Определение частной производной и её геометрический смысл

Определение. Пусть функция $$ f \left( x \right) = f \left( x_1, \dots, x_n \right) $$ определена в окрестности точки $ x^0 = \left( x_2^0, \dots, x_n^0 \right) $. Рассмотрим функцию одной переменной $$ \varphi \left( x_1 \right) = f \left( x_1, x_2^0, \dots, x_n^0 \right). $$ Функция $ \varphi \left( x_1 \right) $ может иметь производную в точке $ x_1^0 $. По определению такая производная называется частной производной $ \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } \left( x^0 \right) $. Таким образом, $$ \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } \left( x^0 \right) = \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } \left( x_1^0, \dots, x_n^0 \right) = \\ = \lim\limits_{\Delta x_1 \to 0 } \frac{ f \left( x_1, x_2^0, \dots, x_n^0 \right) — f \left( x_1^0, \dots, x_n^0 \right) }{ \Delta x_1 }, $$ где $ \Delta x_1 = x_1 — x_1^0 $.
Аналогично определяются частные производные (первого порядка) $$ \frac{ \partial f }{ \partial x_i } \left( x_1^0, \dots, x_n^0 \right) , i = \overline{2, n}. $$ Употребляются и другие обозначения для частных производных первого порядка: $$ \frac{ \partial f }{ \partial x_i } \left( x^0 \right) = f_{x_i} \left( x^0 \right) = D_i f \left( x^0 \right) = \\ = {f’}_{x_i} \left( x^0 \right) = \frac{ \partial }{ \partial x_i } f \left( x^0 \right) = \frac{ \partial f \left( x^0 \right) }{ \partial x_i }. $$ Функция двух переменных может иметь в точке $ \left( x^0, y^0 \right) $ две частные производные первого порядка $$ \frac{ \partial f }{ \partial x } \left( x^0, y^0 \right), \frac{ \partial f }{ \partial y } \left( x^0, y^0 \right). $$ Для функции трех переменных — три частные производные первого порядка $$ \frac{ \partial f }{ \partial x } \left( x^0, y^0, z^0 \right), \frac{ \partial f }{ \partial y } \left( x^0, y^0, z^0 \right), \frac{ \partial f }{ \partial z } \left( x^0, y^0, z^0 \right). $$ Поскольку при вычслении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, то техника вычисления частных производных такая же, как техника вычисления производных функции одной переменной.
Например, $$ \frac{ \partial }{ \partial x } \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{x^2 + y^2} } \frac{ \partial }{ \partial x } \left( x^2 + y^2 \right) = \frac{ x }{ \sqrt{x^2 + y^2} }. $$

Геометрический смысл

kolomeiets20160630Рассмотрим функцию двух переменных $ z = f \left( x, y \right) $, определенную на множестве $ D \subset \mathbb{R}^2 $ и имеющую конечные частные производные $ \frac{ \partial z }{ \partial x } $ и $ \frac{ \partial z }{ \partial y } $ в точке $ M_0 \left( x_0, y_0 \right) $. Чтобы выяснить геометрический смысл частных производных, выполним следующие построения. В плоскости $ Oxy $ отметим точку $ M_0 $.
Затем нарисуем поверхность $ S $, являющуюся графиком функции $ z = f \left( x, y \right) $. Без ограничения общности будем полагать, что поверхность расположена над плоскостью $ Oxy $. Через точку $ M_0 $ проведем плоскость $ y = y_0 $ параллельную коорднатной плоскости $ Oxy $. В сечении поверхности $ S $ этой плоскостью получаем кривую $ \Gamma $. Уравнение этой кривой описывается функцией одной переменной $ z = f \left( x, y_0 \right) $. Так как в точке $ M_0 $ существует частная производная $ {f’}_x \left( x_0, y_0 \right) $, то она согласно геометрическому смыслу обычной производной функции одной переменной равна угловому коэффициенту касательной, проведенной в точке $ N \left( x_0, y_0, f \left( x_0, y_0 \right) \right) $ к кривой $ \Gamma $: $$ {f’}_x \left( x_0, y_0 \right) = \tan \alpha, $$ где $ \alpha $ — угол между касательной и положительным направлением оси $ Ox $. В этом состоит геометрический смысл частной производной $ {f’}_x \left( x_0, y_0 \right) $.

Список литературы

Тест

Тест для проверки усвоения материала

Геометрический смысл непрерывности

Выясним, в чём заключается геометрический смысл непрерывности функции f(x). Построим график функции y=f(x) и отметим на нём точку a и точку f(a).

defaul.svg

Геометрический смысл непрерывности состоит в том, что если изменение аргумента x незначительное, x+\delta , то и изменение f(x+\delta) будет незначительным в этой точке.
Т.е., малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции в этой точке. Это можно увидеть на графике.

Рекомендации:

 Учебники :

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ»  Том 1, Глава 1, § 5 «Непрерывность функции в точке» стр.84-89;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций» стр.146-167;
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 7 «Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций» стр.138-143.

Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Геометрический смысл дифференциала

Проведем касательную l к графику функции y = f(x) в точке x, также рассмотрим точку пересечения касательной l с прямой x + \Delta x. Отрезок AM_{1} = \Delta x, а отрезок AM_{2} = \Delta y.

GeomSenseOfDiff

Из прямоугольного треугольника \triangle M_{1}AB получаем, что tg \alpha = \frac{AB}{\Delta x}, поэтому AB = tg \alpha \Delta x. Но нам известно, что {f}'(x) = tg \alpha \Rightarrow AB = {f}'(x)\Delta x. Сравнив результат с формулой A\Delta x = dy получаем, что dy = AB, то есть дифференциал функции y равен приращению ординаты касательной l к графику функции f(x) в этой точке, когда приращение аргумента равно \Delta x.

Тест:

Тест на знание и понимание геометрического смысла дифференциала.


Таблица лучших: Геометрический смысл дифференциала.

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Список литературы:

  1. Калинина Е. А. «Математика, которая мне нравится». 
  2. Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.

Геометрический смысл теоремы Ферма

Формулировка

Касательная к графику функции в точке локального экстремума (x_{0},f(x_{0})) параллельна оси абсцисс.

Ferma

Замечание

Теорема неверна, если функцию f(x) рассматривать на замкнутом отрезке [a,b].

Пример

Функция f(x)=x на отрезке [0; 1] в точке x=0 принимает наименьшее, а в точке x=1 наибольшее значение, однако, как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице.

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.165
  • sernam.ru

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Сама теорема здесь.

Формулировка

\frac{f(b)-f(a)}{b-a} — угловой коэффициент секущей, которая проходит через точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)) графика функции y=f(x), а f'(\xi ) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (\xi ,f(\xi )). Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение \xi \in (a,b) такое, что касательная к графику функции y=f(x) в точке (\xi ,f(\xi )) параллельна секущей, соединяющей точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)).

  1. Следствие

    Если а дифференцируема на (a,b) и f'(x)=0 \forall x\in (a,b) то f(x)=c=const на (a,b)

    Его доказательство:

    Возьмем \forall x\in (a,b) и зафиксируем [x,x_{0}]\subset (a,b) ([x_{0},x]\subset (a,b)) Применим формулу конечных приращений Лагранжа на отрезке [x,x_{0}]
    f(x)-f(x_{0})=f'(\xi )(x-x_{0})\Rightarrow f(x)=f(x_{0}), \forall x\in (a,b).

  2. Следствие

    Если функция дифференцируема на (a,b) и f'(x)=k=const. \forall x\in (a,b)\Rightarrow f(x)=(kx+b) — линейная функция

    Его доказательство:

    Применяя теорему Лагранжа к функции f а на отрезке [a,x]\subset [a,b]: f(x)-f(a)=f'(\xi )(x-a). f(x)-f(a)=k(x-a). f(x)=kx+b. b=f(a)-ka

lag

  1. Следствие

    Пусть \varphi (x)

    1. Непрерывна на [a,b];
    2. Дифференцируема на (a,b) (кроме быть может некоторой точки x_{0}\in (a,b))
    3. \exists \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(x)

    Тогда \exists \varphi '(x_{0}), причем эта производная равна \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(x)

    Его доказательство:

    Пусть \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(x)=A, a<x<b, x\neq x_{0}. По Теореме Лагранжа\varphi (x)-\varphi (x_{0})=\varphi '(\xi )(x-x_{0}), где \xi \in (x_{0},x)\cup \xi \in (x,x_{0})\Rightarrow \varphi '(\xi )=\frac{\varphi (x)-\varphi (x_{0})}{x-x_{0}}. (Будем считать, что функция однозначна) \xi =\xi (x): x_{0}<\xi (x)<x\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\xi (x)=x_{0}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\varphi '(\xi)=A=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\varphi (x)-\varphi (x_{0})}{x-x_{0}}=\varphi '(x_{0})

Пример

Найти функцию \Theta =\Theta (x_{0},\Delta x) такую, что f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=\Delta xf(x_{0}+\Theta \Delta x), если f(x)=ax^{2}+bx+c, a\neq 0

Спойлер

a(x_{0}+\Delta x)^{2}+b(x_{0}+\Delta x)+c-(ax^{2}+bx+c)=\Delta x(2a(x_{0}+\Theta \Delta x)+b)
, откуда \Theta =\frac{1}{2}

[свернуть]

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Этот тест разработан для лучшего усвоения знаний

Литература