Метка: алгебра

Симметрическая группа

Множество всех подстановок порядка [latex]n[/latex] с операцией умножения подстановок образуют группу [latex]S_n[/latex]. Единичным элементом группы является подстановка [latex]e=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\1&2&\cdots&n\end{pmatrix}[/latex], обратной подстановкой для [latex]\pi=\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_n\\j_1&j_2&\cdots&j_n\end{pmatrix}[/latex] является [latex]\pi^{-1}=\begin{pmatrix}j_1&j_2&\cdots&j_n\\i_1&i_2&\cdots&i_n\end{pmatrix}[/latex]. Порядок этой группы равен [latex]n![/latex].
Группа [latex]S_n[/latex] называется симметрической группой порядка [latex]n[/latex] .
При [latex]n>2[/latex] группа [latex]S_n[/latex] не коммутативна.

Пример

Группа [latex]S_3[/latex] состоит из шести элементов: [latex]e=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}.[/latex] Эта группа не коммутативна: произведение [latex]\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}[/latex] равно [latex]\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}[/latex], что отлично от [latex]\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}[/latex].

Задача

Доказать, что порядок группы [latex]S_n[/latex] равен [latex]n![/latex].

Спойлер

Найдём порядок [latex]|S_n|[/latex] группы [latex]S_n[/latex]. Символ 1 можно подходящей перестановкой [latex]\sigma[/latex] перевести в любой другой символ [latex]\sigma (1)[/latex], для чего существует в точности [latex]n[/latex] различных возможностей. Но, зафиксировав [latex]\sigma (1)[/latex], в качестве [latex]\sigma (2)[/latex] мы имеем право брать только один из оставшихся [latex]n-1[/latex] символов (всего различных пар [latex]\sigma (1),\sigma (2)[/latex] имеется [latex](n-1)+(n-1)+…+(n-1)=n(n-1)[/latex] ), в качестве [latex]\sigma (3)[/latex] — соответственно [latex]n-2[/latex] символов и т.д. Всего возможностей выбора [latex]\sigma (1),\sigma (2),…\sigma (n)[/latex], а стало быть, и различных перестановок будет [latex]n(n-1)…2\cdot 1=n![/latex].

[свернуть]

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Циклическая группа

Будем говорить, что группа [latex]G[/latex] является циклической, если существует такой элемент [latex]a\in G[/latex], что всякий элемент [latex]x\in G[/latex] может быть записан в виде [latex]x=a^n[/latex], где [latex]n\in Z[/latex](другими словами, если отображение [latex]f: Z\rightarrow G[/latex], определяемое формулой [latex]f(n)=a^n,[/latex]сюръективно). При этом элемент [latex]a[/latex] называется образующей группы [latex]G[/latex]. Всякая циклическая группа, очевидно, абелева.
Примером бесконечной циклической группы служит аддитивная группа целых чисел — всякое целое число кратно числу [latex]1[/latex], то есть это число служит образующим элементом рассматриваемой группы; в качестве образующего элемента можно было бы также взять число [latex]-1[/latex].
Примером конечной циклической группы порядка [latex]n[/latex] служит мультипликативная группа корней [latex]n[/latex]-ой степени из единицы. Все эти корни являются степенями одного их них, а именно первообразного корня.

Задача

Пусть [latex]G[/latex] — группа с групповой операцией [latex]\ast[/latex] и [latex]g\in G[/latex]. Доказать, что множество [latex]H=\{g^k, (g’)^k|k\in N\cup \{0\}\}[/latex] является группой. Группа [latex]H[/latex] является циклической, порождённой [latex]g[/latex]. [latex]H=\langle g\rangle[/latex].

Спойлер
[свернуть]

Решение.Введём обозначения:[latex] g’=g^{-1}, (g’)^k=g^{-k}[/latex]. Докажем, что для [latex]m,n\in Z[/latex] выполняется [latex]g^m\ast g^n=g^{m+n}[/latex].
[latex] m\geq 0, n\geq 0\Rightarrow g^m\ast g^n=g^{m+n}[/latex].
[latex]-n\leq m<0

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Подструктуры

Подгруппа

Пусть [latex]H\neq\varnothing[/latex]. Множество [latex]H[/latex] является подгруппой группы [latex]G[/latex], если само [latex]H[/latex] является группой относительно сужения операции, определённой на [latex]G[/latex].

Критерий подгруппы

Пусть [latex]G[/latex] — группа. [latex] H\in G. H\neq\varnothing[/latex]
Тогда [latex]H[/latex] является подгруппой [latex]G \Leftrightarrow \forall a,b\in H ab^{-1}\in H ((a-b)\in H).[/latex], где [latex]b^{-1}[/latex] — элемент, обратный к [latex]b[/latex].

Задача

Проверить, являеется ли группа [latex](mZ,+) (m\geq 1)[/latex] подгруппой группы [latex](Z, +)[/latex], где [latex]Z[/latex] — множество целых чисел.

Спойлер

То, что [latex](mZ,+)[/latex] — группа, легко доказывается по определению.
Рассмотрим любые два элемента, принадлежищие множеству [latex]mZ[/latex].
[latex]\forall a,b\in mZ a=ma_1, b=mb_1 a,b,m\in Z[/latex]
[latex]a-b=ma_1-mb_1=m(a_1-b_1)\in mZ[/latex]
[latex]\Rightarrow[/latex] по критерию [latex](mZ,+)[/latex] подгруппы является подгруппой [latex](Z,+).[/latex]

[свернуть]

Подкольцо

Рассмотрим кольцо [latex]\mathcal{R}=(R,+,\cdot ,0,1)[/latex]. Если множество [latex]Q[/latex] есть подмножество множества [latex]R[/latex], замкнутое относительно операций сложения и умножения кольца [latex]R[/latex], содержащее нуль и единицу кольца [latex]R[/latex], а также вместе с каждым [latex]x\in Q[/latex] содержащее противоположный к нему элемент [latex](-x)[/latex], то [latex]\mathcal{Q}=(Q,+,\cdot ,0,1)[/latex] также есть кольцо. Его называют подкольцом кольца [latex]\mathcal{R}[/latex].

Другими словами, [latex]\mathcal{Q}[/latex] называется подкольцом в [latex]\mathcal{R}[/latex], если оно само является кольцом относительно сужения операций, определенных на [latex]R[/latex].

Критерий подкольца

Непустое подмножество [latex]R_1[/latex] кольца [latex]R[/latex] будет его подкольцом [latex]\Leftrightarrow[/latex]

  1. [latex]\forall a,b\in R_1 (a+b)\in R_1[/latex]
  2. [latex]\forall a,b\in R_1 ab\in R_1[/latex]

Подполе

Пусть [latex]P[/latex]-поле. [latex]L\subset P, L\neq\varnothing.[/latex]
[latex]L[/latex] называется подполем [latex]P[/latex], если [latex]L[/latex] само является полем относительно сужения операций, определённых на [latex]P[/latex].
При этом [latex]P[/latex] называется расширением [latex]L[/latex].
Понятие подполя определяется аналогично понятию подкольца.Единственное по сравнению с определением подкольца дополнительное требование состоит в том, что носитель подполя должен вместе с каждым элементом [latex]x[/latex] содержать обратный к нему по умножению поля элемент [latex]x^{-1}[/latex] . Это значит, что мультипликативная группа подполя должна быть подгруппой мультипликативной группы всего поля.

Пример

Спойлер

Если [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] — различные элементы поля [latex]F[/latex], то мы можем определить новое сложение [latex]\oplus[/latex] и новое умножение [latex]\odot[/latex] в [latex]F[/latex] следующим образом:
[latex]x\oplus y=x+y-a, x\odot y=a-(x-a)(y-a)/(b-a).[/latex]
(В геометрических терминах: мы меняем начало координат и масштаб.) Легко видеть, что элементы множества [latex]F[/latex] образуют также поле и относительно новых операций. Мы обозначаем это новое поле через [latex]F'[/latex]. Ясно, что подмножество поля [latex]F[/latex], которое является подкольцом поля [latex]F'[/latex], не будет, вообще говоря, подкольцом поля [latex]F[/latex]. Отметим, что [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] будут соответственно нулем и единицей поля [latex]F'[/latex].

[свернуть]

Источники

Структуры и подструктуры

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

Таблица лучших: Структуры и подструктуры

максимум из 7 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Таблица Кэли

Пусть $\mathbb A_{n}=\left \{ a_{1},a_{2},…,a_{n}\right \}$ — конечное множество из $n$ элементов, с заданной на нем бинарной алгебраической операцией $*$ так, что каждой паре элементов из этого множества будет поставлен в соответствие элемент из того же множества.
Тогда таблица Кэли (была введена А.Кэли в 1854) будет выглядеть следующим образом:

$\begin{matrix} * & {\textit a_{1}} & {\textit a_{2}} & {\ldots} & {\textit a_{n}} \\ {\textit a_{1}} & a_{1}*a_{1} & a_{1}*a_{2} & \ldots & a_{1}*a_{n} \\ {\textit a_{2}} & a_{2}*a_{1} & a_{2}*a_{2} & \ldots & a_{2}*a_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ {\textit a_{n}} & a_{n}*a_{1} & a_{n}*a_{2} & \ldots & a_{n}*a_{n} \\ \end{matrix}$

Таблица Кэли позволяет определить свойства операции:

Замечание. Также существует метод проверки ассоциативности БАО по таблице Кэли, но так как он очень громоздкий приводить мы его не будем.

Пример 1

Дано множество $\mathbb A=\left \{1,2,3,4,5,6,7,8 \right \}.$ На этом множестве задана операция $*$ такая, что $ \forall \, a,b \in \mathbb A, a*b=\max(a,b).$ Построить таблицу Кэли и определить свойства операции:

Спойлер

Построим таблицу Кэли:

$\begin{matrix} * & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 5 & 6 & 7 & 8\\ 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 7 & 8\\ 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 7 & 8 \\ 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 & 8 \\ \end{matrix}$

  • Таблица симметрична относительно главной диагонали, значит операция $*$ — коммутативна.
  • Первая строка совпадает с верхней строкой и первый столбец совпадает с левым столбцом, значит 1 — нейтральный элемент.
  • Симметричный элемент существует только для 1.
  • Можем сделать вывод, что $\left (\mathbb A,* \right )$ не является группой.

[свернуть]

Пример 2

Дано множество преобразований правильного треугольника $\mathbb B=\left \{\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3},\varphi _{4},\varphi _{5} \right \},$ переводящих треугольник в самого себя.
$\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2}$ — повороты треугольника против часовой стрелки соответственно на углы $0, \frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$ вокруг точки $O.$
$\varphi _{3},\varphi _{4},\varphi _{5}$ — симметрия относительно осей $m, l, p$
simtriangle
Построить таблицу Кэли и показать, что $\left (\mathbb B,\circ \right )$ — группа:

Спойлер

Каждое преобразование представим в виде подстановки:

$\varphi _{0}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ A & B & C\end{pmatrix}$ $\varphi _{1}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ B & C & A\end{pmatrix}$ $\varphi _{2}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ C & A & B\end{pmatrix}$ $\varphi _{3}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ B & A & C\end{pmatrix}$ $\varphi _{4}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ C & B & A\end{pmatrix} $ $\varphi _{5}=\begin{pmatrix}A & B & C \\ A & C & B\end{pmatrix}$

Составим таблицу Кэли:

$\begin{matrix} {\circ} & \varphi _{0} & \varphi _{1} & \varphi _{2} & \varphi _{3} & \varphi _{4} & \varphi _{5} \\ \varphi _{0} & \varphi _{0} & \varphi _{1} & \varphi _{2} & \varphi _{3} & \varphi _{4} & \varphi _{5} \\ \varphi _{1} & \varphi _{1} & \varphi _{2} & \varphi _{0} & \varphi _{4} & \varphi _{5} & \varphi _{3} \\ \varphi _{2} & \varphi _{2} & \varphi _{0} & \varphi _{1} & \varphi _{5} & \varphi _{3} & \varphi _{4}\\ \varphi _{3} & \varphi _{3} & \varphi _{5} & \varphi _{4} & \varphi _{0} & \varphi _{2} & \varphi _{1}\\ \varphi _{4} & \varphi _{4} & \varphi _{3} & \varphi _{5} & \varphi _{1} & \varphi _{0} & \varphi _{2} \\ \varphi _{5} & \varphi _{5} & \varphi _{4} & \varphi _{3} & \varphi _{2} & \varphi _{1} & \varphi _{0} \\ \end{matrix}$

  • Таблица несимметрична относительно главной диагонали, значит операция композиции подстановок — некоммутативна.
  • Первая строка совпадает с верхней строкой и первый столбец совпадает с левым столбцом, значит $\varphi _{0}$- нейтральный элемент.
  • Каждая строка и каждый столбец таблицы содержит нейтральный элемент, значит для каждого элемента из множества существует симметричный.
  • Композиция подстановок — ассоциативна.
  • Следовательно, $\left (\mathbb B,\circ \right )$ является группой.

[свернуть]

Литература:

  1. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., Наука, 1977 г, с.166, 167
  3. Курош А.Г. Теория групп. М., Наука, Физматлит, 1967 г, с.113

Тест


Таблица лучших: Таблица Кэли

максимум из 19 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Определители n-го порядка и их свойства

Вычисление определителей приведением к треугольному виду, разложением по строке, применением общей теоремы Лапласа.

Cвойства определителя

Пример 1

Используя свойства определителя, доказать следующее тождество:
$$\begin{vmatrix}am+bp & an+bq \\ cm+dp & cn+dq \end{vmatrix} = \left(mq-np\right)\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}$$

Спойлер

Используя аддитивное свойство, представим определитель в виде суммы 4 определителей:
$$\begin{vmatrix}am+bp & an+bq \\ cm+dp & cn+dq \end{vmatrix} =$$ $$\begin{vmatrix}am & an \\ cm & cn \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}am & bq \\ cm & dq \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}bp & an \\ dp & cn \end{vmatrix}+\begin{vmatrix}bp & bq \\ dp & dq \end{vmatrix}$$
Как видим, столбцы полученных определителей содержат общие множители, которые можно вынести за знак определителя. Получили, что 1 и 4 определители равны нулю, так как имеют равные столбцы:
$$mn\begin{vmatrix}a & a \\ c & c \end{vmatrix} + mq\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix} +np\begin{vmatrix}b & a \\ d & c \end{vmatrix} +pq\begin{vmatrix}b & b \\ d & d \end{vmatrix} =$$
$$= 0 + mq\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix} +np\begin{vmatrix}b & a \\ d & c \end{vmatrix}+0$$
Во втором определителе поменяем столбцы местами, знак перед этим определителем изменится на противоположный. Далее вынесем общий множитель и получим:
$$mq\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix} +np\begin{vmatrix}b & a \\ d & c \end{vmatrix} = mq\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix} — np\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix}=$$
$$=\left(mq-np\right)\begin{vmatrix}a & b \\ c & d \end{vmatrix}$$
Тождество доказано.$\blacksquare$

[свернуть]

Вычисление определителя приведением матрицы к треугольному виду.

Пример 2

Вычислить определитель:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrr}-3 & 9 & 3& 6\\ -5 & 8 & 2 & 7\\ 4 & -5 & -3 & -2\\ 7 & -8 & -4 & -5 \end{array}\right|$

Спойлер

Дальнейшие преобразования будут проще, если элемент $a_{11}$ равен 1 или -1. Для этого из первой строки вынесем 3 за знак определителя:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrr}-3 & 9 & 3& 6\\ -5 & 8 & 2 & 7\\ 4 & -5 & -3 & -2\\ 7 & -8 & -4 & -5 \end{array}\right|=3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1& 2\\ -5 & 8 & 2 & 7\\ 4 & -5 & -3 & -2\\ 7 & -8 & -4 & -5 \end{array}\right|$

Далее нам нужно получить нули в первом столбце. Домножим первую строку на -5 и прибавим ко второй, на 4 и прибавим к третей, на 7 и прибавим к четвертой:

$\Delta =3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -7 & -3 & -3\\ 0 & 7 & 1 & 6\\ 0 & 13 & 3 & 9 \end{array}\right|$

Аналогично, дальнейшие вычисления будут проще, если элемент $a_{22}$ равен 1 или -1. Для этого вторую строку умножим на 2 и прибавим к четвертой строке. Далее поменяем вторую и последнюю строку местами. Перед определителем появится знак «-«.

$\Delta =3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -7 & -3 & -3\\ 0 & 7 & 1 & 6\\ 0 & -1 & -3 & 3 \end{array}\right|=-3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -3 & 3\\ 0 & 7 & 1 & 6\\ 0 & -7 & -3 & -3 \end{array}\right|$

Далее нам нужно получить нули во втором столбце под элементом $a_{22}$. Для этого умножим вторую строку на 7 и прибавим к третей, на -7 и прибавим к четвертой.

$\Delta =-3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -3 & 3\\ 0 & 0 & -20 & 27\\ 0 & 0 & 18 & -24 \end{array}\right|$

Прибавим последнюю строку к третьей, потом умножим третью строку на 9 и прибавим к четвертой:

$\Delta =-3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -3 & 3\\ 0 & 0 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 18 & -24 \end{array}\right|=-3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}-1 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -1 & -3 & 3\\ 0 & 0 & -2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right|$

Привели определитель к треугольному виду. Его значение равно произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

$\Delta=-3\cdot\left(\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-2\right)\cdot\left(3\right)\right)=18$

[свернуть]

Разложение по строке или столбцу

Пример 3

Разлагая по 2-му столбцу, вычислить определитель:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrr}5 & \:\:a & \:\:2 & -1 \\ 4 & b & 4 & -3\\ 3 & c & 3 & -2\\ 4 & d & 5 & -4 \end{array}\right|$

Спойлер

Разложим по второму столбцу:

$\Delta =a\cdot(-1)^{3}\cdot\left|\begin{array}{rrr}4 & \:\:4 & -3 \\ 2 & 3 & -2 \\ 4 & 5 & -4 \end{array}\right|+b\cdot(-1)^{4}\cdot\left|\begin{array}{rrr}5 & \:\:2 & -1 \\ 2 & 3 & -2 \\ 4 & 5 & -4 \end{array}\right|+$

$+\,c\cdot(-1)^{5}\cdot\left|\begin{array}{rrr}5 & \:\:2 & -1 \\ 4 & 4 & -3 \\ 4 & 5 & -4 \end{array}\right|+d\cdot(-1)^{6}\cdot\left|\begin{array}{rrr}5 & \:\:2 & -1 \\ 4 & 4 & -3 \\ 2 & 3 & -2 \end{array}\right|$

Вычислим получившиеся определители по правилу треугольника:

$\Delta =-a\cdot \left(-48-30-32+36+32+40\right)+$

$+b\cdot\left(-60-16-10+12+16+50\right)-$

$-c\cdot \left(-80-24-20+16+32+75\right)+$

$+d\cdot \left(40-12-12+8+45+16\right)=$

$=2a-8b+c+5d$

[свернуть]

Применение общей теоремы Лапласа

Пример 4

Вычислить определитель:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrrr}2 & -1 & 3 & 4 & -5 \\ 4 & -2 & 7 & 8 & -7\\ -6 & 4 & -9 & -2 & 3\\ 3 & -2 & 4 & 1 & -2\\ -2 & 6 & 5 & 4 & -3 \end{array}\right|$

Спойлер

Чтобы облегчить дальнейшие преобразования, из второй строки вычтем удвоенную первую, к третьей строке прибавим удвоенную четвертую:

$\Delta =\left|\begin{array}{rrrrr}2 & -1 & 3 & \: \:\:\: 4 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1\\ 3 & -2 & 4 & 1 & -2\\ -2 & 6 & 5 & 4 & -3 \end{array}\right|$

Выберем в определителе вторую и третью строку и получим:

$\Delta = (-1)^{2+3+3+5}\cdot\left|\begin{array}{rr} 1 & 3 \\ -1 & -1\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{rrr}2 & -1 & \:\:\: 4 \\ 3 & -2 & 1\\ -2 & 6 & 4 \end{array}\right|=$

$\left(-1+3\right)\cdot\left|\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 4 \\ -2 & 3 & 1\\ 6 & -2 & \:\:\: 4 \end{array}\right|$

Умножим первый столбец на 2 и прибавим ко второму, на 4 и прибавим к третьему. Разложим по первой строке и получим:

$\Delta =2\cdot\left|\begin{array}{rrrr} -1 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & -7 \\ 6 & 10 & 28 \end{array}\right|=2\cdot(-1)\cdot\left|\begin{array}{rr} -1 & -7 \\ 10 & 28 \end{array}\right|=$

$=-2\cdot\left(-28+70\right)=-84$

[свернуть]

Литература:

  1. Белозёров Г.С. Конспект лекций.
  2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М., Физико-математическая литература, 1978 г., стр. 25, 28, 58

Тест


Таблица лучших: Определители n-го порядка и их свойства. Вычисление определителей.

максимум из 17 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных