Processing math: 100%

Определение предела последовательности и ее геометрический смысл.

Предел последовательности

Последовательность — это функция натурального аргумента.

Последовательности вида:

[latex]x_1,\quad x_2,\quad x_3,\quad\dots [/latex]

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

[latex](x_n) [/latex]  или  [latex](x_n)_{n=1}^{\infty}[/latex]

иногда используются фигурные скобки:

[latex]\{x_n\}_{n=1}^{\infty}[/latex].

Пример: числовые последовательности:

1) [latex]1, 2,\dots, n,\dots[/latex];

2) [latex]1, -1, 1, -1,\dots,(-1)^{n},\dots[/latex];

3) [latex]1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots ,\frac{1}{n}, \cdots ;[/latex]

Определение. Число  [latex]a[/latex] называется пределом последовательности [latex]\{x_n\}[/latex], если для каждого [latex]\varepsilon [/latex]>0 существует такой номер  [latex]N_{\varepsilon }[/latex], что для всех  [latex]n>N_{\varepsilon }[/latex] выполняется неравенство

[latex]\left | x_{n}-a \right |< \varepsilon[/latex]

Если  [latex]a[/latex] — предел последовательности, то пишут : [latex]a=\lim\limits_{n \to \infty }{x_{n}}[/latex].

С помощью логических символов это определение можно записать  в виде:

[latex]\left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}= a \right \} \Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0: \exists N_{\varepsilon }\in \mathbb{N}:\forall n \geq N_{\varepsilon }: \left | x_{n}-a \right |< \varepsilon[/latex].

Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся. Последовательность называют расходящейся, если никакое число не является ее пределом.

Из определения следует, что последовательность [latex]\{ x_{n} \}[/latex] имеет предел, равный  [latex]a[/latex], тогда и только тогда, когда последовательность [latex]\{ x_{n}-a \}[/latex] имеет предел, равный нулю, т. е.:

[latex]\left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =a \right \}\Leftrightarrow \left \{ \lim\limits_{n\rightarrow \infty }(x_{n}-a) =0 \right \}[/latex]

Пример: Пользуясь определением, найти предел последовательности [latex] x_{n}[/latex], если:

[latex]x_{n}= \frac{n-1}{n}[/latex].

Решение:

Докажем, что  [latex] \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =1 [/latex]. Так как  [latex] x_{n}=1-\frac{1}{n}[/latex], то [latex]\left | x_{n}-1 \right |=\frac{1}{n}[/latex]. Возьмем произвольное число  [latex]\varepsilon > 0[/latex]. Неравенство  [latex]\left | x_{n}-1 \right | < \varepsilon[/latex] будет выполняться, если [latex]\frac{1}{n}< \varepsilon[/latex]. Выберем в качестве [latex]N_{\varepsilon}[/latex]  какое-нибудь натуральное число, удовлетворяющее условию  [latex]N_{\varepsilon}> \frac{1}{\varepsilon}[/latex], например, число  [latex]N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\varepsilon } \right ] + 1[/latex]. Тогда для всех  [latex]n\geq N_{\varepsilon }[/latex] будет выполняться неравенство  [latex]\left | X_{n}-1 \right | = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N_{\varepsilon }} < \varepsilon [/latex]. По определению предела это означает, что  [latex] \lim\limits_{n\rightarrow \infty } x_{n} =1 [/latex].

 Геометрический смысл предела

Согласно определению число [latex]a[/latex] является пределом последовательности  [latex] x_{n} [/latex], если при всех  [latex]n\geq N_{\varepsilon }[/latex] выполняется неравенство  [latex]\left | x_{n}-a \right | < \varepsilon [/latex] которое можно записать в виде:

[latex]a-\varepsilon < x_{n}< a+\varepsilon [/latex]

Другими словами, для каждого  [latex] \varepsilon > 0[/latex] найдется номер  [latex] N_{\varepsilon} [/latex], начиная с которого все члены последовательности  [latex] x_{n} [/latex] принадлежат интервалу [latex]\left ( a-\varepsilon ;a+\varepsilon \right )[/latex].

Этот интервал называют  [latex] \varepsilon[/latex]-окрестностью точки [latex]a[/latex]и обозначают  [latex]U_{\varepsilon }\left ( a \right )[/latex].

[latex]U_{\varepsilon }\left ( a \right )=\left \{ x: a-\varepsilon < x< a+\varepsilon \right \} = \left \{ x:\left | x-a \right | < \varepsilon \right \}[/latex].

Итак, число  [latex]a[/latex] — предел последовательности [latex] x_{n} [/latex], если для каждой [latex] \varepsilon [/latex]-окрестности точки  [latex]a[/latex] найдется номер, начиная с которого все члены последовательности принадлежат этой окрестности, так что вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо содержится лишь конечное число членов.

48

Литература:

  1. Лысенко З.М. Конспект лекция по математическому анализу (тема: «Предел последовательности » )
  2. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (с. 35-39)

Последовательность

Этот тест по теме: Предел последовательности.

Таблица лучших: Последовательность

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Точки экстремума

Локальный минимум.
Пусть [latex]f(x)[/latex] лежит выше [latex]f(x_{0})[/latex] для всех [latex]x\in U_{\delta }(x_{0})[/latex] тогда говорят, что функция имеет локальный минимум в точке [latex]x_{0}.[/latex]

Локальный максимум.
Пусть [latex]f(x)[/latex] лежит ниже [latex]f(x_{0})[/latex] для всех [latex]x\in U_{\delta }(x_{0})[/latex] тогда говорят, что функция имеет локальный максимум в точке [latex]x_{0}.[/latex]

Точки локального максимума и минимума называют точками локального экстремума.

Это были формальные определения, но можно объяснить иначе:
Возьмем некоторую точку на графике функции и некоторую ее окрестность. Если в окрестности это наивысшая точка, то назовем ее локальным максимумом, если же самая низкая, то минимумом.

inf
sup
Пример

Найти экстремумы функции [latex]f(x)=2x^{3}-15x^{2}+36x-14.[/latex]

Спойлер

Точки экстремума

Этот тест создан чтобы проверить ваше понимание темы «Точки экстремума»

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.164

Интегрирование рациональных функций

Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно «взять», т.е. представить в виде элементарных функций.

Рациональной функцией называется отношение двух многочленов.

P(x)Q(x)=S+˜P(x)Q(x),

где latexS — «целая часть» (многочлен).

deg(˜P(x))<deg(Q(x))

Нам понадобиться умение разлагать многочлен на простые множители.

Qn(x)=C(xa1)α1(xa2)α2(xak)αk(x2+p1x+q1)β1(x2+psx+qs)βs

Если m<n, то:

Pm(x)Qn(x)=Aα11(xa1)α1+A(α11)1(xa1)α11++A(1)1(xa1)++Aαkk(xak)αk+A(αk1)k(xak)αk1+ +A(1)kxak+Bβ11x+Dβ11(x2+p1x+q1)β1+B(β11)1+D(β11)1(x2+p1x+q1)β11+ +B(1)1x+D1+D(1)1(x2+p1x+q1)++Bβssx+D(s)s(x2+psx+qs)βs++B(1)sx+D(1)s(x2+psx+qs).

Таким образом правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простых дробей вида:

A(xα)r,rϵNиBx+D(x2+px+q)k,kϵN

r=1:Axαdx=Ad(xα)xα=Aln|xα|+C

r1:A(xα)rdx=A(xα)rd(xα)=A(xα)r+1r+1+C

Обозначим Ik=Bx+D(x2+px+q)kdx

x2+px+q=(x+p2)2+(qp24)

p24qp24

dx=qp24=a,x+p2=t

Ik=B(tp2)+D(t2+a2)kdt=Btdt(t2+a2)k+B(p2)+Ddt(t2+a2)k

Пусть I1k=Btdt(t2+a2)kI2k=dt(t2+a2)k

k>1:  I1k=tdt(t2+a2)k=12(t2+a2)kd(t2+a2)=

=12(t2+a2)k+1k+1+C=12(k+1)(x2+px+q)k1+C

k=1:  I11=tdtt2+a2=12d(t2+a2)t2+a2=12ln|t2+a2|+C

В случае k>1 интеграл «берем» по рекурентной формуле, доказанной выше.

k=1:  I21=dtt2+a2=1aarctan(ta)+C=1aarctan(x+p2a)+C

Пример 1

Вычислить интеграл 2x+3x29dx.

Решение

Спойлер

Пример 2

Вычислить интеграл x22x+1dx

Решение

Спойлер

Литература:

  • Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрально исчисления,Том 2, „Наука“, Москва 1970, стр. 36.
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012.
  • Интегрирование рациональных фунций http://www.math24.ru/

    Интегрирование рациональных функций

    Интегрирование рациональных функций

    Таблица лучших: Интегрирование рациональных функций

    максимум из 6 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных

Различные типы пределов: односторонние конечные пределы

Определения

Односторонний предел по Коши

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a-\delta _{\varepsilon }<x<a:|f(x)-A^{‘}|<\varepsilon[/latex]

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \: \exists\delta _{\varepsilon }>0\: \:\forall x:a<x<a+\delta _{\varepsilon }:|f(x)-A^{»}|<\varepsilon[/latex]

Односторонний предел по Гейне

Число [latex]A^{‘}[/latex] называют левосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{‘}=\lim\limits_{x\rightarrow a-0} f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}

Аналогично, число [latex]A^{»}[/latex] называют правосторонним пределом функции [latex]f(x)[/latex] в точке [latex]a:[/latex]

[latex]A^{»}=\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x),[/latex]

если

[latex]\forall \left \{ x_{n} \right \}_{n=1 }^{\infty }:(\forall k \in \mathbb{N}:x_{k}>a )\vee \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_{n}=a\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left \{ f(x_{n}) \right \}_{n=1 }^{\infty }=A^{»}[/latex]

Пределы слева и справа называют односторонними пределами.
Соответственно, функция [latex]f(x)[/latex] называется непрерывной слева (справа) в точке [latex]a[/latex], если

[latex]\exists \lim\limits_{x\rightarrow a-0}f(x)=f(a)\;(\lim\limits_{x\rightarrow a+0}f(x)=f(a))[/latex].

Теорема

Функция [latex]f(x)[/latex] имеет предел в точке [latex]a[/latex] тогда и только тогда, когда существуют равные между собой односторонние пределы в этой точке. В этом случае их общее значение является пределом функции в точке [latex]a.[/latex]

Спойлер

Пример

Дана функция [latex]f(x)=\rm sgn(x):\: \left\{1,x>0;0,x=0;1,x<0.\right.[/latex]
signx
Выяснить существует ли предел в точке [latex]0.[/latex]

Спойлер

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 77-79
  2. Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа, 2003, т.1. стр. 185-189

Тест


Таблица лучших: Односторонние конечные пределы

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Определение

Если [latex]x_0=0[/latex] и существует [latex]f^{(n)}(0)[/latex], то формула Тейлора принимает вид:

(1)

[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

Формулу (1) называют формулой Маклорена.

Замечание 1. Пусть функция [latex]f(x)[/latex] бесконечно дифференцируема на интервале [latex](-l, l).[/latex] Если эта функция является четной, то её производнаянечетная функция, и, наоборот, производная нечетной функции — четная функция.
[latex]\triangle[/latex]Пусть [latex]f(x)[/latex] — четная функция, тогда:
[latex]f(-x)=f(x)[/latex], [latex]x\in(-a, a)[/latex].
Дифференцируя это тождество, получаем
[latex]-f'(-x)=f'(x),[/latex] [latex]x\in(-a, a)[/latex].
Это означает, что [latex]f'(x)[/latex] — нечетная функция. Аналогично рассматривается случай, когда [latex]f(x)[/latex] — нечетная функция.[latex]\blacktriangle [/latex]
Отсюда следует, что для нечетной функции [latex]f[/latex] выполняютcя условия [latex]f^{(2k)}(0)=0[/latex], [latex]k\in \mathbb{N}[/latex], а для четной функции [latex]f[/latex] — условия [latex]f^{(2k-1)}(0)=0[/latex], [latex]k\in \mathbb{N}[/latex], так как любая непрерывная нечетная функция принимает при [latex]x=0[/latex] значение нуль.
Поэтому формулу (1) для бесконечно дифференцируемой четной функции можно записать в виде:

(2)

[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}x^{2k}+\underset{x\to0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex],

а для нечетной функции — в виде:

(3)

[latex]f(x)=\sum\limits_{k=0}^n\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}x^{2k+1}+\underset{x\to0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex].

Разложения основных функций

а) Показательная функция. Если [latex]f(x)=e^x[/latex], то [latex]f(0)=1[/latex] и [latex]f^{(n)}(0)=1[/latex] при любом [latex]n[/latex]. Поэтому формула (1) для функции [latex]e^x[/latex] записывается в виде

(4)

[latex]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex],

или

[latex]e^x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

б) Гиперболические функции. Так как [latex]f(x)=\sinh x[/latex] — нечетная функция, [latex]f^{(2k+1)}(x)=\cosh x[/latex], [latex]f^{(2k+1)}(0)=1[/latex] при [latex]k=0, 1, 2,\dots[/latex], то по формуле (3) получаем

(5)

[latex]\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex],

или

[latex]\sinh x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex].

Аналогично по формуле (2) находим

(6)

[latex]\cosh x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex],

или

[latex]\cosh x=\sum\limits_{k=0}^n\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex].

Замечание 2. Так как [latex]\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/latex], [latex]\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}[/latex], то формулы (5) и (6) можно получить, используя равенство (4) и равенство [latex]e^{-x}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^kx^k}{k!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

в) Тригонометрические функции. Функция [latex]f(x)=\sin x[/latex] является нечетной,

[latex]f^{(2n+1)}(x)=\sin (x+\frac{\pi}{2}(2n+1))[/latex],

откуда

[latex]f^{(2n+1)}(0)=\sin (\frac{\pi}{2}+\pi n)=\cos\pi n=(-1)^n[/latex].

Поэтому по формуле (3) находим

(7)

[latex]\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex],

или

[latex]\sin x=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+2})}[/latex].

Аналогично, [latex]f(x)=\cos x[/latex] — четная функция, [latex]f^{(2n)}(0)=\cos (\frac{\pi}{2}2n)=(-1)^n[/latex], и по формуле (2) получаем

(8)

[latex]\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex],

или

[latex]\cos x=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\underset{x\to 0}{\circ(x^{2n+1})}[/latex].

Замечание 3.Используя формулу (7)

[latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/latex]

Для 2 членов разложения: [latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}[/latex]
Для 3 членов разложения: [latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}[/latex]
Для 4 членов разложения: [latex]\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}[/latex]
sin
Как видно по графику, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 4-5 членами ряда.

г) Степенная функция. Пусть [latex]f(x)=(1+x)^\alpha[/latex], где [latex]\alpha \in \mathbb{R}[/latex]. Тогда [latex]f^{(k)}(x)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))(1+x)^{\alpha-k}[/latex], откуда получаем [latex]f^{(k)}(0)=\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))[/latex]. Тогда по формуле (1) получим

(9)

[latex](1+x)^\alpha=1+\sum\limits_{k=1}^n\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-(k-1))}{k!}x^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

Отметим важные частные случаи формулы (9).

  1. (10)

    [latex]\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots+x^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex],

    или

    [latex]\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^nx^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].
  2. (11)

    [latex]\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\dots+(-1)^nx^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex],

    или

    [latex]\frac{1}{1+x}=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^kx^k+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

д) Логарифмическая функция. Если [latex]f(x)=\ln(1+x)[/latex], то [latex]f(0)=0[/latex], [latex]f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}[/latex], [latex]f^{(k)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)![/latex], и по формуле (1) находим

(12)

[latex]\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex],

или

[latex]\ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}x^k}{k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

Заменяя в формуле (12) [latex]x[/latex] на [latex]-x[/latex], получаем

(13)

[latex]\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\dots-\frac{x^n}{n}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)} [/latex],

или

[latex]\ln(1-x)=-\sum\limits_{k=1}^n\frac{x^k}{k}+\underset{x\to 0}{\circ(x^n)}[/latex].

Примеры

  1. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки [latex]x_0=0[/latex] до [latex]\circ(x^n)[/latex] функцию [latex]f(x)[/latex], если [latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}:[/latex]
    Спойлер
  2. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки [latex]x_0=0[/latex] до [latex]\circ(x^n)[/latex] функцию [latex]f(x)[/latex], если [latex]f(x)=\ln\frac{x-5}{x-4}:[/latex]
    Спойлер
  3. Разложить по формуле Маклорена до [latex]\circ(x^{2n+1})[/latex] функцию [latex]f(x)[/latex], если [latex]f(x)=\cos^4x:[/latex]
    Спойлер

Литература

Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Тесты для самоконтроля


Таблица лучших: Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

максимум из 90 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных