Предел последовательности

Последовательность — это функция натурального аргумента.

Последовательности вида:

[latex]x_1,\quad x_2,\quad x_3,\quad\dots [/latex]

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

[latex](x_n) [/latex]  или  [latex](x_n)_{n=1}^{\infty}[/latex]

иногда используются фигурные скобки:

[latex]\{x_n\}_{n=1}^{\infty}[/latex].

Пример: числовые последовательности:

1) [latex]1, 2,\dots, n,\dots[/latex];

2) [latex]1, -1, 1, -1,\dots,(-1)^{n},\dots[/latex];

3) [latex]1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots ,\frac{1}{n}, \cdots ;[/latex]

Определение. Число  [latex]a[/latex] называется пределом последовательности [latex]\{x_n\}[/latex], если для каждого [latex]\varepsilon [/latex]>0 существует такой номер  [latex]N_{\varepsilon }[/latex], что для всех  [latex]n>N_{\varepsilon }[/latex] выполняется неравенство: 

[latex]\left | x_{n}-a \right |< \varepsilon[/latex]

Если  [latex]a[/latex] — предел последовательности, то пишут : [latex]a=\lim\limits_{n \to \infty }{x_{n}}[/latex].

С помощью логических символов это определение можно записать  в виде:

[latex]\left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}= a \right \} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0: \exists N_{\varepsilon }\in \mathbb{N}:\forall n \geq N_{\varepsilon }: \left | x_{n}-a \right |< \varepsilon[/latex].

Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся. Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.

Из определения следует, что последовательность [latex]\{ x_{n} \}[/latex] имеет предел, равный  [latex]a[/latex], тогда и только тогда, когда последовательность [latex]\{ x_{n}-a \}[/latex] имеет предел, равный нулю, т. е.:

[latex]\left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =a \right \}\Leftrightarrow \left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }(x_{n}-a) =0 \right \}[/latex]

Пример: Пользуясь определением, найти предел последовательности [latex] x_{n}[/latex], если:

[latex]x_{n}= \frac{n-1}{n}[/latex].

Решение:

Докажем, что  [latex] \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =1 [/latex]. Так как  [latex] x_{n}=1-\frac{1}{n}[/latex], то [latex]\left | x_{n}-1 \right |=\frac{1}{n}[/latex]. Возьмем произвольное число  [latex]\varepsilon > 0[/latex]. Неравенство  [latex]\left | x_{n}-1 \right | < \varepsilon[/latex] будет выполняться, если [latex]\frac{1}{n}< \varepsilon[/latex]. Выберем в качестве [latex]N_{\varepsilon}[/latex]  какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию  [latex]N_{\varepsilon}> \frac{1}{\varepsilon}[/latex], например, число  [latex]N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon } \right ] + 1[/latex]. Тогда для всех  [latex]n\geq N_{\varepsilon }[/latex] будет выполняться неравенство  [latex]\left | X_{n}-1 \right | = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N_{\varepsilon }} < \varepsilon [/latex]. По определению предела это означает, что  [latex] \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =1 [/latex].

 Геометрический смысл предела

Согласно определению число [latex]a[/latex] является пределом последовательности  [latex] x_{n} [/latex], если при всех  [latex]n\geq N_{\varepsilon }[/latex] выполняется неравенство  [latex]\left | x_{n}-a \right | < \varepsilon [/latex] которое можно записать в виде:

[latex]a-\varepsilon < x_{n}< a+\varepsilon [/latex]

Другими словами, для каждого  [latex] \varepsilon > 0[/latex] найдется номер  [latex] N_{\varepsilon} [/latex], начиная с которого все члены последовательности  [latex] x_{n} [/latex] принадлежат интервалу [latex]\left ( a-\varepsilon ;a+\varepsilon \right )[/latex].

Этот интервал называют  [latex] \varepsilon[/latex]-окрестностью точки [latex]a[/latex]и обозначают  [latex]U_{\varepsilon }\left ( a \right )[/latex].

[latex]U_{\varepsilon }\left ( a \right )=\left \{ x: a-\varepsilon < x< a+\varepsilon \right \} = \left \{ x:\left | x-a \right | < \varepsilon \right \}[/latex].

Итак, число  [latex]a[/latex] — предел последовательности [latex] x_{n} [/latex], если для каждой [latex] \varepsilon [/latex]-окрестности точки  [latex]a[/latex] найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности, так что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо содержится лишь конечное число членов.

Литература:

1. Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема: «Предел последовательности » )
2. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (с. 35-39)

Последовательность

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Этот тест по теме: Предел последовательности.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математическая логика 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Последовательность — это…
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   
   Предел последовательности.

   • Последовательность, у которой существует предел, называют (сходящаяся, сходящейся), а если никакое число не является ее пределом, то она (расходящаяся, расходящейся).
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Как называют этот интервал  [latex]\left ( a-\varepsilon ;a+\varepsilon \right )[/latex]?
   

   • Дельта окрестность точки $a$.
   • Эпсилон окрестность точки $a$.
   • $ \overset{\circ}{U_{\varepsilon}}\left(a\right) $
   Правильно
   

   Неправильно
   

    

    

Точки локального максимума и минимума называют точками локального экстремума.

Это были формальные определения, но можно объяснить иначе:
Возьмем некоторую точку на графике функции и некоторую ее окрестность. Если в окрестности это наивысшая точка, то назовем ее локальным максимумом, если же самая низкая, то минимумом.

Пример

Найти экстремумы функции [latex]f(x)=2x^{3}-15x^{2}+36x-14.[/latex]

Точки экстремума

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Этот тест создан чтобы проверить ваше понимание темы «Точки экстремума»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Математический анализ 0%

максимум из 6 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Количество баллов: 2

   Можно ли сказать, что локальный максимум является самой высокой точкой функции?

   • Да
   • Нет
   • Спорно
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   Количество баллов: 2

   Рассортируйте функции по убыванию их графиков на отрезке [-1,1]

   • $$arcctgx$$
   • $$y=2$$
   • $$arcsinx$$
   • $$\sqrt{x}$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Количество баллов: 2

   Чему равна производная функции в точке экстремума?
   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература

• Конспект лекций Лысенко З.М.
• Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.164

Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно «взять», т.е. представить в виде элементарных функций.

Рациональной функцией называется отношение двух многочленов.

$\large   \frac{P(x)}{Q(x)}=S+\frac{\tilde{P}(x)}{Q(x)},$

где $latex S$ — «целая часть» (многочлен).

$\normalsize \deg(\tilde{P}(x))<\deg(Q(x))$

Нам понадобиться умение разлагать многочлен на простые множители.

$$Q_{n}(x)=C(x-a_{1})^{\alpha_{1}}(x-a_{2})^{\alpha_{2}}…(x-a_{k})^{\alpha_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}…(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}$$

Если $\normalsize m<n$, то:

$$ \small \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{A_{1}^{\alpha_{1}}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}}}+\frac{A_{1}^{(\alpha_{1}-1)}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}-1}}+…+\frac{A_{1}^{(1)}}{(x-a_{1})}+…+\frac{A_{k}^{\alpha_{k}}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}}}+\frac{A_{k}^{(\alpha_{k}-1)}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}-1}}+…$$ $$+\frac{A_{k}^{(1)}}{x-a_{k}}+\frac{B_{1}^{\beta_{1}}x+D_{1}^{\beta_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}}+\frac{B_{1}^{(\beta_{1}-1)}+D_{1}^{(\beta_{1}-1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}-1}}+…$$ $$+\frac{B_{1}^{(1)}x+D_{1}+D_{1}^{(1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})}+…+\frac{B_{s}^{\beta_{s}}x+D_{s}^{(s)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}}+…+\frac{B_{s}^{(1)}x+D_{s}^{(1)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})}.$$

Таким образом правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простых дробей вида:

$$ \frac{A}{(x-\alpha)^{r}},r  \epsilon   \mathbb{N}    и    \frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}},k  \epsilon  \mathbb{N}$$

$$r=1:    \int\frac{A}{x-\alpha}dx=A\int\frac{d(x-\alpha)}{x-\alpha}=A\ln\left|x-\alpha\right|+C$$

$$r\neq1:   \int\frac{A}{(x-\alpha)^{r}}dx=A\int(x-\alpha)^{-r}d(x-\alpha)=A\frac{(x-\alpha)^{-r+1}}{-r+1}+C$$

Обозначим $\large I_{k}=\int\frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}}dx$

$\large x^{2}+px+q=(x+\frac{p}{2})^{2}+(q-\frac{p^{2}}{4})$

$\large p^{2}-4q\frac{p^{2}}{4}$

$\large dx=\sqrt{q-\frac{p^{2}}{4}}=a, x+\frac{p}{2}=t$

$\large I_{k}=\int\frac{B(t-\frac{p}{2})+D}{(t^{2}+a^{2})^{k}}dt=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}+B(-\frac{p}{2})+D\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

Пусть $\large I_{k}^{1}=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$, $\large I_{k}^{2}=\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

$\large k>1:$  $\large I_{k}^{1}=\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}=\frac{1}{2}\int(t^{2+a^{2}})^{-k}d(t^{2}+a^{2})=$

$\large =\frac{1}{2}\frac{(t^{2}+a^{2})^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{1}{2(-k+1)(x^{2}+px+q)^{k-1}}+C$

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{1}=\int\frac{tdt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{d(t^{2}+a^{2})}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|t^{2}+a^{2}\right|+C$

В случае $\large k>1$ интеграл «берем» по рекурентной формуле, доказанной выше.

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{2}=\int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan(\frac{t}{a})+C=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x+\frac{p}{2}}{a})+C$

Пример 1

Вычислить интеграл $\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx.$

Решение

Пример 2

Вычислить интеграл $\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx$

Решение

Литература:

• Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрально исчисления,Том 2, „Наука“, Москва 1970, стр. 36.
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012.
• Интегрирование рациональных фунций http://www.math24.ru/

  Интегрирование рациональных функций

  Лимит времени: 0

  Навигация (только номера заданий)

  0 из 3 заданий окончено

  Вопросы:

  1. 1
  2. 2
  3. 3

  Информация

  Интегрирование рациональных функций

  Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

  Тест загружается...

  Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

  Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

  Результаты

  Правильных ответов: 0 из 3

  Ваше время:

  Время вышло

  Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

  Средний результат
  Ваш результат

  Рубрики

  1. Математический анализ 0%

  максимум из 6 баллов

  Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
  Таблица загружается
  Нет данных

  Ваш результат был записан в таблицу лидеров

  Загрузка

  Имя: E-Mail:

  Капча:

  1. 1
  2. 2
  3. 3

  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

  1. Задание 1 из 3

     1.

     Количество баллов: 2

     Последовательность шагов при интегрировании рациональных функций

     • Преобразование неправильной рациональной дроби в правильную и выделение целой части.
     • Разложение знаменателя на простейшие дроби.
     • Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
     • Интегрирование простейших рациональных дробей.
     Правильно
     

     Неправильно
     
  2. Задание 2 из 3

     2.

     Количество баллов: 2

     Укажите алгоритм, который позволяет разложить рациональную дробь на сумму простейших ?
     Правильно
     

     Неправильно
     
  3. Задание 3 из 3

     3.

     Количество баллов: 2

     Выбрать равенства, соответствующие интегралам

     Элементы сортировки

     • $ \ln\left | x-a \right |$
     • $ \frac{1}{(1-k)(x-a)^{k-1}}$
     • $ \frac{1}{2}\ln(t^{2}+m^{2})$
     • $ \frac{1}{2(1-k)(t^{2}+m^{2})^{k-1}}$
     • $ \frac{1}{a}\arctan\frac{t}{m}$

     • $ \int \frac{A}{x-a}dx$

     • $ \int \frac{A}{(x-a)^{k}}dx$

     • $ \int \frac{tdt}{t^{2}+m^{2}}$

     • $ \int\frac{tdt}{(t^{2}+m^{2})^{k}}$

     • $ \int\frac{dt}{t^{2}+m^{2}}$

     Правильно
     

     Неправильно
     

  Таблица лучших: Интегрирование рациональных функций

  максимум из 6 баллов

  Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
  Таблица загружается
  Нет данных

Определения

Односторонний предел по Коши

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A^{‘}|<\varepsilon[/latex]

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A^{»}|<\varepsilon[/latex]

Односторонний предел по Гейне

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

максимум из 10 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   
   Функция \(f(x)\) называется непрерывной слева, если

   • \(\exists \lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a)\)
   • \(\exists \lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a)\)
   • \(\forall x\in (a-\delta_{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)\)
   • \(\forall x\in (a+\delta_{0})\: \lim\limits_{x\rightarrow a}=f(a)\)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   
   Сопоставьте записи в кванторах с определениями:

   Элементы сортировки

   • \(\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A|<\varepsilon\)
   • \(\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}<a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A\)
   • \(\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A|<\varepsilon\)
   • \(\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}>a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A\)

   • Определение левостороннего предела по Коши

   • Определение левостороннего предела по Гейне

   • Определение правостороннего предела по Коши

   • Определение правостороннего предела по Гейне

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   
   Заполните пропуски.

   • Функция \(f(x)\) имеет предел в точке \(a\) тогда и только тогда, когда существуют (равные, одинаковые) между собой (односторонние) пределы в этой точке.
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   
   Найти односторонние пределы функции \(f(x)=\frac{1}{x}\) при \(x\rightarrow 0\):

   • Правый предел = \(+\infty\)
   • Левый предел = \(-\infty\)
   • Правый предел = \(-\infty\)
   • Левый предел = \(+\infty\)
   Правильно
   

   Неправильно
   

Определение

Если [latex]x_0=0[/latex] и существует [latex]f^{(n)}(0)[/latex], то формула Тейлора принимает вид:

Формулу (1) называют формулой Маклорена.

Замечание 1. Пусть функция [latex]f(x)[/latex] бесконечно дифференцируема на интервале [latex](-l, l).[/latex] Если эта функция является четной, то её производная — нечетная функция, и, наоборот, производная нечетной функции — четная функция.
[latex]\triangle[/latex]Пусть [latex]f(x)[/latex] — четная функция, тогда:
[latex]f(-x)=f(x)[/latex], [latex]x\in(-a, a)[/latex].
Дифференцируя это тождество, получаем
[latex]-f'(-x)=f'(x),[/latex] [latex]x\in(-a, a)[/latex].
Это означает, что [latex]f'(x)[/latex] — нечетная функция. Аналогично рассматривается случай, когда [latex]f(x)[/latex] — нечетная функция.[latex]\blacktriangle [/latex]
Отсюда следует, что для нечетной функции [latex]f[/latex] выполняютcя условия [latex]f^{(2k)}(0)=0[/latex], [latex]k\in \mathbb{N}[/latex], а для четной функции [latex]f[/latex] — условия [latex]f^{(2k-1)}(0)=0[/latex], [latex]k\in \mathbb{N}[/latex], так как любая непрерывная нечетная функция принимает при [latex]x=0[/latex] значение нуль.
Поэтому формулу (1) для бесконечно дифференцируемой четной функции можно записать в виде:

(2)

[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}x^{2k}+\underset{x\to0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex],

а для нечетной функции — в виде:

(3)

[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}x^{2k+1}+\underset{x\to0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex].

Разложения основных функций

а) Показательная функция. Если [latex]f(x)=e^x[/latex], то [latex]f(0)=1[/latex] и [latex]f^{(n)}(0)=1[/latex] при любом [latex]n[/latex]. Поэтому формула (1) для функции [latex]e^x[/latex] записывается в виде

или

б) Гиперболические функции. Так как [latex]f(x)=\sinh x[/latex] — нечетная функция, [latex]f^{(2k+1)}(x)=\cosh x[/latex], [latex]f^{(2k+1)}(0)=1[/latex] при [latex]k=0, 1, 2,\dots[/latex], то по формуле (3) получаем

или

Аналогично по формуле (2) находим

или

Замечание 2. Так как [latex]\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/latex], [latex]\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/latex], то формулы (5) и (6) можно получить, используя равенство (4) и равенство [latex]e^{-x}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^kx^k}{k!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

в) Тригонометрические функции. Функция [latex]f(x)=\sin x[/latex] является нечетной,

откуда

Поэтому по формуле (3) находим

или

Аналогично, [latex]f(x)=\cos x[/latex] — четная функция, [latex]f^{(2n)}(0)=\cos (\frac{\pi}{2}2n)=(-1)^n[/latex], и по формуле (2) получаем

или

Замечание 3.Используя формулу (7)

[latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/latex]

Для 2 членов разложения: [latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}[/latex]
Для 3 членов разложения: [latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}[/latex]
Для 4 членов разложения: [latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}[/latex]

Как видно по графику, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 4-5 членами ряда.

г) Степенная функция. Пусть [latex]f(x)=(1+x)^\alpha[/latex], где [latex]\alpha \in \mathbb{R}[/latex]. Тогда [latex]f^{(k)}(x)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))(1+x)^{\alpha-k}[/latex], откуда получаем [latex]f^{(k)}(0)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))[/latex]. Тогда по формуле (1) получим

Отметим важные частные случаи формулы (9).

1. (10)

   [latex]\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots+x^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex],

   или

   [latex]\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^nx^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].
2. (11)

   [latex]\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\dots+(-1)^nx^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex],

   или

   [latex]\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kx^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

д) Логарифмическая функция. Если [latex]f(x)=\ln(1+x)[/latex], то [latex]f(0)=0[/latex], [latex]f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}[/latex], [latex]f^{(k)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)![/latex], и по формуле (1) находим

или

Заменяя в формуле (12) [latex]x[/latex] на [latex]-x[/latex], получаем

или

Примеры

1. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки [latex]x_0=0[/latex] до [latex]\circ(x^n)[/latex] функцию [latex]f(x)[/latex], если [latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}:[/latex]
   
   Спойлер

   [latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}=(1+x)^{-\frac{1}{2}}[/latex]. Применяя формулу (9) при [latex]\alpha=-\frac{1}{2}[/latex], получаем:

   [latex](1+x)^{-\frac{1}{2}}=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}-1)\dots(-\frac{1}{2}-(k-1))}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex] = [latex]1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k\frac{1}{2}\frac{3}{2}\frac{5}{2}\dots(\frac{1+2(k-1)}{2}}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex] = [latex]1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{2^k}\frac{1\cdot 3\cdot 5\dots(2k-1)}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex]

   Обозначим [latex](2k-1)!!=1\cdot 3\dots(2k-1)[/latex], тогда:

   [latex]\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^k(2k-1)!!}{2^kk!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex]

   [свернуть]
2. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки [latex]x_0=0[/latex] до [latex]\circ(x^n)[/latex] функцию [latex]f(x)[/latex], если [latex]f(x)=\ln\frac{x-5}{x-4}:[/latex]
   
   Спойлер

   Используя равенство

   [latex]f(x)=\ln\frac{x-5}{x-4}=\ln 5-\ln 4+ln (1-\frac{x}{5})-\ln (1-\frac{x}{4})[/latex]

   и формулу (13), находим:

   [latex]\ln\frac{x-5}{x-4}=\ln 5-\ln 4-\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{5^kk}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{4^kk}[/latex] = [latex]\ln \frac{5}{4}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{k}(\frac{1}{4^k}-\frac{1}{5^k})+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex]

   [свернуть]
3. Разложить по формуле Маклорена до [latex]\circ(x^{2n+1})[/latex] функцию [latex]f(x)[/latex], если [latex]f(x)=\cos^4x:[/latex]
   
   Спойлер

   Используя равенство [latex]\cos^2 x=\frac{1}{2}+\frac{\cos 2x}{2}[/latex], получаем:

   [latex]\cos^4 x=\frac{1}{4}(1+2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2})=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x[/latex],

   откуда по формуле (8) находим:

   [latex]\cos^4 x=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k2x^{2k}}{(2k)!}+\frac{1}{8}\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k4x^{2k}}{(2k)!}[/latex] = [latex]\frac{3}{8}+\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k2^{2k-1}}{(2k)!}(1+2^{2k-2})x^{2k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex]

   [свернуть]

Литература

• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу. Тема «Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора»
• Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. с. 162-169

Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тесты для самоконтроля

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 20

   Какие из данных элементарных функций являются нечетными?

   • $$ f(x)=e^x $$
   • $$ f(x)=\sinh x $$
   • $$f(x)=\cosh x$$
   • $$f(x)=\sin x$$
   • $$f(x)=\cos x$$
   • $$f(x)=(1+x)^\alpha$$
   • $$f(x)=\ln(1+x)$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 50

   Установите соответствие между элементарными функциями и их разложению по формуле Маклорена

   Элементы сортировки

   • $$\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$$
   • $$\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}$$
   • $$\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}$$
   • $$1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$$
   • $$\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}$$

   • $$f(x)=e^x$$

   • $$f(x)=\sinh x$$

   • $$f(x)=\sin x$$

   • $$f(x)=(1+x)^\alpha$$

   • $$f(x)=\ln(1+x)$$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 10

   Закончите предложение

   • Частный случай формулы Тейлора, в случае х=0 называется формулой (Маклорена)
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 10

   Если функция является четной, то какой является её производная?

   • нечетной функцией
   • неизвестно
   • функцией общего вида
   • четной функцией
   Правильно
   

   Неправильно