12.8.1 Квадратичные формы

Определение. Квадратичной формой на $\mathbb{R}^{n}$ называется каждая функция вида
$$Q\left(h\right) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}h^{i}h^{j}, $$
где $a_{ij}$ — действительные числа. Матрица $\left(a_{ij}\right)$ называется матрицей квадратичной формы.

Будем считать, что $a_{ij}=a_{ji},$ т. е. что матрица $\left(a_{ij}\right)$ симметрична. Заметим, что $Q$ — это многочлен второго порядка от $n$ переменных $h_{1},\cdots ,h_{n}.$ Ясно, что для любого действительного числа $t$
$$Q\left(th\right) = t^{2}Q\left(h\right). $$

Это свойство называется свойством однородности второго порядка.

Определение Квадратичная форма $Q$ называется положительно определенной, если для любого $h \neq 0$ справедливо неравенство $Q\left(h\right) \gt 0.$

Аналогично, если для любого $h \neq 0$ имеем $Q\left(h\right)\lt 0,$ то такая квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Если квадратичная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то такая квадратичная форма называется неопределенной.

Если $Q\left(h\right)\geqslant 0$ для всех $h,$ то форма называется положительно полуопределенной, а если $Q\left(h\right)\leqslant 0$ для всех $h,$ то форма называется отрицательно полуопределенной.

Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она положительно определенная или отрицательно определенная.

Пример 1. Если $Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} + 2(x^{2})^{2},$ то для всех $x^{1},x^{2}$ кроме $x^{1}=x^{2}=0$, имеем $Q\left(x^{1},x^{2}\right) \gt 0,$ т.е. эта форма положительно определенная.
Пример 2. Если $Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} — x^{1}x^{2} — (x^{2})^{2}$ имеем $Q(1,0)=1, Q(0,1)= -1, $ так что эта форма неопределенная.
Пример 3. Если $Q\left(x^{1},x^{2}\right) = (x^{1})^{2} — 2x^{1}x^{2} + (x^{2})^{2}$ положительно полуопределенная, поскольку для любых $x^{1},x^{2}$ имеем $Q\left(x^{1},x^{2}\right) \geqslant 0,$ но равенство $Q\left(x^{1},x^{2}\right) = 0$ имеет место не только в точке $x^{1}=x^{2}=0,$ а в каждой точке вида $x^{1}=x^{2}$.
Пример 4. Форма $Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{n})^{2} = |h|^{2},$ очевидно, положительно определенная.
Пример 5. Пусть $Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{m})^{2},$ где $m \lt n$. Эта форма положительно полуопределенная, поскольку $Q(h) \geqslant 0 $, но при $i\gt m$ значений этой формы на стандартном векторе $e_{i}$ равно нулю.
Пример 6. Пусть $Q\left(h\right) = (h^{1})^{2} + \cdots + (h^{m})^{2} — (h^{m+1})^{2} — \cdots — (h^{n})^{2},$ где $m \lt n$. Тогда эта форма неопределенная, поскольку $Q(e_{i})=1$ при $i\leqslant m$ и $Q(e_{i})=-1,$ если $i\gt m.$

Для любой квадратичной формы $Q$ $$|Q(h)| \leqslant \sum_{i,j=1}^{n} |a_{i j}| |h^{i}| |h^{j}| \leqslant | h^{2} | \sum_{i,j=1}^{n} |a_{i j}| \equiv K | h^{2} |.$$

Эта оценка показывает, что при $h \rightarrow 0$ квадратичная форма стремится к нулю. Если квадратичная форма знакоопределенная, то полученный порядок стремления к нулю оказывается точным. Именно, справедлива

Лемма 1. Пусть $Q$ — положительно определенная квадратичная форма на $\mathbb{R}^{n}$. Тогда существует такое положительное число $\lambda ,$ что $$Q(h) \geqslant \lambda |h|^{2} (h \subset \mathbb{R}^{n}). $$
Обозначим через $S$ единичную сферу в $\mathbb{R}^{n},$ т.е. $$ S=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} : |x|=1\right\}.$$Легко видеть, что $S$ — замкнутое и ограниченное множество и, следовательно, компактное. Поэтому, по второй теореме Вейерштрасса, непрерывная функция $Q$ достигает своего наименьшего значения, которое мы обозначим через $\lambda.$ Но на $S$ форма $Q$ принимает положительные значения, так что $\lambda \gt 0.$
Итак, $Q(x)\geqslant \lambda (|x|=1).$ Если теперь $h$ — произвольный вектор из $\mathbb{R}^{n},$ то положим $ x = \frac{h}{|h|}.$ Тогда $|x|=1,$ т.е. $x$ лежит на единичной сфере, а поэтому $Q(x)\geqslant \lambda .$ Если вместо $x$ подставим его значение, то получим $Q(\frac{h}{|h|})\geqslant \lambda .$ Воспользовавшись свойством однородности второго порядка для формы $Q$, имеем $Q(h)\geqslant \lambda|h|^{2}.$

Теперь займемся таким вопросом. Как по матрице коэффициентов квадратичной формы судить о знакоопределенности формы? Рассмотрим подробно случай $n=2.$

Пусть $Q(h,k)=a_{11}h^{2}+2a_{12}hk+a_{22}k^{2}.$ Предположим сначала, что $a_{11}\neq 0.$ Тогда $$Q(h,k)=\frac{1}{a_{11}}(a_{11}^{2} h^{2}+2a_{11}a_{12}hk+a_{11}a_{22}k^{2}) = \frac{1}{a_{11}}\left[(a_{11}h+a_{12}k)^{2}+\triangle k^{2} \right],$$ где
$$\triangle = a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}.$$

  1. Если $\triangle \gt 0,$ то выражение в квадратных скобках положительно для любых $h$ и $k,$ не равных одновременно нулю, т.е. $Q(h,k)\neq 0,$ причём $sign (Q(h,k)) = sign (a_{11}).$ В этом случае форма является знакоопределенной, она сохраняет свой знак.
  2. Рассмотрим случай $\triangle \lt 0.$ Пусть, например, $k\neq 0.$ Тогда вынося за скобки $k^{2}$ и обозначая $t=\frac{h}{k},$ получаем $$ Q(h,k) = k^{2}\left[a_{11}t^{2}+2a_{12}t+a_{22} \right].$$ Если $a_{11}\neq 0,$ то в скобках имеем квадратный трёхчлен относительно $t.$ Его дискриминант $-4\triangle \gt 0.$ Поэтому этот квадратный трёхчлен имеет различные действительные корни, а значит принимает, как и положительные, так и отрицательные значения.

    Если же $a_{11}=0,$ то $a_{12}\neq 0$(так как иначе бы получили, что $\triangle = 0$). Значит, в квадратных скобках линейный двучлен $2a_{12}t+a_{22},$ который также принимает как положительные, так и отрицательные значения.

    Итак, если $\triangle \lt 0,$ то квадратичная форма $Q$ является неопределенной.

  3. Пусть $\triangle = 0.$ Если $a_{11}\neq 0,$ то получим $$Q(h,k) = \frac{1}{a_{11}}(a_{11}h+a_{12}k)^{2}.$$ Если, например, $a_{11} \gt 0,$ то всегда $Q(h,k) \geqslant 0,$ а при $h = -\frac{a_{12}k}{a_{11}}$ имеем $Q(h,k)=0.$ Это означает, что существуют ненулевые векторы, на которых форма обращается в нуль, и получаем, что форма полуопределена.

    Если же $a_{11}=0,$ то в этом случае $\triangle = -a_{12}^{2}.$ Значит $a_{12}=0$ и $Q(h,k) = a_{22}k^{2}.$ Это — тоже полуопределенная форма.

Итак, если $\triangle = 0,$ то форма полуопределенная.

Окончательно приходим к следующему выводу.

Лемма 2. Пусть

$Q(h,k)=a_{11}h^{2}+2a_{12}hk+a_{22}k^{2}.$ и $\triangle = a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} $

Тогда:

1) если $\triangle \gt 0$, то форма $Q$ — знакоопределенная, причём $sign (Q) = sign (a_{11});$

2) если $\triangle \lt 0 ,$ то $Q$ — неопределенная форма.

2) если $\triangle = 0 ,$ то $Q$ — полуопределенная форма.

Определение. Пусть $Q(h)=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}h^{i}h^{j}$ — квадратичная форма на $\mathbb{R}^{n}$ с симметричной матрицей $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}.$$

Миноры этой матрицы, расположенные в её левом верхнем углу, называют главными минорами, т.е. главные миноры — это $$
\triangle_{1} = a_{11}, \triangle_{2} = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}, \cdots , \triangle_{n} =\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \cdots & \cdots & \cdots \ \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.
$$

Критерий Сильвестра. Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все её главные миноры были положительными.

Критерий отрицательной определенности. Для того, чтобы квадратичная форма $Q$ была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия: $-\triangle_{1} \gt 0,\triangle_{2} \gt 0,\cdots ,(-1)^{n}\triangle_{n} \gt 0,$ т.е. главные миноры должны иметь чередующиеся знаки, причём первый должен быть отрицательным.

Эти два критерия здесь мы доказывать не будем.

Примеры решения задач

  1. Найти матрицу квадратичной формы $$Q(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} — 4x_{1}x_{2} + x_{2}^{2} + 2x_{1}x_{3} — x_{3}^{2}$$
    Решение
    1. Запишем квадратичную форму в виде $$Q(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} — 2x_{1}x_{2} — 2x_{2}x_{1} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{3} + x_{3}x_{1} — x_{3}^{2}.$$
    2. Здесь $a_{11}=2,a_{12}=-2,a_{13}=1,a_{21}=-2,a_{22}=1,a_{23}=0,a_{31}=1,a_{32}=0,a_{33}=-1,$ следовательно, матрица этой квадратичной формы есть $$\begin{pmatrix} 2 & -2 &1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}.$$
  2. Установить характер знакоопределенности квадратичной формы $$Q(x_{1},x_{2},x_{3})=4x_{1}^{2}+6x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}+6x_{1}x_{2}$$

    Решение
    1. Найдём матрицу квадратичной формы $$A = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{pmatrix}.$$
    2. Теперь проверим знакоопределенность формы по критерию Сильвестра $$
      \triangle_{1} = 4 \gt 0, \triangle_{2} = \begin{vmatrix}4 & 3 \\3 & 6 \end{vmatrix} = 15 \gt 0, \triangle_{3} =\begin{vmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 3 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 2\\ \end{vmatrix} = 2\cdot15 = 30 \gt 0,$$ значит, квадратичная форма положительно определенная.
  3. Найти все значения $\lambda,$ при которых положительно определена квадратичная форма $$Q(x_{1},x_{2},x_{3}) = 2x_{1}^{2} + \lambda x_{2}^{2} + 5x_{3}^{2} + 4x_{1}x_{2} + 4x_{1}x_{3}. $$

    Решение
    1. Найдём матрицу квадратичной формы $$A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 0 \\ 2 & 0 & 5\\ \end{pmatrix}.$$
    2. Найдём главные миноры: $$
      \triangle_{1} = 2 , \triangle_{2} = \begin{vmatrix}2 & 2 \\2 & \lambda \end{vmatrix} = 2\lambda — 4 , \triangle_{3} =\begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & \lambda & 0 \\ 2 & 0 & 5\\ \end{vmatrix} = 6\lambda — 20.$$

    3. По критерию Сильвестра, $Q$ положительно определена тогда и только тогда, когда $$\begin{cases}2\lambda -4 \gt 0, \\6\lambda — 20 \gt 0\end{cases}\Leftrightarrow \lambda \gt \frac{10}{3}.$$

Проверка знаний по пройденной теме

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

Список использованной литературы

Критерий Сильвестра

Формулировка

Квадратичная форма Q\left(x \right) в \mathbb{R}^{n} положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы B, имеющие вид
$$\Delta_{m}=\begin{vmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&…&b_{1,m}\\b_{2,1}&b_{2,2}&…&b_{2,m}\\…&…&…&…\\b_{m,1}&b_{m,2}&…&b_{m,m}\end{vmatrix},m=1,…,n\left(b_{ij}=b_{ji}, \forall i,j\right)$$
— положительны.

Доказательство

Достаточность

Для доказательства воспользуемся методом математической индукции и вспомогательной леммой.

Лемма

Квадратичная форма тогда и только тогда является положительно определённой, когда она приводится к диагональному виду \sum_{i=1}^{n}{a_{i}x_{i}^{2}}, a_{i}>0, i=1,...,n , а значит, и к каноническому виду Q\left(y \right)=\sum_{i=1}^{n}{y_{i}^{2}}, где y_{i}=\sqrt{a_{i}}x_{i}, i=1,...,n.

База индукции

Для n=1 достаточность очевидна.

Предположение индукции

Положим, что для n>1 из положительности угловых миноров матрицы квадратичной формы n-1 порядка включительно следует возможность приведения квадратичной формы от n-1 переменных x_{1}, x_{2},...,x_{n-1} к виду Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}.

Шаг индукции

Покажем, что достаточность имеет место и для квадратичной формы, зависящей от n переменных.

В выражении для квадратичной формы, зависящей от n переменных x_{1}, x_{2},...,x_{n-1}, x_{n}, выделим слагаемые, содержащие x_{n}:

Q\left(x \right)=\sum_{j=1}^{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}{b_{ji}x_{j}x_{i}}}+2\sum_{j=1}^{n-1}{b_{jn}x_{j}x_{_{n}}}+b_{nn}x_{n}^{2}.

Сумма \sum_{j=1}^{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}{b_{ji}x_{j}x_{i}}}=Q^{*}\left(x_{1}, x_{2},...,x_{n-1} \right) в правой части этого равенства является квадратичной формой Q^{*}\left(x \right), зависящей от n-1 переменной, причём её угловые миноры совпадают с угловыми минорами Q\left(x \right) её матрицы до порядка n-1 включительно, которые положительны по условию.

Следовательно, по предположению индукции, квадратичная форма Q^{*}\left(x \right) положительно определённа и для неё существует невырожденная замена переменных

x_{i}=\sum_{i=1}^{n-1}{\gamma _{ji}y_{i}}, j=1,...,n-1,

приводящая её к каноническому виду: Q^{*}\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n-1}{y_{i}^{2}}.
Запишем квадратичную форму Q\left(x \right) в новых переменных:

Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n-1}{y_{i}^{2}}+2\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{'}y_{i}x_{_{n}}}+b_{nn}x_{n}^{2}

и выделим полные квадраты по y_{1}, ... y_{n-1}:

Q(x)=\sum_{i=1}^{n-1}{(y_{i}^{2}+2b_{in}^{'}y_{i}x_{n}+b_{in}^{'2}x_{n}^{2})}+(b_{nn}-\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{'2}})x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n-1}{z_{i}^{2}}+b_{nn}^{''}x_{n}^{2},

где b_{nn}^{''}=b_{nn}-\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{'2}}, z_{i}=y_{i}+b_{in}^{'}x_{n}, i=1,...,n-1.

В матричном виде эту замену переменных можно описать как

\begin{pmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ ...\\ z_{n-1}\\ x_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0  &...  &0  &b'_{1,n} \\  0& 1 & ... & 0 & b'_{2,n}\\  ...&  ...& ... &...  &... \\ 0 & 0 & ... &  1& b'_{n-1,n}\\  0& 0 & ... & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ ...\\ y_{n-1}\\ x_{n}\end{pmatrix},

и поскольку её определитель отличен от нуля, то эта замена невырожденная.

Наконец, определитель матрицы квадратичной формы сохраняет знак при замене базиса. Определитель матрицы B квадратичной формы в исходном базисе положительный, поскольку этот определитель является угловым минором порядка n. Но из выражения для Q \left(x \right) в конечно базисе мы получаем, что определитель квадратичной формы Q \left(x \right) равен b''_{nn}. Поэтому b''_{nn}>0 и можно ввести переменную z_{n}=\sqrt{b''_{nn}}x_{n}, в результате чего получаем канонический вид квадратичной формы Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}^{2}}.

Отсюда следует, что квадратичная форма Q\left(x \right) положительно определена.

Достаточность доказана.

Необходимость

Дано, что квадратичная функция положительно определена, нужно доказать положительность угловых миноров её матрицы. Снова применим метод математической индукции по числу переменных n.

База индукции

Для n=1 достаточность очевидна.

Предположение индукции

Пусть для n>1 и для форм от меньшего числа переменных утверждение теоремы верно.

Шаг индукции

Поскольку квадратичная форма Q^{*}\left(x \right) из доказательства достаточности также является положительно определённой, то по предположению индукции следует, что её угловые миноры, совпадающие с угловыми минорами матрицы B до порядка n>1, положительны. А определитель самой матрицы B, который является угловым минором порядка n,положителен, поскольку Q\left(x \right) приводится к каноническому виду Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}^{2}}, и определитель матрицы полученной при этом квадратичной формы равен 1 и имеет такой же знак, как и определитель матрицы B.

Необходимость доказана.

Теорема доказана.

Следствие

Для того, чтобы квадратичная форма Q\left(x \right) в \mathbb{R}^{n} была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры её матрицы B имели чередующиеся знаки, начиная с минуса.

Примеры

При решении воспользоваться критерием Сильвестра.

Пример 1

Определить вид квадратичной формы Q\left(x_{1},x_{2} \right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}.

Пример 2

Определить вид квадратичной формы Q\left(x_{1},x_{2},x_{3} \right)=-4x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}-x_{3}^{2}

[spoilergroup]

Пример 1

Построим матрицу квадратичной формы:

\begin{pmatrix}1 &-0,5\\ -0,5&2 \end{pmatrix}

Посчитаем определители угловых миноров.

\Delta _{1}=1, \Delta _{2}=1,75

Квадратичная форма положительно определённая по критерию Сильвестра.

[свернуть]

Пример 2

Построим матрицу квадратичной формы:

\begin{pmatrix}-4 &0  &0\\  0&  -2&0 \\ 0 &  0&-1 \end{pmatrix}

Посчитаем определители угловых миноров.

\Delta _{1}=-4, \Delta _{2}=8, \Delta _{3}=-8

Квадратичная форма отрицательно определённая по следствию из критерия Сильвестра.

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Тест на умение применить критерий Сильвестра

Тест на умение применить критерий Сильвестра для определения вида квадратичных форм.

Знакоопределённые квадратичные формы

Определение

Квадратичная форма называется знакоопределённой, если она положительно определённая или отрицательно определённая.

Пусть x \in \mathbb{R}^{n}.

Квадратичная форма Q называется положительно определённой если для любого x\neq 0 справедливо неравенство Q\left(x \right)>0.

Аналогично, если для любого x\neq 0 имеем Q\left(x \right)<0, то такая квадратичная форма называется отрицательно определённой.

Примеры

Пример 1

Является ли квадратичная форма Q\left(x_{1},x_{2} \right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2} знакоопределённой? Если да, то какой именно?

Ответ

Нет, квадратичная форма является неопределённой.

[свернуть]

Пример 2

Является ли квадратичная форма Q\left(x_{1},x_{2},...,x_{n} \right)=x_{1}^{2}+...+x_{m }^{2}-x_{m+1}^{2}-...-x_{n}^{2}, где \left(m<n\right), знакоопределённой? Если да, то какой именно?

Ответ

Да, является. Квадратичная форма положительно определённая, так как Q\left(x_{1},x_{2} \right)>0 для всех x_{1},x_{2}, кроме x_{1}=x_{2}=0.

[свернуть]

Тест на знание знакоопределённой квадратичной формы

Тест на умение распознать вид квадратичной формы.