Рубрика: Математический анализ

Публикации по учебной дисциплине «Математический анализ» для студентов специальности «Прикладная математика»

Метод подстановки

Во многих случаях свести нахождение интеграла к табличному виду позволяет метод подстановки, который так же называют метод замены переменных. Основную идею метода составляет следующая теорема.

Теорема:

Пусть функция [latex]x = \varphi (t)[/latex] непрерывно дифференцируема на промежутке [latex]T[/latex], а на промежутку [latex]X[/latex] такой, что [latex]\forall t \in T[/latex], [latex]x = \varphi (t) \in X[/latex] определена непрерывная функция [latex]f(x).[/latex] Тогда,

$latex \int {f(x)dx}=$ $latex \int {f(\varphi (t))\varphi ‘} (t)dt$

Практическая польза формулы замены переменной состоит в том, что когда вы затрудняетесь взять интеграл, вы делаете замену [latex]u=g(x)[/latex], т.е. обозначаете некоторое выражение [latex]g(x)[/latex], входящее в подынтегральнyю функцию, новой буквой [latex]u[/latex], и затем преобразуете интеграл под формулу замены. Хотя формула справедлива для любой замены (удовлетворяющей условия теоремы), задача состоит в подборе такой, которая приводит к табличному интегралу (или нескольким табличным интегралам). Такую замену будем называть хорошей. Вообще говоря, подбор хорошей замены не всегда очевиден. Если одна замена не сработала, не отчаивайтесь, а пробуйте другую.

Пример 1:

$latex \int {\rm ctg} xdx =$ $latex \int {\frac{{\cos x}}{{\sin x}}}dx =$ $latex \left|\begin{array}{l}t = \sin x;\\dt = \cos xdx.\end{array} \right| =$ $latex \int {\frac{{dt}}{t}} =$ $latex \ln |t| + C =$ $latex \ln \left| {\sin x} \right| + C.$ 

Пример 2:

$latex \int {\rm tg} xdx =$ $latex \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x}}}dx =$ $latex \left| \begin{array}{l}t = \cos x;\\dt = — \sin xdx.\end{array} \right| =$ $latex \int {\frac{{dt}}{t}} =$ $latex \ln |t| + C =$ $latex — \ln \left| {\cos x} \right| + C.$ 

Литература

Утверждение 1

Рассмотрим многочлен степени [latex]n[/latex], т. е. функцию вида

[latex]P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_{1}x+a_{0},\ \ a_{n}\neq0.[/latex]

Эта функция непрерывна на [latex]R.[/latex]

Спойлер

Функция [latex]y=C,[/latex] где [latex]C[/latex] — постоянно непрерывна на [latex]R,[/latex] так как [latex]\Delta y=0[/latex]при любом[latex]x.[/latex] Функция [latex]y=x[/latex]непрерывна на [latex]R,[/latex] так как [latex]\Delta y=\Delta x \to 0[/latex]при[latex]\Delta x \to 0.[/latex] Поэтому функция[latex]y=a_{k}x^k,[/latex] где [latex]k\in\mathbb{N},[/latex] непрерывна на [latex]R[/latex] как произведение непрерывных функций. Так как многочлен [latex]P_{n}(x)[/latex]есть сумма непрерывных функций вида [latex]a_{k}x^k\ \ \ \left ( k=\overline{0,n} \right ),[/latex] то он непрерывен на[latex]R.[/latex]

[свернуть]

Рациональная функция, т. е. функция вида [latex]f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)},[/latex] где [latex]P_{n}(x),Q_{m}(x)[/latex] — многочлены степени [latex]n[/latex] и [latex]m[/latex] соответственно, непрерывна во всех точках, которые не являются нулями многочлена [latex]Q_{m}(x).[/latex]

Спойлер

В самом деле, если [latex]Q_{m}(x)\neq 0,[/latex] то из непрерывности многочленов [latex]P_{n}[/latex] и [latex]Q_{m}[/latex] следует непрерывность функции [latex]f[/latex] в точке [latex]x_{0}.[/latex]

[свернуть]

Утверждение 2

Если [latex] x \in \left ( — \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right ) [/latex] и [latex] x\neq 0,[/latex] то [latex] \cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1 \ \ \ \ \left ( 1 \right ).[/latex]

Спойлер

Рассмотрим в координатной плоскости круг единичного радиуса
с центром в точке [latex] O [/latex] (рис. 12.1). Пусть [latex] \angle AOB=x,[/latex] где [latex]0<x<\frac{\pi}{2} [/latex].

121

Пусть [latex] C [/latex]  — проекция точки [latex] B[/latex] на ось [latex]Ox[/latex], [latex] D [/latex] луча [latex] OB [/latex] и прямой, проведенной через точку [latex] A [/latex] перпендикулярно оси [latex] Ox.[/latex] Тогда  [latex]BC=sin x, DA=tgx.[/latex]

Пусть [latex]S_{1}, S_{2}, S_{3}[/latex] — площади треугольника [latex]AOB,[/latex] сектора[latex]AOB[/latex] и треугольника [latex]AOD[/latex] соответственно. Тогда

[latex]S_{1}=\frac{1}{2}(OA)^{2}\sin x=\frac{1}{2}\sin x,[/latex]

[latex]S_{2}=\frac{1}{2}(OA)^{2} x=\frac{1}{2}x,[/latex]

[latex]S_{3}=\frac{1}{2}OA \cdot DA=\frac{1}{2} tg \ x.[/latex]

Так как [latex]S_{1}<S_{2}<S_{3},[/latex] то [latex]\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2} tg \ x \ \ \ \ \left ( 2 \right )[/latex]

Если [latex]x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )[/latex]  то [latex]\sin{x}>0,[/latex] и поэтому неравенство[latex]\left ( 2 \right )[/latex] равносильно неравенству

[latex]1<\frac{x}{\sin{x}}<\frac{1}{\cos{x}}[/latex]

откуда следует, что при  [latex]x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )[/latex] выполняется неравенство [latex]\left ( 1 \right ).[/latex] Так
как [latex]\frac{x}{\sin{x}}[/latex] и [latex]\cos{x}[/latex] — четные функции, то неравенство  [latex]\left ( 1 \right )[/latex] справедливо и при[latex]x \in \left (-\frac{\pi}{2},0 \right ).[/latex]

[свернуть]

 Следствие

Первый замечательный предел

[latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1[/latex]

Подробнее

 Замечание

Из неравенства[latex]\left(2\right )[/latex]следует, что [latex]tg\ x>x[/latex] при [latex]x \in \left ( 0 , \frac{\pi}{2} \right )\ \ \ \ \ \ \left (3 \right ).[/latex]

Утверждение 3

Для всех [latex]x\in\mathbb{R}[/latex]справедливо неравенство

[latex]\left |\sin{x} \right |\leqslant \left | x \right |\ \ \ \ \ \ \left (4 \right ).[/latex]

Спойлер

Неравенство  [latex]\left ( 4 \right )[/latex]  выполняется при  [latex]x=0.[/latex]

Пусть [latex]x\neq0.[/latex]

Если  [latex]\left | x \right |<\frac{\pi}{2},[/latex] то из утверждения  [latex]\left (1\right )[/latex] следует что

 [latex]-1<\cos{x} <\frac{\sin\ x}{x} < 1\ \ \ \Rightarrow[/latex]

[latex]\left |\frac{\sin{x}}{x} \right |<1 \ \ \Rightarrow\left | \sin{x} \right |<\left | x \right |[/latex]

Если  [latex]\left | x \right |\geqslant\frac{\pi}{2},[/latex] то тогда доказываемое неравенство очевидно.

[свернуть]

Утверждение 4

Функции [latex]y=\sin{x}[/latex] и [latex]y=\cos{x}[/latex] непрерывны на всем множестве [latex]\mathbb{R}.[/latex]

Спойлер

Требуется доказать, что

[latex]\forall x \in \mathbb{R} : \lim_{x \to x_{0}}\sin{x}=\sin{x_{0}},[/latex]

а именно

[latex]\forall \varepsilon >0\ \ \ \ \exists \delta_{\varepsilon }:\forall x:\left | x-x_{0} \right |<\delta \Rightarrow \left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |<\varepsilon [/latex]

[latex]\left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |=\left | 2-\sin{\frac{x-x_{0}}{2}}\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right | =2\left |\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right |\left |\cos{\frac{x+x_{0}}{2}} \right |\leqslant[/latex]

[latex]\leqslant 2\left |\sin{\frac{x-x_{0}}{2}} \right |\leqslant 2\left |\frac{x-x_{0}}{2} \right |=\left | x-x_{0} \right |<\delta \leqslant \varepsilon[/latex]

То есть [latex]\forall \varepsilon >0[/latex]если взять[latex]\delta = \frac{\varepsilon }{2}[/latex], то[latex]\forall x:\left | x-x_{0} \right |<\delta \Rightarrow \left | \sin{x}-\sin{x_{0}} \right |<\varepsilon[/latex]

Для функции [latex]\cos{x}[/latex] доказывается аналогично

 

[свернуть]

Следствие

Функция [latex]tg\ x=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}[/latex] — непрерывная при [latex]x\neq \frac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}[/latex]

Утверждение 5

Рассмотрим несколько  функции с их графиками

  1. [latex]y=\sin{x}\ ;\ \ x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right][/latex]строго возрастает и непрерывна
    Спойлер

    sin x2

    [свернуть]
  2. [latex]y=\cos{x}\ ;\ \ x\in\left[0;\pi\right][/latex]строго спадает и непрерывна
    Спойлер


    cos x

    [свернуть]
  3. [latex]y=tg \ x\ ;\ \ x\in\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)[/latex]строго возрастает и непрерывна
    Спойлер


    tg x

    [свернуть]
  4. [latex]y=ctg \ x\ ;\ \ x\in\left(0;\pi\right)[/latex]строго спадает и непрерывна
    Спойлер


    ctg x

    [свернуть]

 

Тогда по теореме существуют обратные  непрерывные монотонные функции соответственно

  1. [latex]y=\arcsin{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right][/latex]
    Спойлер


    arcsin x

    [свернуть]
  2. [latex]y=\arccos{x}\ ;\ \ x\in\left[-1;1\right][/latex]
    Спойлер


    arccos x

    [свернуть]
  3. [latex]y=arctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}[/latex]
    Спойлер


    arctg x

    [свернуть]
  4. [latex]y=arcctg\ x\ ;\ \ x\in\mathbb{R}[/latex]
    Спойлер


    arcctg x

    [свернуть]

 Утверждение 6

Функция [latex]y=a^x,\ \ a>0, \ \ a\neq 1[/latex] — монотонна непрерывна на [latex]\mathbb{R},[/latex] то есть

[latex]\forall x\in\mathbb{R}\ \ \ \lim_{x\to x_{0}}a^x=a^{x_{0}}[/latex]

и тогда функция [latex]y=\log_{a}{x}[/latex] — монотонна и непрерывна(как обратная)

Утверждение 7

Функции, заданные формулами

[latex]sh\ x =\frac{e^x-e^{-x}}{2},\ \ \ \ ch\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/latex]

называют соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.

Эти функции определены и непрерывны на [latex]\mathbb{R}[/latex], причем [latex]sh\ x[/latex]— нечетная функция, а [latex]ch\ x[/latex] — четная функция.

Спойлер


hiper

[свернуть]

Из определения функций  [latex]sh\ x[/latex] и [latex]ch\ x[/latex] следует, что

[latex]sh\ x +ch\ x=e^x\ ,\ \ \ \ ch^{2}\ x-sh^{2}\ x=1\ ,[/latex]

[latex] ch\ 2x=1+2sh^{2}\ x\ ,\ \ sh\ 2x=2sh\ x\ ch\ x[/latex]

 По аналогии с тригонометрическими функциями гиперболические тангенс и котангенс определяются соответственно формулами

[latex]th\ x=\frac{sh\ x}{ch\ x}\ ,\ \ \ cth\ x=\frac{ch\ x}{sh\ x} [/latex]

Функция [latex]th\ x[/latex] определена и непрерывна на [latex]\mathbb{R},[/latex] а функция [latex]cth\ x[/latex] определена и непрерывна на множестве [latex]\mathbb{R}[/latex] с выколотой точкой [latex]x= 0.[/latex] Обе функции нечетные.

Спойлер

thcht

[свернуть]

Утверждение 8

Пусть функции [latex]u(x)[/latex]  и [latex]v(x)[/latex] определены на промежутке[latex]\Delta =\left ( a,b \right ),[/latex] причем для всех[latex]x \in \Delta[/latex] выполняется условие [latex]u(x)>0,[/latex] Тогда функцию  [latex]y,[/latex] определяемую формулой

[latex]y=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]

будем называть показательно-степенной и обозначать 

[latex]y=u(x)^{v(x)}[/latex]

Таким образом, исходя из определения

[latex]u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln{u(x)}}[/latex]

Если [latex]u,v[/latex] — функции, непрерывные на [latex]\Delta,[/latex] то функция [latex]u^v[/latex] непрерывна на [latex]\Delta[/latex] как суперпозиция непрерывных функций  [latex]e^t[/latex] и [latex]t = v(x)\ln{u(x)}[/latex].

Тест

Непрерывность элементарных функций

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр. 96-110)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 90-96)

Замена переменной при вычислении предела

Теорема

 

Если существуют

$latex \lim_{x\to a}\varphi (x)=b$ и $latex \lim_{y\to b}f(y)=A $

причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки [latex]a[/latex] выполняется условие $latex \varphi (x)\neq b $, то в точке [latex]a[/latex] существует предел сложной функции $latex f(\varphi (x)) $ и справедливо равенство

$latex \lim_{x\to a}f(\varphi (x))=\lim_{y\to b}f(y)=A $


Спойлер

Проводим доказательство, используя определение предела функции по Гейне

$latex
\forall \{x_{n}\} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} a
\Rightarrow
\{\varphi (x_{n}) \} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} b
\Rightarrow
f(\varphi (x_{n})) \underset{n \to \infty }{\rightarrow} A
$

[свернуть]

Примеры

Спойлер

Доказать что     $latex \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1 $

$latex
\lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=
\left [ t=arcsin(x) , t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right ]=
\lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}=1$ (см. Первый замечательный предел)

[свернуть]
Спойлер

Доказать что     $latex \lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1 $

$latex
\lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=
\left [ t=arctg(x), t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right]=$$latex
\lim_{t \to 0}\frac{t}{tg(t)}=$$latex
\lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}cos(t)=1$(см. Первый замечательный предел)

[свернуть]

Тест

Тест на понимание темы «Замена переменной при вычислении предела»

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 112-113)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 68-69)  

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу

Первый замечательный предел

sin x xПервым замечательным пределом называется равенство

[latex] \lim_{x \to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1[/latex] ,

где величина [latex]x[/latex] выражена в радианах.

 

 

Спойлер

Воспользуемся неравенством[latex]\left(1\right )[/latex](рассмотренное в теме Непрерывность элементарных функций).Исходя из непрерывности косинуса [latex]\lim_{x \to 0}\cos{x}=\cos{0}=1[/latex], переходим в соотношении [latex]\left(1\right )[/latex] к  пределу при   [latex]x \to 0[/latex], получаем искомое равенство

[свернуть]

Примеры

Замечание: примеры для данной темы желательно разбирать только после прочтения материала о замене переменной при вычислении предела

Спойлер

Найти предел выражения [latex]\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}[/latex]

[latex]\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{3\cdot \frac{1}{7}\cdot 7x}=\frac{7}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=\frac{7}{3}[/latex]

Замечание

В последнем равенстве мы использовали тот факт, что [latex]\lim_{x\to 0}\frac{\sin{7x}}{7x}=1[/latex]

Этот факт доказывается при помощи замены переменной [latex]t=7x;t\underset{x\to 0}{\rightarrow}0[/latex]

[свернуть]
Спойлер

Найти предел выражения [latex]\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}[/latex]

[latex]\lim_{x\to 0}\frac{5x^2}{\sin^2{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5x\cdot x}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot sin{\frac{x}{2}}}=\lim_{x\to 0}\frac{5\cdot 2\cdot 2\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{x}{2}}{\sin{\frac{x}{2}}\cdot \sin{\frac{x}{2}}}=5\cdot 2\cdot 2=20[/latex]

[свернуть]
Спойлер

Найти предел выражения [latex]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}[/latex]

Используем тригонометрическую формулу [latex]1-\cos{2a}=2\sin^2{a}[/latex]

[latex]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{4x}}{5x}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2{2x}}{5x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2{2x}}{x}=[/latex]

[latex]\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}\cdot \sin{2x}}{\frac{1}{2}\cdot 2x}=\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}\frac{\sin{2x}}{\frac{1}{2}}=\frac{4}{5}\lim_{x\to 0}\sin{2x}=\frac{4}{5}\cdot 0=0 [/latex]

[свернуть]

Тест

Тест на использование первого замечательно предела

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов.  3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 97-98). 

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 60-62)  

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу (стр 58-60)

Непрерывность в точке и существование производной

Необходимое условие непрерывности (Связь непрерывности в точке и существования производной в точке)

Формулировка: Если функция [latex]y = f\left(x\right)[/latex] определена и дифференцируема (имеет производную) в некоторой окрестности [latex]U\left(x_{0}\right)[/latex], то она непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex].

Доказательство: Пусть функция [latex]y = f\left(x\right)[/latex] — имеет производную в точке [latex]x_{0}\Rightarrow[/latex];[latex]\Rightarrow \exists \lim\limits_{x \to x_{0}}\frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=[/latex][latex]{f}’\left(x_{0}\right)\Rightarrow \frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} = [/latex][latex]{f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)[/latex], где [latex]\alpha \left(\Delta x\right) = \underset{\Delta x \to 0}{o\left(\Delta x\right)}[/latex][latex]\Rightarrow f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) =[/latex][latex] \left(x-x_{0}\right)\left({f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)\right)\Rightarrow[/latex][latex] \lim\limits_{x\to x_{0}} f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) = 0\Rightarrow[/latex] функция [latex]f\left(x\right)[/latex] — непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex].

Замечание: Условие непрерывности функции в точке не является достаточным для дифференцируемости функции в точке.

Контр-пример:
[latex]y = |x|, y \in C_{\left(-\infty; +\infty\right)}[/latex]
[latex]\forall x_{0} \in \mathbb{R} \lim\limits_{x \to x_{0}} |x| = |x_{0}|[/latex]
KPabs
При [latex]x_{0} = 0[/latex] и [latex]\Delta x > 0[/latex], то получим [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1 \neq \lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -1[/latex], где [latex]\Delta x < 0[/latex], а значит функция [latex]y = |x|[/latex] — не дифференцируема в точке 0, хотя и непрерывна в ней.

Список литературы:

  • Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 108-109.
  • Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Тест:


Непрерывность в точке и существование производной

Тест на знание связи дифференцируемости и непрерывности.

Таблица лучших: Непрерывность в точке и существование производной

максимум из 16 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных