Циклические группы и их подгруппы

Определение

Пусть $(G,\cdot )$ — группа. Если в группе $G$ $\exists g_{0}\in G$, такое, что $\forall g\in G\;\exists n\in \mathbb{Z}\;g=g_{0}^{n}$, то группа называется циклической. $G=<g_{0}>$, где $g_{0}$ — образующий элемент группы.

Примеры:

Группа корней n-ой степени из единицы $U_{n}$ является циклической, а произвольный первообразный корень является порождающим элементом.
Группа целых чисел по сложению $(\mathbb{Z},+)$ циклическая. Её образующими элементами являются числа $\pm 1$.

Лемма

Каждая подгруппа циклической группы сама циклическая.

Доказательство

Пусть $G=<g_{0}>,\;H\subset G,\;G\neq \left \{1 \right \},\;g_{0}^{n}\in H,\;n\in\mathbb{N}$, n — наименьшее. Любой элемент $g\in H$ можно выразить как $g=g_{0}^{m}$. Представим число $m$ в виде $m=nq+r$, где $0\leq r<n$.
Поэтому $g_{0}^{m}=g_{0}^{nq+r}=q_{0}^{nq}\cdot g_{0}^{r}=(g_{0}^{n})^{q}\cdot q_{0}^{r}\Rightarrow g_{0}^{r}=$$=((g_{0}^{n})^{q})^{-1}\cdot g_{0}^{m}\Rightarrow r=0\Rightarrow m\;\vdots\; n$. Следовательно, $g_{0}^{m}=(g_{0}^{n})^{r}\Rightarrow H=<g_{0}^{n}>$, т.е. подгруппа $H$ — циклическая с образующим элементом $g_{0}^{n}$.

Литература

Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре
Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994 стр.23-27
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 c.401-403

Циклические группы и их подгруппы

Тест на тему «Циклические группы и их подгруппы».

Таблица лучших: Циклические группы и их подгруппы

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Любое комплексное число [latex] z=(a,b)[/latex] можно изобразить как точку на комплексной плоскости с координатами [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex], где ось абсцисс называется вещественной, а ось ординат — мнимой.
Точка на плоскости

Определение 1:

Модулем комплексного числа называется корень суммы квадратов его действительной и мнимой частей. [latex]z=a+ib[/latex], [latex]|z|=\sqrt{a^2+b^2}=[/latex] [latex]\sqrt{(Re\;z)^{2}+(Im\;z)^{2}}[/latex],
[latex]|z|\ge 0,\; |z|= [/latex] [latex]0 \Leftrightarrow z=0.[/latex]

Определение 2:

Величина угла, который образует вектор изображающий данное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется аргументом этого комплексного числа [latex](\arg z), z\ne 0.[/latex]
Угол, отсчитываемый от оси против часовой стрелки — отрицательный, по — положительный.
Углы, отличающиеся на [latex]2\pi k,k \in Z[/latex], соответствуют одному и тому же числу и записываются как:
[latex]\mathrm{Arg}\;z=[/latex] [latex]\arg z +2\pi k,k \in Z[/latex] , [latex]0\le \arg z < 2\pi[/latex].

Определение 3:

У комплексного числа существует тригонометрическая форма записи [latex]z=r(\cos \varphi + i\sin\varphi),[/latex] [latex] r=|z|.[/latex]

Примеры:

Найти геометрическое место точек (ГМТ):

[latex]|z|\le 1[/latex]

[latex]|z+1|>1[/latex]

[latex]|z+1|=|x+iy+1|=[/latex] [latex]|(x+1)+iy|=[/latex] [latex]\sqrt{(x+1)^{2}+y{2}}=[/latex] [latex]\sqrt{(x+1)^{2}+(y+0)^{2}}>1[/latex]

Формула Муавра:

[latex]z^n=[/latex] [latex]r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi)).[/latex]

Лемма 1:

Для любых двух комлексных чисел [latex]z_1,z_2\;\in C[/latex] справедливо неравенство [latex]\left||z_1|-|z_2|\right|\le |z_1\pm z_2|[/latex] [latex]\le |z_1|+|z_2|[/latex]

Доказательство:

Пусть [latex]z_1\ne 0, z_2\ne 0[/latex],[latex]z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1),[/latex] [latex]z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2).[/latex]
[latex]|z_1+z_2|=[/latex] [latex]|r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)+r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)|=[/latex] [latex]|(r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2)|=[/latex] [latex]\sqrt{r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)^{2}+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2)^{2}}=[/latex] [latex]\sqrt{r_{1}^{2}(\cos^{2}\varphi_1+\sin^{2}\varphi_1)+r_2^{2}(\cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2)+2r_{1}r_{2}(\cos\varphi_1\cos\varphi_2+\sin\varphi_1\sin\varphi_2)}=[/latex](*)
[latex]\cos^{2}\varphi_1+\sin^{2}\varphi_1 = 1[/latex]
[latex]cos^{2}\varphi_2+\sin^{2}\varphi_2 = 1[/latex]
(*)=[latex]\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_1r_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}\le[/latex] [latex] \sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2r_1r_2}=[/latex] [latex]\sqrt{(r_1+r_2)^2}=[/latex] [latex]r_1+r_2=|z_1|+|z_2|.[/latex]

Литература:

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984 — c.31-35.
Конспект лекций Г.С.Белоозерова.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Тест на тему «Геометрическая интерпретация комплексных чисел»:

Задание 1 из 4

1.

Количество баллов: 1

Соеденить:

Элементы сортировки

$$z^n=r^n(\cos(n\varphi)+i\sin(n\varphi))$$
$$\sqrt{a^2+b^2}$$
$$r(\cos \varphi + i\sin\varphi)$$

Формула Муавра:

Модуль комплексного числа:

Тригонометрическая форма комплексного числа:

Задание 2 из 4

2.
Количество баллов: 3
Расставить в правильном порядке доказательство леммы 1:
- $| z_{1} + z_{2} | = | r_{1} (\cos φ_{1} + i \sin φ_{1}) + r_{2} (\cos φ_{2} + i \sin φ_{2}) | =$
- $| (r_{1} \cos φ_{1} + r_{2} \cos φ_{2}) + i (r_{1} \sin φ_{1} + r_{2} \sin φ_{2}) | =$
- $\sqrt{r_{1} \cos φ_{1} + r_{2} \cos φ_{2})^{2} + i (r_{1} \sin φ_{1} + r_{2} \sin φ_{2})^{2}} =$
- $\sqrt{r_{1}^{2} (\cos^{2} φ_{1} + \sin^{2} φ_{1}) + r_{2}^{2} (\cos^{2} φ_{2} + \sin^{2} φ_{2}) +}$
- $\sqrt{2 r_{1} r_{2} (\cos φ_{1} \cos φ_{2} + \sin φ_{1} \sin φ_{2})} =$
- $\sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2} \cos (φ_{1} - φ_{2})}$
- $\leq \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + 2 r_{1} r_{2}} =$
- $\sqrt{(r_{1} + r_{2})^{2}} = r_{1} + r_{2} = | z_{1} | + | z_{2} | .$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Количество баллов: 3
Вставить пропущенные слова (учитывая род, число, падеж):
- "Величина угла, изображающий данное число на комплексной плоскости с вещественной осью называется (аргументом) этого комплексного числа."
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
Количество баллов: 3
[latex]\mathrm{Arg}\;z=[/latex]
- $$\arg z +2\pi k,k \in Z$$
- $$\arg z +3\pi k,k \in Z$$
- $$\arg z +\pi k,k \in R$$
Правильно

Неправильно

Отношение порядка

Пусть дано множество [latex]A\ne\oslash[/latex]. Бинарное отношение [latex]R[/latex] на множестве [latex]A[/latex] называется отношением частичного порядка тогда и только тогда, когда:

[latex]R[/latex]-рефлексивно, т.е. [latex]\forall a \in A: aRa[/latex].
[latex]R[/latex]-антисимметрично [latex]\forall a,b \in A: aRb \cap bRa \Rightarrow a=b[/latex].
[latex]R[/latex]-транзитивно [latex]\forall a,b,c \in A: aRb \cap bRc \Rightarrow aRc [/latex].

Бинарное отношение [latex]R[/latex] на множестве [latex]A[/latex] называется строгим отношением частичного порядка тогда и только тогда, когда:

[latex]R[/latex]-рефлексивно, т.е. [latex]\forall a \in A: aRa[/latex]-не выполняется.
[latex]R[/latex]-антисимметрично [latex]\forall a,b \in A: aRb \cap bRa \Rightarrow a=b[/latex].
[latex]R[/latex]-транзитивно [latex]\forall a,b,c \in A: aRb \cap bRc \Rightarrow aRc [/latex].

Бинарное отношение [latex]R[/latex] на множестве [latex]A[/latex] называется отношением линейного порядка тогда и только тогда, когда:

[latex]R[/latex] является отношением частичного порядка.
[latex]\forall a,b \in A: aRb \oplus bRa[/latex].

Бинарное отношение [latex]R[/latex] на множестве [latex]A[/latex] называется отношением полного порядка тогда и только тогда, когда:

[latex]R[/latex] является отношением линейного порядка.
[latex]\forall\, B \in A \;\exists a \in B\; \forall b \in B: aRb[/latex].

Пример:

Доказать, что «[latex]\le[/latex]» является отношением частичного порядка:
«[latex]\le[/latex]» [latex]\subseteq R^2[/latex]:

Рефлексивно,т.к. [latex]a\le a\; \forall a \in R[/latex].
Антисимметрично,т.к.[latex] a\le b \cap b\le a \Rightarrow a=b[/latex].
Транзитивно,т.к.[latex] a\le b \cap b \le c \Rightarrow a\le c[/latex].

Из вышеизложенного следует, что «[latex]\le[/latex]» на [latex]R[/latex]- отношение частичного порядка.
Литература:

Конспект лекций С.В. Федоровского
Отношение частичного порядка
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 44-45 c.

Отношение порядка

Тест на тему «Отношение порядка»:

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 1
Условия необходимые для существования отношения частичного порядка [latex]R[/latex] на множестве [latex]A[/latex]:
- $R$ - рефлексивно, антисимметрично и транзитивно
- $R$- рефлексивно, симметрично и транзитивно.
- $R$ - иррефлексивно, асимметрично и транзитивно.
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Количество баллов: 2
Условия необходимые для существования отношения линейного порядка $R$ на множестве $A$ :
- $R$ является отношением частичного порядка. $\forall a, b \in A : a R b \oplus b R a$
- $R$ является отношением полного порядка. $\forall a, b \in A : a R b \oplus b R a$
- $R$ является отношением частичного порядка. $\exists a, b \in A : a R b \cup b R a$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 2
Условия необходимые для существования отношения полного порядка $R$ на множестве [latex]A[/latex]:
- $R$ является строгим отношением частичного порядка. $\exists B \in A \exists a \in B \forall b \in B : b R a$
- $R$ является отношением линейного порядка. $\forall B \in A \exists a \in B \forall b \in B : a R b$
- $R$ является отношением линейного порядка. $\forall B \in A \forall a \in B \exists b \in B : b R a$
Правильно

Неправильно

Понятие абстрактного линейного пространства

Материал лекций по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Задача №1

Рассмотрим задачу, в которой множество над числовым полем является абстрактным линейным пространством.

Условие задачи

Дано множество симметричных матриц [latex]S=\{A \in M_{2}\left(\mathbb R \right) \mid [/latex]$\ $[latex]A^{t}=A \}[/latex]. Проверить, является ли данное множество абстрактным линейным пространством над полем [latex]\mathbb R[/latex]?

Спойлер

Чтобы решить данную задачу нужно проверить выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]S[/latex].

По теореме об аддитивной группе матриц [latex]\left(S,+ \right)[/latex] — абелева группа. Таким образом, первая группа аксиом выполняется.
Проверим выполнение свойств для данного отображения [latex]\bullet:\mathbb R \times S \rightarrow S[/latex]
- [latex]E \cdot A=A,[/latex]$\ $[latex] \forall A \in S[/latex]
  [latex]\begin{Vmatrix} 1& 0\\ 0& 1\end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]$\ $[latex]\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]
- [latex]\alpha \left(\beta A \right)=[/latex]$\ $[latex]\left(\alpha \beta \right)A,[/latex]$\ $[latex] \forall A \in S, [/latex]$\ $[latex]\forall \alpha,\beta \in \mathbb R[/latex]
  [latex]\alpha\left(\beta \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} \right)=[/latex]$\ $[latex]\alpha \cdot \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\ \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]$\ $[latex]\begin{Vmatrix} \alpha \beta a_{1}& \alpha \beta a_{2}\\ \alpha \beta a_{2}& \alpha \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]$\ $[latex]\left(\alpha \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]
Таким образом, вторая группа аксиом выполняется.
Проверим выполнение третьей группы аксиом:
- [latex]\alpha \left(A + B \right)=[/latex]$\ $[latex]\alpha A + \alpha B,[/latex]$\ $[latex] \forall \alpha \in \mathbb R,[/latex]$\ $[latex] \forall A, B \in S[/latex]
  [latex]\alpha \left(\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\ b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}\right)=[/latex]$\ $[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}+b_{1}& a_{2}+b_{2}\\ a_{2}+b_{2}& a_{1}+b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]$\ $[latex]\begin{Vmatrix} \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)& \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)\\ \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)& \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)\end{Vmatrix}=[/latex]$\ $[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\alpha b_{1}& \alpha a_{2}+\alpha b_{2}\\ \alpha a_{2}+\alpha b_{2}& \alpha a_{1}+\alpha b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]$\ $[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\ \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \alpha b_{1}& \alpha b_{2}\\ \alpha b_{2}& \alpha b_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]$\ $[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \alpha \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\ b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}[/latex]
- [latex]\left(\alpha + \beta \right)A=[/latex]$\ $[latex]\alpha A + \beta A, [/latex]$\ $[latex]\forall \alpha,\beta \in \mathbb R,[/latex]$\ $[latex] \forall A \in S[/latex]
  [latex]\left(\alpha + \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]$\ $[latex]\begin{Vmatrix} \left(\alpha + \beta \right) a_{1}& \left(\alpha + \beta \right) a_{2}\\ \left(\alpha + \beta \right) a_{2}& \left(\alpha + \beta \right) a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]$\ $[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\beta a_{1}& \alpha a_{2}+\beta a_{2}\\ \alpha a_{2}+\beta a_{2}& \alpha a_{1}+\beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]$\ $[latex]\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\ \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\ \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=[/latex]$\ $[latex]\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \beta \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\ a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}[/latex]
Таким образом, третья группа аксиом выполняется.

[latex]\Rightarrow[/latex] множество симметричных матриц является абстрактным линейным пространством над полем [latex]\mathbb R.[/latex]

[свернуть]

Теперь рассмотрим задачи, в которых множество над числовым полем не является абстрактным линейным пространством.

Задача №2

Условие задачи

Дано множество [latex]F=\{f\left(x\right) \in \mathbb R\left[x\right]\mid [/latex]$\ $[latex] \deg f\left(x\right)=n\}[/latex]. Проверить, является ли данное множество над полем [latex]\mathbb R[/latex] абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]F[/latex].

Здесь очевидно, что данное множество относительно операции «+» не является группой, так как операция «+» не является БАО на множестве [latex]F[/latex] (не выполняется условие замкнутости, так как сумма многочленов степени n в результате может оказаться многочленом меньшей степени). [latex]\Rightarrow[/latex] множество [latex]F[/latex] над полем [latex]\mathbb R[/latex] не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом можно не проверять.

[свернуть]

Задача №3

Условие задачи

Дано множество [latex]T=\{f\left(x\right)\in \mathbb R\left[x\right]\mid [/latex]$\ $[latex] \deg f\left(x\right)\leqslant n \wedge [/latex]$\ $[latex] a_{i}>0, i=\overline{1,n}\}[/latex], где [latex]a_{i}[/latex] — коэффициенты при переменных. Проверить, является ли данное множество над полем [latex]\mathbb R[/latex] абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве [latex]T[/latex].

В данном случае это множество также не является группой относительно операции «+», так как коэффициенты многочленов являются положительными, а значит, что обратного, а отсюда и нейтрального элементов у данного множества нет. [latex]\Rightarrow[/latex] множество [latex]T[/latex] над полем [latex]\mathbb R[/latex] не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом также можно не проверять.

[свернуть]

Литература:

Лекции Г.С. Белозерова
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 18
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1978, стр. 166-174

Абстрактные линейные пространства

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Абстрактные линейные пространства

максимум из 3 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом