4.7 Теоремы Вейерштрасса

Ранее мы показывали, что непрерывная в точке функция локально ограничена в некоторой окрестности этой точки. Однако из локальной ограниченности в каждой точке некоторого множества не следует ограниченность функции на всем множестве. Например, функция $f\left(x\right)=\frac{1}{x}\left(0<x<1\right)$ непрерывна в каждой точке $x_0 \in \left(0,1\right)$ и, следовательно, локально ограничена в каждой точке (т. е. для каждой точки $x_0 \in \left(0,1\right)$ существует такая окрестность $\left(x_0 − \delta, x_0 + \delta \right)$, в которой функция $f$ ограничена). Вместе с тем функция $f$ неограниченна на всем множестве $\left(0,1\right)$.

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция $f$ непрерывна на отрезке $\left[a,b\right]$, то она ограничена на этом отрезке.

Предположим, что $f$ неограниченна на $\left[a,b\right]$. Это означает, что для любого $M$ найдется такое $x \in \left[a,b\right]$, что $\mid f\left(x\right)\mid > M$. Полагая $M = 1, 2, . . .$ , построим последовательность точек $x_n \in \left[a,b\right]$, таких, что $\mid f \left(x_n\right)\mid > n$. Так как последовательность $\left\{x_n\right\}$ ограничена, то, в силу леммы Больцано – Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\left\{x_{n_{k}}\right\}$. Пусть $\left\{x_{n_{k}}\right\} \to c \left(k \to \infty \right)$. Тогда $c \in \left[a,b\right]$ (здесь существенно используется тот факт, что $\left[a,b\right]$ – отрезок). В силу непрерывности функции $f$ в точке $c$, имеем $f \left(x_{n_{k}}\right) \to f\left(c\right)$, т. е. $\left\{f \left(x_{n_{k}} \right)\right\}$ сходящаяся и, следовательно, ограниченная последовательность. С другой стороны, так как $\mid f \left(x_{n_{k}}\right) \mid > n_k$ , то последовательность $\left\{f \left(x_{n_{k}} \right)\right\}$ неограниченна. Полученное противоречие доказывает теорему.

Приведем еще одно доказательство первой теоремы Вейерштрасса, основанное на применении метода деления отрезка пополам.

Предположим, что $f$ неограниченна на $\left[a,b\right]$. Разделим $\left[a,b\right]$ пополам. Тогда хотя бы на одном из двух полученных отрезков функция $f$ неограниченна. Обозначим такой отрезок через $I_1$ (если $f$ неограниченна на обоих отрезках, то выберем любой из них). Разделим $I_1$ пополам и обозначим через $I_2$ тот из полученных отрезков, на котором функция $f$ неограниченна. Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных друг в друга отрезков $I_n$, длины которых $\mid I_n \mid =\frac{b-a}{2^{n}} \to 0 \left(n \to \infty \right)$. По лемме Кантора о вложенных отрезках, существует единственная точка $c \in \left[a,b\right]$, принадлежащая всем отрезкам $I_n$. Так как $f$ непрерывна в точке $c$, то $f$ локально ограничена в точке $c$, т. е. найдется такое $\delta > 0$, что $f$ ограничена на множестве $\left(c − \delta, c + \delta \right)\bigcap \left[a,b\right]$. Выберем номер $n$ настолько большим, что $\frac{b-a}{2^{n}} < \delta $. Тогда $I_n \subset \left(c − \delta, c + \delta \right)$. . Но из ограниченности $f$ на множестве $\left(c − \delta, c + \delta \right)\bigcap \left[a,b\right]$ следует, что $f$ ограничена также и на подмножестве $I_n$ этого множества, что противоречит выбору отрезков $I_n$.

Следствие из теоремы Больцано – Коши (свойство промежуточных значений) утверждает, что областью значений непрерывной на отрезке функции является промежуток. Но это может быть либо интервал, либо полуинтервал, либо отрезок. Мы уточним это следствие. Именно, покажем, что областью значений непрерывной на отрезке функции является отрезок.

Определение. Говорят, что функция $f$ ограничена сверху (снизу) на множестве $E$, если ограничено сверху (снизу) множество ее значений

$$f\left(E \right) \equiv \left\{f\left(x \right) : x \in E\right\}.$$

Верхней (нижней) гранью функции $f$ на множестве $E$ называют верхнюю (нижнюю) грань множества $f\left(E\right)$ и обозначают $\underset{x \in E}{\sup} f\left(x\right) \left(\underset{x \in E}{\inf} f\left(x\right)\right)$.

Если $A = \underset{x \in E}{\sup} f\left(x\right)$, то это означает, что

  1. для любого $x \in E$ справедливо неравенство $f\left(x\right) \leq A$;
  2. для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое ${x}’ \in E$, что $f \left({x}’\right) > A − \varepsilon $.

Ясно, что эти два свойства равносильны определению верхней грани функции $f$.

Ранее отмечалось, что не каждое ограниченное сверху множество имеет наибольший элемент. Пусть ограниченное множество $f\left(E\right)$ является множеством значений некоторой функции $f$, заданной на множестве $E$. Если во множестве $f\left(E\right)$ существует наибольший элемент, т. е. если существует такое $x_0 \in E$, что $f \left(x_0\right) = \underset{x \in E}{\sup} f\left(x\right)$, то говорят, что функция $f$ достигает своей верхней грани. В противном случае говорят, что верхняя грань функции $f$ не достигается.

Аналогичные понятия формулируются и для нижней грани.

Зададимся вопросом: каждая ли ограниченная сверху функция достигает своей верхней грани? Ответ, очевидно, отрицательный.

Например, для функции $f\left(x\right) = x$, заданной на $\left(0, 1\right)$, $\underset{x \in \left(0,1\right)}{\sup} f\left(x\right) = 1$, но для любого $x \in \left(0, 1\right)$ справедливо неравенство $f\left(x\right) < 1$, т. е. верхняя грань не достигается. Другим примером может служить функция дробной части $f\left(x\right) = \left\{x\right\}$ на отрезке $\left[0, 1\right]$.

В первом примере функция непрерывна, но задана на интервале. Во втором примере функция задана на отрезке, но не является непрерывной на этом отрезке. Если же функция непрерывна на отрезке, то она достигает своей верхней грани. В этом и состоит

Вторая теорема Вейерштрасса. Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $\left[a,b\right]$. Тогда $f$ достигает своих верхней и нижней граней, т. е. существуют такие $\alpha$ , $\beta \in \left[a,b\right]$ , что

$$f\left(\alpha \right) = \underset{x \in \left[a,b\right]}{\sup} f\left(x\right), f\left(\beta \right) = \underset{x \in \left[a,b\right]}{\inf} f\left(x\right).$$

Согласно первой теореме Вейерштрасса, непрерывная на $\left[a,b\right]$ функция $f$ ограничена. Значит, существует конечное $M = \underset{x \in \left[a,b\right]}{\sup} f(x)$. По определению верхней грани, $f\left(x\right) \leq M$ при каждом $x \in \left[a,b\right]$, и для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое ${x}’ \in \left[a,b\right]$, что $f \left({x}’\right) > M − \varepsilon $. Полагая $\varepsilon = \frac{1}{n} \left(n = 1, 2 . . . \right)$, построим последовательность точек $x_n \in \left[a,b\right]$, такую, что $f \left(x_n \right) > M − \frac{1}{n}$. Так как последовательность $\left\{x_n \right\}$ ограничена, то, по лемме Больцано – Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность $\left\{x_{n_{k}}\right\}$. Обозначим $\alpha = \underset{k \to \infty}{\lim} x_{n_{k}}$. Тогда $\alpha \in \left[a,b\right]$. В силу непрерывности функции $f$ в точке $\alpha$, имеем $f\left(\alpha \right) = \underset{k \to \infty}{\lim} f\left(x_{n_{k}}\right)$. Но, поскольку $$M − \frac{1}{n_k} < f\left(x_{n_{k}}\right) \leq M < M + \frac{1}{n_k},$$ то отсюда следует, что $\underset{k \to \infty}{\lim} f\left(x_{n_{k}}\right) = M$. В силу единственности предела получаем, что $f\left(\alpha \right) = M$.

Аналогично показываем, что в некоторой точке $\beta \in \left[a, b \right]$ функция $f$ достигает своей нижней грани.

Приведем еще одно доказательство второй теоремы Вейерштрасса, основанное на применении первой теоремы Вейерштрасса.

Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $\left[a, b \right]$. Тогда, в силу первой теоремы Вейерштрасса, существует $M = \underset{x \in \left[a, b \right]}{\sup} f\left(x\right)$. Предположим, что функция $f$ не достигает своей верхней грани, т. е. пусть для каждого $x \in \left[a, b \right]$ справедливо неравенство $f\left(x\right) < M$. Тогда функция $\varphi \left(x \right) = \frac{1}{M-f\left(x\right)}$ непрерывна на $\left[a,b\right]$ (по теореме об арифметических свойствах непрерывных функций). Применяя к функции $\varphi$ первую теорему Вейерштрасса, получаем, что $\varphi$ ограничена на $\left[a,b\right]$, т. е. существует такое $M_{1} > 0$, что для всех $x \in \left[a,b\right]$ справедливо неравенство $\varphi \left(x\right) \leq M_1$. Но из этого неравенства вытекает, что $f \left(x\right) \leq M − \frac{1}{M_1}$ $\left(x \in \left[a, b \right] \right)$, а это противоречит тому, что число $M$ является верхней гранью, т. е. наименьшей из всех верхних границ функции $f$.

Свойство промежуточных значений и обе теоремы Вейерштрасса можно объединить в виде одной следующей теоремы.

Теорема. Областью значений непрерывной на отрезке функции является отрезок.

Пример:

Найти верхнюю и нижнюю грани функции на отрезке $f\left(x \right) = 2x^{3} — 12x^{2} + 18x + 4$ на отрезке $\left[\frac{1}{2}, 3 \right]$

Решение:

Сперва вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку: ${f}’ \left(x \right) = {\left(2x^{3} — 12x^{2} + 18x + 4 \right)}’ = 6x^{2} — 24x + 18 = 6\left(x^{2} — 4x + 3 \right)$

Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня: $x_{1}=1, x_{2}=3$ – критические точки.

Первая и вторая критические точки принадлежат данному отрезку: $x_{1}=1, x_{2}=3 \in \left[\frac{1}{2}, 3 \right]$ Вычислим значение функции в нужных точках: $f\left(x_{1}\right) = f\left(1\right) = 2\cdot 1^{3} — 12 \cdot 1^{2} +18\cdot 1+4 = 2-12+18+4=12$ $f\left(x_{2}\right) = f\left(3\right) = 2\cdot 3^{3} — 12 \cdot 3^{2} +18\cdot 3+4 = 2\cdot 27 -12\cdot 9+ 54+4=4$

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка: $ f\left(\frac{1}{2}\right) = 2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} — 12 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} +18\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+4 = 2\cdot \frac{1}{8} — 12 \cdot \frac{1}{4}+18\cdot \frac{1}{2} +4 = 10 \frac{1}{4}$

Среди всех полученных чисел выбираем наибольшее и наименьшее, это и будут наши $\sup$ и $\inf$ соответственно

Ответ: $\underset{x \in \left[a, b \right]}{\sup} f\left(x\right) = f\left(1\right) = 12$, $\underset{x \in \left[a, b \right]}{\inf} f\left(x\right) = f\left(3\right) = 4$

Теоремы Вейерштрасса

Для закрепления материала пройдите следующий тест:

Литература

  1. Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. с. 84-87.
  2. Б. П. Демидович «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» 13-е издание, 1997 М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо — с. 50-51.
  3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — c. 369-371.

Свойства границ, связанные с арифметическими операциями и с неравенствами

Свойства пределов, связанные с алгебраическими операциями

Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы в точке a, причем \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A и \lim_{x\rightarrow a}g(x)=B то:

  1. \lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B
  2. Доказательство
    Так как функции f(x) и g(x) имеют предел в точке a, то при x\rightarrow a величины h_{f}(x)=A-f(x) и h_{g}(x)=B-g(x) будут бесконечно малыми. Отсюда, согласно свойствам бесконечно малых h_{f}+h_{g}=(A+B)-(f(x)+g(x)) также будет бесконечно малой величиной. Что в свою очередь означает, что \lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=A+B

  3. \lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB
  4. Доказательство
    Так как функции f(x) и g(x) имеют предел в точке a, то при x\rightarrow a величины h_{f}(x)=A-f(x) и h_{g}(x)=B-g(x) будут бесконечно малыми. Поэтому g(x)=A-h_{f}(x) и g(x)=B-h_{g}(x). Отсюда
    \\f(x)g(x)=(A-h_{f})(B-h_{g})\\f(x)g(x)=AB-Ah_{g}-Bh_{f}+h_{f}h_{g}\\AB-f(x)g(x)=Ah_{g}+Bh_{f}-h_{f}h_{g}
    Согласно свойствам бесконечно малых, величина в правой части — бесконечно малая. Что в свою очередь означает, что \lim_{x\rightarrow a}(f(x)g(x))=AB

  5. \lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}, причем B\neq 0
  6. Доказательство
    Условие \lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B} эквивалентно тому, что разность \frac{A}{B}-\frac{f(x)}{g(x)}
    бесконечно малая величина при x\rightarrow a. Покажем, что это утверждение имеет место. Приведем к общему знаменателю, получим \frac{Ag(x)-Bf(x)}{Bg(x)}. Рассмотрим предел числителя дроби.
    \\\lim_{x\rightarrow a}(Ag(x)-Bf(x))\\A\lim_{x\rightarrow a}g(x)-B\lim_{x\rightarrow a}f(x)\\AB-BA=0\: \Rightarrow \frac{A}{B}-\frac{f(x)}{g(x)}=0
    Что в свою очередь означает, что \lim_{x\rightarrow a}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{A}{B}

Свойства пределов, связанные с неравенствами

  1. Теорема о двух милиционерах
  2. Если \exists \delta > 0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a) выполняются неравенства g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x) и если \lim_{x\rightarrow a}g(x)= \lim_{x\rightarrow a}h(x)=A то \exists \lim_{x\rightarrow a}f(x)=A.
    Доказательство
    Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть \begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix} — последовательность из \dot{U}_{\delta }(a), причем \lim_{x\rightarrow \infty }x_{n}=a. Тогда выполняются условия g(x_{n})\leqslant f(x_{n})\leqslant h(x_{n}) и \lim_{n\rightarrow \infty}g(x_{n})= \lim_{n\rightarrow \infty}h(x_{n})=A. Тогда в силу свойств пределов последовательностей \lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A. Следовательно \lim _{x\rightarrow a }f(x)=A.
    Теорему можно проиллюстрировать следующим графиком:
    t3pol

  3. Если \exists\delta >0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a) выполняется неравенство f(x)\leqslant g(x) и если\lim_{x\rightarrow  a}f(x)=A, \lim_{x\rightarrow  a}g(x)=B, то A\leqslant B.
  4. Доказательство
    Воспользуемся определением предела по Гейне. Пусть \begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix} — последовательность из \dot{U}_{\delta }(a), тогда числа A и B будут пределами последовательности \begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}_{1}^{\infty } т.е. \lim_{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=A и \lim_{n\rightarrow \infty }g(x_{n})=B Тогда в силу свойств пределов последовательностей A\leqslant B.

Литература

  1. Тер-Киркоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр. 81-84

Следующая тема →

Пределы монотонных функций

Перед тем как рассматривать теорему, давайте вспомним, что такое монотонная функция и нарисуем  её график.

Функция f(x) называется монотонно возрастающей на отрезке [a;b], если \forall x_{1}, x_{2}\in[a;b],x_{1}> x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geq f(x_{2})

Функция f(x) называется монотонно убывающей на отрезке [a;b], если \forall x_{1}, x_{2}\in [a;b] ,x_{1}>  x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\leq f(x_{2})

Функция f(x) называется строго монотонно убывающей на отрезке [a;b], если \forall x_{1}, x_{2}\in [a;b],x_{1}>x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})

Функция f(x) называется строго монотонно возрастающей на отрезке [a;b], если \forall x_{1},x_{2}\in[a;b], x_{1}>x_{2}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})

Пример графика монотонно возрастающей функции.

grafik1

 

На графике видно, что \forall x_{1}, x_{2} : x_{1}>x_{2}, соответствующие значения функции f(x_{1})\geq f(x_{2})

Пример графика монотонно убывающей функции.

grafik2

На графике видно, что \forall x_{1},x_{2} : x_{1}>x_{2}, соответствующие значения функции f(x_{1})\leq f(x_{2})

Теорема о существовании односторонних пределов у монотонных функций

Формулировка:

Если функция f(x) определена и монотонна на отрезке [a;b], то в каждой точке x_{0}\in (a;b) эта функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках a и b правосторонний и левосторонний пределы.

Доказательство:

Пусть, например, функция f(x) монотонно возрастает на [a;b]. Выберем произвольную внутреннюю точку x_{0}\in (a;b]. Тогда \forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow f(x)\leq f(x_{0})\Rightarrow f(x) ограничена сверху на [a;x_{0})\Rightarrow\exists\sup f(x)=M\leqslant f(x_{0}).
Согласно определению:
а) \forall x\in [a;x_{0})\Rightarrow f(x) \leqslant M
б) \forall \varepsilon > 0\exists x_{\varepsilon }:M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon }), обозначим \delta =x_{0}-x_{\varepsilon }>0.
Если x\in (x_{\varepsilon };x_{0})=(x_{0-\delta };x_{0}), то f(x_{\varepsilon })\leq f(x).
Итог: \forall \varepsilon >0\exists \delta>0:\forall x\in (x_{0}-\delta;x_{0}):M-\varepsilon < f(x_{\varepsilon }) < f(x)\leq M<   M+\varepsilon \Leftrightarrow |f(x)-M|< \varepsilon
\lim_{x\rightarrow x_{0-0} } f(x) = M
Итак f(x_{0}-0)= \sup f(x), a\leqslant x<x_{0} .
Аналогично доказываем, что функция имеет в точке x_{0}\in [a;b) предел справа причем f(x_{0}+0)=\inf f(x), x_{0}<x\leqslant b.
Следствие. Если функция f определена и монотонна на интервале (a;b), \forall\ x_{0}\in (a;b)\exists \ предел справа и слева, причем если f возрастает, то
f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)  \leq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=f(x_{0}+0),
если убывает, то
f(x_{0}-0)=\lim\limits_{x\to x_{0}-0} f(x)  \geq\lim\limits_{x\to x_{0}+0} f(x)=f(x_{0}+0).

Литература

Тест

Тест по теме Пределы монотонных функций.

Желаем удачи!

Таблица лучших: Предел монотонной функции

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Единственность предела функции, локальная ограниченность функции, имеющей предел

1. Единственность предела функции

Как мы говорили с Вами в прошлой статье, единственность предела следует из определения предела функции по Гейне. Однако давайте сформулируем и докажем теорему о единственности предела.

Теорема о единственности предела

Формулировка:

Если функция f(x) в точке a имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство:

Докажем методом от противного. Предположим, что \lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = b, \lim\limits_{x\rightarrow a } f(x) = c, b \neq c. Возьмём \varepsilon = \frac{|b-c|}{2}, по определению и свойству окрестности найдётся такая проколотая  
\delta-окрестность точки a (\dot{U}_{\delta }(a)), в которой одновременно будут выполнятся неравенства |f(x)-b|<\frac{|b-c|}{2}, |f(x)-c|<\frac{|b-c|}{2} , тогда в точках этой же окрестности |b-c|=|(b-f(x))+(f(x)-c)| \leq |f(x)-b|+|f(x)-c|< \frac{|b-c|}{2}+\frac{|b-c|}{2}=|b-c|. Получили противоречие |b-c| < |b-c|. Отсюда, функция f(x) в точке a имеет единственный предел.

2. Локальная ограниченность функции, имеющей предел

Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей предел

Формулировка:

Если предел функции f(x) при x\rightarrow a равняется A, то найдётся окрестность точки a, во всех точках которой функция f(x) ограничена.

Доказательство:

Из определения предела по Коши получим: \forall \varepsilon >0  \exists \delta=\delta(\varepsilon) >0:\forall x\in \dot{U}_{\delta }(a)\Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon. Возьмём \varepsilon =1. Из условия теоремы следует существование окрестности \dot{U}_{\delta }(a). Следовательно, |f(x)-A|<1. Перепишем это следующим образом:A-1<f(x)<A+1. Легко видеть, что это и означает ограниченность функции f(x).

 Литература

Тест

Тест по теме Единственность предела, локальная ограниченность функции, имеющей предел.

Таблица лучших: Единственность предела

максимум из 17 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Геометрический смысл предела

Выясним, в чём заключается геометрический смысл предела функции в точке. Построим график функции y=f(x) и отметим на нём точки x=a и y=A.

grafik1

Предел функции y=f(x) в точке x\rightarrow a существует и равен A, если для любой \varepsilon-окрестности точки A можно указать такую \delta-окрестность точки a, что для любого x из этой \delta-окрестности значение y=f(x) будет находится в \varepsilon-окрестности точки A.

Отметим, что по определению предела функции в точке для существования предела при x\rightarrow a не важно, какое значение принимает функция в самой точке a. Можно привести примеры, когда функция не определена при x=a или принимает значение, отличное от A. Тем не менее, предел может быть равен A.

Литература: