Теорема 1

Пусть даны функции $f,g$ :$E \mapsto R^{m} $, $E \subset \mathbb{R}^n $. Если $ f, g$ непрерывны в точке $x_{0}$, то в этой точке непрерывны и функций $ f+g$ , $ f\cdot g$. Если $f,g$ — действительные функций и $ g(x)\neq 0$ на $E$, то $\Large \frac{f}{g}$ непрерывна в точке $ x_{0}.$

Доказательство:
Действительно, если $ x_{0}$ — изолированная точка в этой точке непрерывна каждая функция. Если же $ x_{0}$ — предельная точка множества  $ E$, то для доказательства этой теоремы достаточно применять соответствующую теорему о арифметических свойствах пределов функций.

Теорема 2 (формулировка)

Пусть $ f $ : $E \rightarrow \mathbb{R}^m$ и $ g $: $N \rightarrow {R}^k$,  $N \subset \mathbb{R}^m $, причем $f(E) \subset N$. Если  $f$ непрерывна в точке $x_{0}$ $\in E$ , в функция $g$ непрерывна в точке $y_{0}= f(x_{0})$ $\in N$, то композиция $h= (g \circ f)$ непрерывна в точке $x_{0} $.

Пример

Пусть $f(x)=$ $\left | x \right |$.
Тогда из неравенства:
$\left | f(x)-f(x_0) \right |=\left | \left | x \right |- \left | x_{0} \right |\right | \leq \left | x-x_{0} \right |$ сразу следует непрерывность функций $f$.

Непрерывная функция

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 4 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Информация

Тест на тему «непрерывные функции»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 4

   1.

   Количество баллов: 1

   Выражение  $\lim\limits_{x \to 0}f(M)$ $=f(\lim\limits_{x \to 0}M)$ является условием :

   • Непрерывности функций нескольких переменных
   • Cуществования предельного значения функций (критерий Коши)
   • Равномерной непрерывности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 4

   2.

   Количество баллов: 3

   Сопоставить варианты ответов.

   Элементы сортировки

   • точкой устранимого разрыва
   • точкой разрыва с конечным скачком
   • точка разрыва 2–го рода
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 4

   3.

   Количество баллов: 1

   Точками разрыва функции нескольких переменных называется:

   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных$$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ не определена и является непрерывной
   • Точки, в которых функция нескольких переменных $$f: A\subset R^{n}\rightarrow R$$ определена, но не является непрерывной
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 4

   4.

   Количество баллов: 1

   
   
   
   Какая из функций не является непрерывной на множество всех допустимых действительных значений аргумента $x$?

   • Функция $f(x) = k$
   • Функция $f(x) = \sin 2x$
   • Функция $f(x) = \rm sgn(x)$
   Правильно
   

   Неправильно