{1!}t+\frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}) }{2!}t^{2}+\circ (t^{2})\\

\end{bmatrix}=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t^{2}}(1+t-\frac{1}{2}t^{2}-2-t+\frac{1}{4}t^{2}+\circ (t^{2})+1)=\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t^{2}}*(-\frac{1}{4})t^{2}+\circ \frac{(t^{2})}{t^{2}}=\begin{bmatrix}
\circ \frac{(t^{2})}{t^{2}}\rightarrow 0\\
\end{bmatrix}=-\frac{1}{4} &s=1

$

Источники:

• Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа. (тема «Вычисление предела с помощью формулы Тейлора»).
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.Выпуск 2, 1982 год. Часть 1. Глава 8, пар. 16, стр 278-281.

Формулировка:
Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ , то $f$ ограничена на отрезке $[a,b]$.
Если $ f \ \epsilon \ C[a,b] \Rightarrow f $ ограничена на $[a,b]$, то есть $ \exists\ c>0 \ \forall x \ \epsilon \ [a,b]: \left| f\left( x \right) \right| \leq c $

Доказательство

От противного
Пусть $f$ не ограниченна на отрезке $[a,b]$, тогда :

$ \forall c>0 \ \exists x_c \epsilon [a,b] : |f(x_c)|>c $
$c=1\ \exists x_1 \epsilon [a,b] : |f(x_1)|>1 $
$c=2\ \exists x_2 \epsilon [a,b] : |f(x_2)|>2 $
$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots $
$c=n\ \exists x_n \epsilon [a,b] : |f(x_n)|>n $
$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots $

Получим последовательность $ \{x_n\} \subset [a,b] $ , то есть последовательность $ \{x_n\} $ ограниченная
Отсюда по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить подпоследовательность, которая сходится к точке $ \xi $ , то есть

$ lim_{k\to\infty}{{x}_{{n}_{k}}}=\xi $

$ \xi \epsilon [a,b] $ по свойству пределов в форме неравенств

Но по условию функция f непрерывна в точке $ \xi $ и тогда по определению непрерывности точки по Гейне:
$ lim_{k\to\infty}{f({{x}_{{n}_{k}}})}=f(\xi) $
С другой стороны
$ |f({{x}_{{n}_{k}}})| > n_k , n_k \geq k \Rightarrow lim_{k\to\infty}{f({{x}_{{n}_{k}}})}=\infty $
А это противоречит единственности предела$ \blacksquare $

Замечание: Если в условии отрезок заменить на интервал, то теорема будет не верна!

Литература:

• В.И.Коляда, А.А.Кореновский Курс лекций по математическому анализу Часть 1 стр. 84
• Г.М. Фихтенгольц: Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 1, стр 175

Тест:

Первая теорема Вейерштрасса

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по теме первая теорема Вейерштрасса.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Какое из этих условий в формулировке теоремы, необязательны в первой теореме Вейерштрасса ?

   • Функция f монотонна
   • Функция f непрерывна на отрезке
   • Функция f непрерывна на интервале и в крайних точках этого интервала
   • Все условия обязательны
   Правильно
   

   Верно

   Неправильно
   

   Неверно
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Каким методом проводится доказательство теоремы?

   • Математической индукцией
   • Подведением под определение
   • От противного
   • Перебором
   • Данного метода здесь нету
   Правильно
   

   Верно

   Неправильно
   

   Неверно
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   На что ссылаются в доказательстве теоремы?

   • Теорему Больцано-Вейерштрасса
   • Свойства пределов в форме неравенств
   • Принцип Архимеда
   • Теорема Кантора о вложенных отрезках
   • Критерий Коши
   Правильно
   

   Верно

   Неправильно
   

   Неверно
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   В чем заключается противоречие в доказательстве теоремы?

   • Противоречит (единственности) предела
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Чье определение непрерывности в точки используется в доказательстве?

   • Гейне
   • Коши
   Правильно
   

   Неправильно