11.1 Предел функции

Пусть множество $E\subset\mathbb{R^n}$, $a$ — предельная точка множества $E$ и функция $f : E \mapsto \mathbb{R^m}$.

Определение. Точка $b \in \mathbb{R^m}$ называется пределом функции $f$ в точке $a$ по множеству $E$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E$, отличных от точки $a$ и удовлетворяющих условию $0 < |x-a| < \delta$, справедливо неравенство $|f(x) − b| < \varepsilon$. В этом случае пишут
$$b =\lim_{x \to \ a, x \in E} f(x)$$
и говорят, что $f(x)$ стремится к $b$, пробегая множество $E$, или $f(x)$ стремится к $b$ вдоль множества $E$.

Если множество $E$ содержит некоторый шар с центром в точке $a$, за исключением, быть может, самой точки $a$, то просто пишут $b = \lim_{x \to \ a} f(x)$.

Замечание 1. В самой точке $a$ функция $f$ может быть и не определена. Но даже если она и определена в точке $a$, то мы не требуем, чтобы было выполнено равенство $f(a) = b$, поскольку в точке $a$ выполнение неравенства $|f(x) − b| < \varepsilon$ не требуется.

Замечание 2. Пусть $f : E \mapsto \mathbb{R^m}$ и $\lim_{x \to a, x \in E} f(x) = b$. Тогда для любого подмножества $A \subset E$, для которого точка $a$ является предельной, очевидно, $\lim_{x \to a, x \in A} f(x) = b$. Если же по двум различным подмножествам $A_1, A_2 \subset E$, имеющим $a$ предельной точкой, пределы функции $f$ в точке $a$ будут различными, то по множеству $E$ в этой точке предела у функции $f$ нет. Это очевидно.

Пример. Пусть
$$ f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \quad ((x,y) \in E \equiv \mathbb{R^2}\backslash\{(0,0)\})$$
$$ A_1 = \{(x,y) \in E : x = y\}, \quad  A_2 = \{(x,y) \in E : x = 0\}.$$
Тогда, очевидно,
$$ \lim_{(x,y) \to (0,0), (x,y) \in A_1} f(x,y) = 0, \quad \lim_{(x,y) \to (0,0), (x,y) \in A_2} f(x,y) = -1.$$

Легко также убедиться в том, что у этой функции существуют пределы вдоль любой прямой, проходящей через начало координат, но эти пределы различные. Поэтому функция $f$ не имеет предела вдоль множества $E$.

Теорема. Пусть функция $f : E \mapsto \mathbb{R^m}$, $E \subset \mathbb{R^n}$, и $a$ — предельная точка множества $E$. Для того чтобы точка $b \in \mathbb{R^m}$ являлась пределом функции $f$ в точке $a$ по множеству $E$, необходимо и достаточно, чтобы для любой сходящейся к $a$ последовательности $\{x_v\}$ точек из $E$ отличных от $a$, было выполнено равенство $\lim_{v \to \infty} f(x_v) = b$.

Необходимость. Пусть $\lim_{x \to a, x \in E} f(x) = b$ и  пусть $x_v \in E$, $x_v \neq a$, $\lim_{v \to \infty} x_v = a$, т. е. зафиксирована некоторая последовательность $\{x_v\}$. Докажем, что $\lim_{v \to \infty} f(x_v) = b$.
Зададим $\varepsilon > 0$. Тогда, по определению предела функции, найдется такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E$, удовлетворяющих условию $0 < |x−a| < \delta$, справедливо неравенство $|f(x) − b| < \varepsilon$. Так как $x_v \to a$ и $x_v \neq a$, то найдется такой номер $N$, что при любом $v \ge N$ будет $0 < |x_v − a| < \delta$.
Поэтому для $v \ge N$ выполнено неравенство $|f(x_v) — b| < \varepsilon$. Это означает, что $\lim_{v \to \infty} f(x_v) = b$.
Достаточность. Предположим, что предел функции $f$ в точке $a$ либо не существует, либо существует, но не равен $b$. Тогда найдется такое $\varepsilon_0 > 0$, что для любого $\delta > 0$ найдется точка $x^\prime \in E$, $x^\prime \neq a$, для которой $|x^\prime — a| < \delta $, но $|f(x^\prime) — b| \ge \varepsilon_0$. Полагая $\delta = \frac{1}{v}$, построим последовательность точек $x^\prime_v$, для которых  $0 < |x^\prime_v — a| < \frac{1}{v}$, но $|f(x^\prime_v) — b| \ge \varepsilon_0$. Тогда получим, что $x^\prime_v \to a$, но $f(x^\prime_v)$ не стремится к $b$, а это противоречит условию.

Доказанная теорема позволяет сформулировать равносильное определение предела функции по Гейне.

Определение.Точка $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если для любой последовательности $\{x_v\}$ точек из $E$, сходящейся к $a$, $x_v \neq a$, соответствующая последовательность $\{f(x_v)\}$ значений функции сходится к точке $b$.

Теорема (арифметические свойства предела).Пусть функции $f, g : E \mapsto \mathbb{R^m}$, $E \subset \mathbb{R^n}$, $a$ — предельная точка множества $E$ и
$$ \lim_{x \to a, x \in E}f(x) = b, \quad \lim_{x \to a, x \in E}g(x) = c.$$

Тогда

  1. $\lim_{x \to a, x \in E}(f + g)(x) = b + c;$
  2. $\lim_{x \to a, x \in E}(f \cdot g)(x) = b\cdot c;$
  3. если $f, g$ — действительные функции (т.е. $m = 1$ ) и $g(x) \neq 0, c(x) \neq 0$, то $\lim_{x \to a, x \in E}(\frac{f}{g})(x) = \frac{b}{c}$.

Для доказательства достаточно воспользоватся определением предела по Гейне и соответствующей теоремой для последовательностей.

Примеры решения задач

Пример 1.Найти предел неограниченной функции $f(x) = \frac{2x^2 + x — 1}{x — 1}$.

Решение

Пусть $$f(x) = \frac{2x^2 + x — 1}{x — 1}.$$ Множество $X$, на котором определена функция $f(x)$, получается из множества всех действительных чисел $\mathbb{R}$ удалением из него единицы; $X =\mathbb{R}\backslash\{1\}$. Выясним, существует или нет предел функции $f(x)$ в точке $x_0 = 0$. Возьмем какую-либо последовательность  $x_n \in X$, $n = 1, 2,\ldots$,  такую, что $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$. Тогда на основании теорем получаем

$$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = \lim_{n \to \infty}\frac{2x^2 _n + x_n — 1}{x_n — 1}=$$

$$= \frac{2(\lim_{n \to \infty}x_n)^2 + \lim_{n \to \infty} x_n — 1}{\lim_{n \to \infty}x_n — 1} = 1.$$

Таким образом, существует $\lim_{n \to \infty}f(x_n) = 1$ , а так  как он не зависит от выбора последовательности $x_n \to 0$, $x_n \in X$, $n = 1,2,\ldots$, то существует и предел $\lim_{n \to \infty}f(x) = 1.$

[свернуть]

Пример 2. Найти предел ограниченной, разрывной функции $f(x) = \sin\frac{1}{x}$.

Решение

Рассмотрим функцию  $$f(x) = \sin \frac{1}{x}.$$ Она определена на множестве $X =\mathbb{R}\backslash\{0\}$. Снова выясним, существует или нет у функции $f$ предел в точке $x_0 = 0$. Возьмем две последовательности $$x_n = \frac{1}{\pi n}$$ и $$x_n^\prime = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}, n = 1,2,\ldots.$$
Очевидно, что $\lim_{n \to \infty}x_n = \lim_{n \to \infty}x_n^\prime = 0, x_n \neq 0, x_n^\prime \neq  0$(условие $x \neq 0$ в данном случае означает, что $x \in X$), $f(x_n) = \sin \pi n = 0$, $f(x_n^\prime) = \sin( \frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 1$, $n = 1, 2,\ldots .$. Поэтому $\lim_{n \to \infty}f(x_n) = 0$ и $\lim_{n \to \infty}f(x_n^\prime) = 1$, а это означает, что предела функции при $x \to 0$ не существует.

[свернуть]

Пример 3.Найти предел  $f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 -1}$ по Гейне.

Решение

Пусть $$f(x) = \frac{x_n^2 + x + 1}{x^2 — 2}.$$

Найдем предел этой функции при $x \to \infty$. Ее областью определения является множество $X =\mathbb{R}\{\sqrt{2}, -\sqrt{2}\}$. Взяв какую-либо последовательность $x_n \in X$, $n = 1, 2,\ldots,$ $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$, будем иметь
$$\lim_{n \to \infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n ^2+x_n+ 1}{x_n^2 — 2}=\lim_{n \to \infty}\frac{1 + \frac{1}{x_n} + \frac{1}{x_n^2}}{1-\frac{2}{x_n^2}}=$$
$$=\frac {1 + \lim_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{x_n^2}}{1 — 2\lim{n\to\infty}\frac{1}{x_n^2}}=1.$$
Отсюда следует, что $\lim_{n \to \infty}\frac{x^2 + x + 1}{x^2 — 2} = 1$.

[свернуть]

Пример 4. Найти предел всюду разрывной функции Дирихле.

Решение

Пусть $f$- функция Дирихле, то есть функция, равная $1$ на множестве всех рациональных чисел и нулю на множестве $I$ всех иррациональних чисел. Тогда в точке $x_0 = 0$ ее предел по множеству рациональних чисел равен $1$:  $$\lim_{x \to 0, x \in Q}f(x) = 1.$$

а по множеству иррациональних чисел — нулю: $$\lim_{x \to 0, x \in I}f(x) = 0.$$
По всему же множеству действительных чисел(то есть по множеству определения функции Дирихле) предел ее в точке $x_0 = 0$ не существует, так как уже существование или нет предела последовательности$\{f(x_n)\}$ при $n \to \infty$ зависит в данном случае от выбора последовательности $\{x_n\}$, стремящейся к нулю.

[свернуть]

Пример 5. Найти предел устранимо-разрывной функции  $\lim_{x \to 0}\frac{(2x^2 + x — 1)x}{x^2-x}$.

Решение

Найдем
$$\lim_{x \to 0}\frac{(2x^2 + x — 1)x}{x^2-x}.$$ Повторяя рассуждения, аналогичные тем, с помощью которых был вычислен предел в примере $1$, приходим к выражению $\frac{0}{0}$, т. е. к неопределенности, и тем самым не получаем ответа ни на вопрос о существовании предела, ни на вопрос о его значении, если он существует. Поэтому рассмотрим функцию
$$f(x) = \frac{2x^2 + x — 1}{x — 1},$$
получающуюся из функции
$$g(x) = \frac{(2x^2 + x — 1)x}{x^2 — x},$$
стоящей под знаком предела в условии, сокращением правой части равенства на $x$. Функции $f$ и $g$ совпадают в проколотой окрестности $U^{\circ}(0,1) = (-1,1) \backslash \{0\}$ точки $x_0 = 0$ и поэтому, согласно сделанному выше замечанию, одновременно имеют или нет пределы в этой точке по указанной проколотой окрестности, причем в случае существования этих пределов они равны. В примере же $1$ было показано, что $\lim_{x \to 0}f(x) = 1$ по всей области определения функции $f$, следовательно, и по ее подмножеству $U^{\circ}(0,1)$. Таким образом,
$$\lim_{x \to 0}g(x) = \lim_{x \to x_0, x \in U^{\circ}(0,1)}g(x) = \lim_{x \to x_0, x \in U^{\circ}(0,1)}f(x) = \lim_{x \to 0}f(x) = 1$$
(первое равенство справедливо в силу того, что предел является локальным свойством функции). Эти рассуждения являются обоснованием вычислений, которые в обычно употребляемой записи имеют следующий вид:
$$\lim_{x \to 0}\frac{(2x^2 + x — 1)x}{x^2 — 1} = \lim_{x \to 0}\frac{2x^2 + x — 1}{x — 1} = 1.$$

[свернуть]

Пример 6. Найти предел функции $f(x) = |signx|$.

Решение

Рассмотрим функцию $f(x) = |sign x|$. Какова бы ни была окрестность нуля  $U(0)$, у этой функции в точке $x_0 = 0$, очевидно, существует предел по проколотой окрестности $U^{\circ}(0)$:
$$\lim_{x \to 0, x \in U^{\circ}(0)}|sign x| = 1.$$
Вместе с тем предел $\lim_{x \to 0, x \in U(0)}|sign x|$ по всей окрестности $U(o)$ в точке $x_0 = 0$ у функции $|sign x|$ не существует, так как, например, для последовательности
$$x_n = \begin{cases} \frac{1}{n}, &\text{если n  = 2k, k = 1,2,…}\\ 0, &\text{если n  = 2k — 1, k = 1,2,…} \end{cases}$$
имеем $\lim_{n \to \infty}x_n = 0$ (и, следовательно, все ее члены начиная с некоторого будут лежать в заданной окрестности $U(0)$, а последовательность $|sign x_n|$ не имеет предела(на четных местах у нее стоят единицы, а на нечетных — нули).

[свернуть]

Литература:

  1. Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. с. 251-253.
  2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — с.70-72
  3. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.

Тест. Пределы функций.

Этот тест проверить ваши знания по теме «Пределы функций».

Мера Жордана в n-мерном пространстве

Для начала определим некоторые важные понятия и рассмотрим их свойства.

Клеточное множество в $\mathbb{R}^n$

Пусть задано множество $A$. Совокупность множеств $\left \{ A_1,A_2,…,A_n \right \}$ назовем разбиением множества $A$, если выполнены условия:
1) $A=\bigcup\limits_{i=1}\limits^n A_i$.
2) Множества $ A_1,A_2,…,A_n$ попарно не пересекаются.
Множество
$$
\Pi=\left\{\left(x_1,…,x_n\right):\; a_i\leq x_i < b_i, \;i=\overline{1,n}\right\}
$$
будем называть клеткой в $\mathbb{R}^n$. Пустое множество — тоже клетка, размер которой бесконечно мал.
Множество $A\in\mathbb{R}^n$ называется клеточным, если оно является объединением конечного числа попарно непересекающихся клеток.

Свойства клеточных множеств.

Свойство 1. Пересечение двух клеток есть клетка.

Спойлер

Достаточно заметить, что пересечение двух произвольных полуинтервалов является либо таким же полуинтервалом, либо пустым множеством.

[свернуть]

Свойство 2. Объединение конечного числа непересекающихся клеточных множеств является клеточным множетсвом

Спойлер

Справедливость этого свойства следует из определения клеточного множества.

[свернуть]

Свойство 3. Пересечение двух клеточных множеств есть клеточное множество.

Спойлер

Предположим, у нас есть множества $A$ и $B$. Каждое из этих множеств мы можем разбить на клетки:
$$
\Pi_1,…,\Pi_p$$ $$\Pi_1^{\prime},…,\Pi_q^{\prime}
$$
Тогда множество $A\cap B$ можно разбить на клетки вида $\Pi_{ij}=\Pi_i\cap\Pi_j^\prime,\;i=\overline{1,p},j=\overline{1,q}$, а , следовательно, по свойству 1, оно является клеточным.

[свернуть]

Свойство 4. Разность двух клеток есть клеточное множество.

Спойлер

Если клетка $\Pi$ пересекает клетку $Q$: $R=\Pi\cap Q$, то разность $\Pi \setminus Q$ равна разности $\Pi \setminus R$, и существует разбиение клетки $\Pi$ такое что $R$ является одной из клеток разбиения. А значит, мы можем ее удалить, получив в результате клеточное множество.

[свернуть]

Свойство 5. Разность двух клеточных множеств есть клеточное множество.

Спойлер

Пусть имеется клеточное множество $A$. Разобьем его на клетки $\Pi_1,…,\Pi_p$. Докажем сначала, что разность клеточного множества и клетки есть клеточное множество. Пусть $Q$ — произвольная клетка. По свойству 4 множества $K_i=\Pi_i\setminus Q$ — клеточные, и попарно непересекающиеся. Следовательно, совокупность множеств $\left \{ K_1,K_2,…,K_p \right \}$ является разбиением разности множеств $A\setminus Q$. Теперь зададим клеточное множество $B$, и разобьем его на клетки $\Pi_1^{\prime},…,\Pi_m^{\prime}$. Тогда множество $A\setminus B$ можно получить последовательным вычитанием клеток $\Pi_1^{\prime},…,\Pi_m^{\prime}$ из множества $A$, то есть оно также является клеточным.

[свернуть]

Свойство 6. Объединение конечного числа клеточных множеств есть клеточное множество

Спойлер

Докажем для случая двух множеств. Пусть $A$ и $B$ — клеточные множества. В силу свойств 3 и 5 $A\setminus B,\; B\setminus A,\; A\cap B$ — непересекающиеся клеточные множества. Тогда по свойству 2 их объединение будет клеточным множеством, которое, в свою очередь совпадает с $A\cup B$

[свернуть]

Мера клеточного множества

Ребром клетки назовем любой из ее составляющих полуинтервалов $\left[a_i,\;b_i\right)$.
Мерой клетки будем называть произведение длин ее ребер: $$ m\left(\Pi\right)=\left(b_1-a_1\right)…(b_n-a_n) $$ Для одномерного случая это будет длина полуинтервала, для двумерного — площадь прямоугольника, для трехмерного — объем параллелепипеда.
Мерой клеточного множества $A$ назовем число:
$$
m\left(A\right)=\sum_{i=1}^pm\left(\Pi_i\right),
$$
где $\Pi_1,…,\Pi_p$ — разбиение множества $A$.
Теперь докажем корректность определения.

Лемма 1. Мера клеточного множества не зависит от способа разбиения этого множества на клетки.

Спойлер

Легко показать, что утверждение верно для каждой отдельной клетки(доказывается прямым подсчетом). Пусть существуют два различных разбиения клеточного множества $A:\;\Pi_1,…,\Pi_p$ и $\Pi_1^{\prime},…,\Pi_q^{\prime}$. Обозначим $\Pi_{ij}=\Pi_i\cap\Pi_j$. Понятно, что $\Pi_i=\bigcup\limits_{j=1}\limits^q\Pi_{ij}^\prime$, а $\Pi_j^\prime=\bigcup\limits_{i=1}\limits^p\Pi_{ij}$. Тогда:
$$
\sum_{i=1}^pm\left(\Pi_i\right)=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^qm\left(\Pi_{ij}\right)=\sum_{j=1}^q\sum_{i=1}^pm\left(\Pi_{ij}\right)=\sum_{j=1}^qm\left(\Pi_j^\prime\right),
$$
что и требовалось доказать.

[свернуть]

Свойства меры клеточных множеств

Свойство 1. Если клеточные множества $A_1,…,A_p$ попарно не пересекаются, то
$$
m\left(\bigcup_{i=1}^pA_i\right)=\sum_{i=1}^pm\left(A_i\right)
$$

Спойлер

Справедливость данного свойства очевидна и следует из определения меры клеточного множества.

[свернуть]

Свойство 2. Если $A$ и $B$- клеточные множества и $A\subset B$, то
$$
m\left(B\right)=m\left(A\right)+m\left(B\setminus A\right),\; m\left(A\right)\leq m\left(B\right).
$$

Спойлер

Множества $A$ и $B\setminus A$ не пересекаются, следовательно, по свойству 1, мера множества $B=A\cup \left(B\setminus A\right)$ будет равна сумме их мер.

[свернуть]

Свойство 3. Если $A_1,…,A_p$ — клеточные множества, то
$$
m\left(\bigcup_{i=1}^pA_i\right)\leq \sum_{i=1}^pm\left(A_i\right)
$$

Спойлер

Докажем по индукции. Пусть $p=2$. Обозначим $B=A_1\cup A_2$. Тогда, поскольку $A_1\subset B$ и $B\setminus A_1\subset A_2$, выполняется свойство 5:
$$
m\left(A_1\cup A_2\right)=m\left(B\right)=m\left(A_1\right)+m\left(B\setminus A_1\right)\leq m\left(A_1\right)+m\left(A_2\right).
$$
Пусть неравенство выполняется для $p=k$. Докажем для $p=k+1$. Обозначим $A=\bigcup\limits_{i=1}\limits^kA_i$. Тогда мы можем рассмотреть пересечение множеств $A$ и $A_k+1$, аналогично случаю $p=2$, причем $m\left(\bigcup\limits_{i=1}\limits^kA_i\right)\leq \sum\limits_{i=1}\limits^km\left(A_i\right)$.

[свернуть]

Внутренностью клеточного множества назовем совокупность всех его внутренних точек, границей клетки — совокупность всех ее ребер.

Свойство 4. Для любого клеточного множества $A$ и любого $\varepsilon>0$ существует клеточное множество $A_\varepsilon,$ такое что $A_\varepsilon\subset\overline{A_\varepsilon}\subset A^0\subset A,$ где $\overline{A_\varepsilon}$ — замыкание множества $A_\varepsilon$, $A^0\;$ — внутренность множества $A_\varepsilon$.

Спойлер

Докажем для одной клетки $\Pi$. Возьмем произвольную точку $\left(x_1,…,x_n\right)$. Она будет принадлежать границе клетки, если существует такое $i$, что $x_i=a_i$ или $x_i=b_i$(следует из определения клетки, где $\left[a_i, b_i\right), i=\overline{1,n}$ — ребра клетки). Сдвигая концы ребра $\left[a_i, b_i\right)$ внутрь клетки, постоим клетку $\Pi_\varepsilon$, не содержащую граничных точек $\Pi$, мера которой будет отличаться от меры $\Pi$ меньше, чем на $A$.

[свернуть]

Подготовив все необходимые понятия, перейдем к основной части нашей работы.

Мера Жордана

Множество $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ называется измеримым по Жордану, если для любого $\varepsilon>0$ найдутся два клеточных множества $A, B$, такие что $A \subset \Omega \subset B$ и $m\left(B\right)-m\left(A\right)<\varepsilon$.

method-draw-image
Рис. 1. Иллюстрация к определению множества, измеримого по Жордану.

Мы видим, что $$\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)\leq\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right).$$
Числа $\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)$ и $\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right)$ называются соответственно нижней и верхней мерой Жордана. Если эти меры равны, то множество $m\left(\Omega\right)$ — измеримо, а его мерой будет число $m\left(\Omega\right)=\sup\limits_{A\subset \Omega} m\left(A\right)=\inf\limits_{B\supset \Omega} m\left(B\right)$.
Докажем корректность определения.

Лемма 2. В определении меры измеримого по Жордану множества $\Omega$ число $m\left(\Omega\right)$ существует и единственно, причем
$$
m\left(A\right)\leq m\left(\Omega\right)\leq m\left(B\right)
$$

Спойлер

Пусть $A$ и $B$ — клеточные множества, $A \subset \Omega \subset B$.
Существование.
По свойству 2 меры клеточных множеств $m\left(A\right)\leq m\left(B\right)$. Следовательно, найдется число $\gamma$, такое что
$$
m\left(A\right)\leq \sup_{A\subset\Omega}m\left(A\right)\leq \gamma \leq \inf_{\Omega\subset B}m\left(A\right)\leq m\left(B\right).
$$
Не ограничивая общности рассуждений, возьмем $m\left(\Omega\right)=\gamma$. Мы можем так сделать, исходя из определения меры, а, следовательно, число $m\left(\Omega\right)$ существует.
Единственность.
Пусть существуют два числа $\alpha$ и $\beta$, разделяющие числовые множества, порожденные мерами клеточных множеств $A$ и $B$:
$$
m\left(A\right)\leq \alpha \leq \beta \leq m\left(B\right).
$$
Множество $\Omega$ измеримо по Жордану, поэтому для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $A_\varepsilon$ и $B_\varepsilon$, такие что:
$$
A_\varepsilon\subset\Omega\subset B_\varepsilon, m\left(B_\varepsilon\right)-m\left(A_\varepsilon\right)<\varepsilon.
$$
Следовательно, верно неравенство: $$0\leq\beta-\alpha\leq m\left(B_\varepsilon\right)-m\left(A_\varepsilon\right)<\varepsilon,$$ а, значит, $\alpha=\beta$($\varepsilon$ выбирается произвольно).

[свернуть]

Рассмотрим еще один важный случай.

Множества жордановой меры нуль

Чтобы определить понятие множества меры нуль, докажем небольшую лемму.

Лемма 3. Если $E\subset\mathbb{R}^n$ и для любого $\varepsilon>0$ найдется клеточное множество $B=B_\varepsilon$ такое что $E\subset B$ и $mB<\varepsilon$, то $mE=0$

Спойлер

Пусть $A=\varnothing$, тогда $A\subset E\subset B,\; mB-mA=mB<\varepsilon$, то есть $E$ — измеримо по Жордану. В силу произвольности $\varepsilon$ получаем, что $mE=0$.

[свернуть]

Определенное таким образом множество будем называть множеством меры нуль. Такие множества обладают некоторыми важными свойствами, которые мы сейчас и рассмотрим.

Свойство 1. Объединение конечного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль.

Спойлер

Докажем для двух множеств(для большего числа доказывается аналогично). Пусть заданы множества $E_1$ и $E_2$, такие что $m\left(E_1\right)=m\left(E_2\right)=0$. Тогда для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $B_1$ и $B_2$, такие что $$ E_1\subset B_1,\; E_2\subset B_2,\; m\left(B_1\right)<\frac{\varepsilon}{2},\; m\left(B_2\right)<\frac{\varepsilon}{2}.\; $$ Пусть $B=B_1\cup B_2$. По доказанному выше $B$ — клеточное множество, и выполняется:
$$
E_1\cup E_2\subset B_1\cup B_2,\quad m\left(B\right)\leq m\left(B_1\right)+m\left(B_2\right)<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,
$$
а значит, $m\left(E_1\cup E_2\right)=0$.

[свернуть]

Свойство 2. Подмножество множества меры нуль есть множество меры нуль.

Спойлер

Пусть $E\prime$ и $E\prime$ — множества меры нуль. Тогда, по определению, для любого $\varepsilon>0$ найдется клеточное множество $A$, такое что $E\prime\subset E\subset A$ и $m\left(A\right)<\varepsilon$. Тогда, по свойству 1, $m\left(E\right)=0$.

[свернуть]

Логично, что должны быть определенные необходимые и достаточные условия измеримости множества по Жордану. Прежде чем перейти к ним, докажем вспомогательную лемму.

Лемма 4 Если связное множество $A\subset\mathbb{R}^n$ не имеет общих точек с границей множества $B\subset\mathbb{R}^n$, то $A$ лежит либо внутри $B$, либо внутри его дополнения.

Спойлер

Предположим противное. Пусть существуют две точки $\alpha$ и $\beta$ множества $A$, такие что $\alpha$ принадлежит внутренности $B$, а $\beta$ принадлежит внутренности $B\setminus A$. По условию множество $A$ — связно, потому мы можем соединить эти две точки некоторой кривой $\Gamma$. Разобьем точки кривой на два класса: точка $\gamma$ принадлежит первому классу, если дуга кривой $\Gamma$ с концами $\alpha$ и $\beta$ лежит в множестве $B$. Второму классу будут принадлежать все остальные точки кривой. Тогда, согласно теореме об отделимости, мы можем разделить эти 2 класса некоторой точкой $e$, которая не принадлежит ни внутренности $B$, ни внутренности $B\setminus A$. Тогда точка $e$ является граничной для множества $B$, но по условию она принадлежит множеству $A$. Получаем противоречие.

[свернуть]

И, наконец, докажем критерий.

Теорема(критерий измеримости множества в $\mathbb{R}^n$). Множество $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ будет измеримым по Жордану тогда и только тогда, когда оно ограниченно, а его граница $\partial\Omega$ имеет жорданову меру нуль.

Спойлер

Необходимость
Пусть $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ — измеримое по Жордану множество. Это значит, что для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $A$ и $B$, такие что $A \subset \Omega \subset B$ и $m\left(B\right)-m\left(A\right)<\varepsilon$. Не ограничивая общности рассуждений, согласно свойству 4 меры клеточных множеств, считаем, что множество $A$ не содержит граничных точек $\Omega$, а множество $B$ содержит все такие точки. Тогда $\partial\Omega \subset B\setminus A$ и $m\left(B\setminus A\right)<\varepsilon$, следовательно, по лемме 3, множество $\partial\Omega$ имеет жорданову меру нуль.
Достаточность
Пусть $m\left(\partial\Omega\right)$ и $\Omega$ — ограниченное множество в $\mathbb{R}^n$. Заключим множество $\Omega$ в клетку $\Pi$. Теперь возьмем произвольное $\varepsilon>0$ и построим клеточное множество $C$, такое что $\partial\Omega\subset C$ и $m\left(C\right)<\varepsilon$. Тогда $\Pi\setminus C$ — клеточное множество, не содержащее граничных точек множества $\Omega$. Пусть $\Pi\setminus C=\bigcup\limits_{i=1}\limits^N\Pi_i$. Так как клетка $\Pi_i$ не содержит граничных точек множества $\Omega$, то в силу леммы 4 $\Pi_i\cap\Omega=\varnothing$ или $\Pi_i\subset\Omega$. Занумеруем клетки $\Pi_i$ в таком порядке, что $\Pi_1,…,\Pi_l\subset \Omega$, а $\Pi_{l+1},…,\Pi_N\cap\Omega=\varnothing$. Обозначим $A=\bigcup\limits_{i=1}\limits^l\Pi_i$ и $B=A\cup C=\Pi\;\setminus\;\left(\bigcup\limits_{i=l+1}\limits^N\Pi_i\right)$, тогда $A\subset\Omega\subset B$ и $m\left(B\right)-m\left(A\right)=m\left(C\right)<\varepsilon$, то есть множество $\Omega$ измеримо по Жордану.

[свернуть]

Свойства множеств, измеримых по Жордану

Свойство 1. Если множества $\Omega_1$ и $\Omega_2$ измеримы по Жордану, то множества $\Omega_1\cap\Omega_2$, $\Omega_1\setminus \Omega_2$, и $\Omega_1\cup\Omega_2$ также измеримы по Жордану.

Спойлер

Измеримые по Жордану множества $\Omega_1$ и $\Omega_2$ ограничены, следовательно, по доказанному выше критерию меры их границ равны нулю. Тогда мера их пересечения также будет равной нулю. Но мы знаем, что
$$
\partial \left(\Omega_1\cap\Omega_2\right)\subset\partial\Omega_1\cup\partial\Omega_2,\quad\partial \left(\Omega_1\setminus\Omega_2\right)\subset\partial\Omega_1\cup\partial\Omega_2,\quad\partial \left(\Omega_1\cup\Omega_2\right)\subset\partial\Omega_1\cup\partial\Omega_2,$$ поэтому $$m\left(\partial \left(\Omega_1\cap\Omega_2\right)\right)=m\left(\partial \left(\Omega_1\setminus\Omega_2\right)\right)=m\left(\partial \left(\Omega_1\cup\Omega_2\right)\right).
$$
В силу критерия множества множества $\Omega_1\cap\Omega_2$, $\Omega_1\setminus \Omega_2$ и $\Omega_1\cup\Omega_2$ измеримы по Жордану.

[свернуть]

Свойство 2. Если множества $\Omega_i,\;i=\overline{1,n}$ измеримы по Жордану, то и множествo $\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i$ измеримо по Жордану, и
$$
m\left(\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i\right)\leq\sum\limits_{i=1}^nm\left(\Omega_i\right).
$$
Если множества $\Omega_i,i=\overline{1,n}$ попарно не пересекаются, то
$$
m\left(\bigcup\limits_{i=1}\limits^n\Omega_i\right)=\sum\limits_{i=1}^nm\left(\Omega_i\right).
$$

Спойлер

Рассмотрим случай $n=2$. Если $\Omega_1$ и $\Omega_2$ – измеримые по Жордану множества, то в силу свойства 1 множество $\Omega_1\cup\Omega_2$ измеримо по Жордану. Из леммы 2 следует, что для любого $\varepsilon>0$ найдутся клеточные множества $B_1$ и $B_2$ такие что:
$$
\Omega_1\subset B_1,\;\Omega_1\subset B_1,\; m\left(\Omega_1\right)>m\left(B1\right)−\frac{\varepsilon}{2},\; m\left(\Omega_2\right)>m\left(B2\right)−\frac{\varepsilon}{2}.
$$
Тогда $B_1\cup B_2$ есть клеточное множество, содержащее множество $\Omega_1\cup\Omega_2$. Используя свойство 3 клеточных множеств, получаем, что:
$$
m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)\leq m\left(B_1\cup B_2\right)\leq m\left(B_1\right)+m\left(B_2\right)\leq m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right)+\varepsilon.
$$
В силу произвольности $\varepsilon$:
$$
m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)\leq m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right)$$ Пусть $\Omega_1\cap\Omega_2=\varnothing$. В силу леммы 2 найдутся клеточные множества $A_1$ и $A_2$, такие что
$$
A_1\subsetΩ_1,\;m(A_1)>m\left(Ω_1\right)-\frac{\varepsilon}{2},\;A_2\subsetΩ_2,\;m(A_2)>m(Ω_2)−\frac{\varepsilon}{2}.
$$
Тогда $A_1\cup A_2$есть клеточное множество, содержащееся в множестве $\Omega_1\cup\Omega_2$. Так как множества $A_1$ и $A_2$ не пересекаются, то
$$
m\left(Ω1\cupΩ2\right)≥m\left(A1\cup A2\right)=m\left(A1\right)+m\left(A2\right)>m\left(Ω1\right)+m\left(Ω2\right)−ε,
$$
Число $\varepsilon$ мы брали произвольно, следовательно,
$$
m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)\geq m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right).
$$
Мы видим, что мера объединения непересекающихся множеств $\Omega_1$ и $\Omega_2$ одновременно не превосходит и больше либо равна сумме их мер. А такое возможно, только если
$$
m\left(\Omega_1\cup \Omega_2 \right)=m\left(\Omega_1\right)+m\left(\Omega_2\right).
$$
Применяя метод математической индукции, можно доказать исходное неравенство, а также случай равенства для любого $n\in\mathbb{N}$. Свойство доказано.

[свернуть]

Пример

Спойлер

Множество $A=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x \in \left[ 0,1 \right] \right\}$ измеримо по Жордану, так как само по себе является клеточным. А множество рациональных чисел на том же отрезке $A^\prime=\left\{x\in\mathbb{Q}\mid x\in\left[0,1\right]\right\}$ не измеримо, и мы можем легко это показать. Действительно, отрезке $\left[0,1\right]$ не существует подотрезка, заполненного только рациональными числами, то есть внутренняя мера Жордана множества $A^\prime$ равна $0$. С другой стороны, на всей числовой прямой мы не найдем отрезка, содержащего $\left[0,1\right]$ и заполненного рациональными числами. Это значит, что внешняя мера множества $A^\prime$ равна $1$. Мы видим, что верхняя и нижняя меры Жордана совпадают, а значит, по определению, множество $A^\prime$ не является измеримым по Жордану.

[свернуть]

Использованная литература:

Дополнительная литература:

Тест "Мера Жордана"

Пройдите небольшой тест, чтобы закрепить ваши знания.

Таблица лучших: Тест "Мера Жордана"

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Аддитивная группа направленных отрезков

Теорема:

Множество направленных отрезков произвольной прямой, произвольной плоскости или пространства относительно операции сложения образуют абелеву группу.

Спойлер

1) Алгебраичность следует из определения операции сложения векторов.
2) Ассоциативность.
Ассоциативность
3) Коммутативность.
Коммутативность
4) Нейтральный элемент =0, \overline{AB}+\overline{BB}=\overline{AB}
5) Существование противоположного элемента.
\overline{AB}+\overline{AB'}=\overline{AA}
\overline{AB'}=\overline{BA}
противоположный элемент \blacksquare

[свернуть]

Литература :

Предел функции по множеству


Возьмём произвольные множества $X$, $Y$. Отображением $F$ из $X$ в $Y$ называется соответствие, которое каждому $x\in X$ сопоставляет единственный элемент $y \in Y$.

  • Множество $X$ — область определения.
  • Множество всех $y\in Y$ — область значения. Надо рассмотреть функции $f$, определённые на некоторых множествах $E \subset \mathbb{R}^{n}$ со значениями в ${R}^{m}$. Такие функции называются векторными функциями многих переменных. Значениями функции $f$ являются $m$-мерные векторы. Функции такого вида также будем называть отображениями.
    Функция значения которой являются действительные числа наз. действительной.Функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R} , E \subset \mathbb{R}^{n}$.Пусть $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m} , m \geq 2 $ где, $E \subset \mathbb{R}^{n}$. Тогда для любого фиксированного $x\in E$ с значением $f(x)$ есть $m$ — мерный вектор, который мы можем записать в таком виде:$f(x) = (f^{1}(x),…,f^{m}(x)),$ где
    $f^{i}(x)$ — действительный числа(координаты вектора $f(x)$.

    Поэтому следует, что мы получаем $m$ действительных функций на множестве $E: f^{i}: E \mapsto \mathbb{R}$.
    $f = (f^{1},…,f^{m}),$
    $f^{i}$ — называют компонентами векторной функции $f$.

    Предел функции

    Дано множество $E \subset \mathbb{R}^{n}$, $a$ — предельная точка множества $E$ и функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m}$.
    Точка $b\in \mathbb{R}^{m} $ называется пределом функции $f$ в точке по множеству $E$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E$, отличных от точки $a$ и удовлетворяющих условию $0 < \left | x-a \right | < \delta$ , справедливо неравенство $\left | f(x)- b \right | < \varepsilon$. В этом случае пишут

    $b = \lim\limits_{x \to a, x \in E } {f(x)}$

    и говорят, что $f(x)$ стремится к $b$, проходя множество $E$.

    Теорема

    Допустим функция $f$: $E \mapsto \mathbb{R}^{m}$ где, $E \subset \mathbb{R}^{n}$ и $a$ — предельная точка множества $E$. Чтобы точка $b\in\mathbb{R}^{m}$ являлась пределом функции $f$ в точке $a$ по множеству $E$ , необходимо и достаточно, чтобы для любой сходящейся к $a$ последовательности $\left \{ x_{\kappa } \right \}$ точек из $E$, отличных от $a$, было выполнено равенство $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa ) = b$.

    Необходимость:

    Пусть $\lim\limits_{x \to a, x \in E} f(x) = b$ и пусть $x_\kappa \in E,x_\kappa \neq a, \lim\limits_{\kappa \to \infty} x_\kappa = a $, то есть фиксируем некоторую последовательность $0 $<$ \left | x — a \right | $<$ \delta $ . Докажем, что $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa) = b$. Зададим $\varepsilon > 0$. Тогда, по определению предела функции , найдётся такое $\delta > 0$, что для всех $x \in E $, удовлетворяющих условию $ 0 $<$ \left | x — a \right | < \delta $ справедливо неравенство $\left | f(x) — b\right | < \varepsilon $, так как $ x_{\kappa }\rightarrow a$ и $ x_{\kappa } \neq a $, то найдётся такой номер $N$, что при любом $\kappa \geq N$ будет $0<\left | x_{\kappa}-a \right |<\delta$.
    Поэтому для $ \kappa \geq N$ выполнено неравенство $ \left | f(x_{\kappa}) — b\right | < \varepsilon $. Это означает,что $\lim\limits_{\kappa \to \infty} f(x_\kappa) = b.$

    Достаточность:

    Сделаем предположение,что предел функции $f$ в точке $a$ либо не существует,либо существует,но не равен $b$. Тогда найдется такое $ \varepsilon_{0} > 0 $ , что для любого $ \delta > 0 $ найдется точка $ x’ \in E$ для котoрой, $\left | x’-a \right | < \delta $, но $\left | f(x’) — b\right | \geq \varepsilon$. Пологая $\delta =\frac{1}{\kappa}$, построим последовательность точек$x’_{\kappa}$, для которых $ 0 $<$ \left | x’_{\kappa } — a \right | $<$ \frac{1}{\kappa } $, но $\left |f(x’_{\kappa }) — b \right | \geq \varepsilon _{0} $, тогда получим, что $x’_{\kappa} \rightarrow a $, нo $f\left ( x’_{\kappa } \right )$ не стремится к $b$, а это противоречит нашему условию.

    Определим функцию по Гейне:

    Точка $b$ называется пределом функции $f$ в точке $a$, если для любой последовательности $\left \{ x_{\kappa } \right \}$ точек из $E$ ,сходящейся к $a$,  $x_{\kappa } \neq a$, соответствующая последовательность $\left \{ f(x_{\kappa }) \right \} $ значений функции сходится к точке $b$.

    Для доказательства следующей теоремы, достаточно воспользоваться определением предела по Гейне.

    Теорема(арифметические свойства): пусть функции $f,g$: $ E\rightarrow \mathbb{R}^{m}, E\subset \mathbb{R}^{n}$, $a$- прeдельная точка множества $E$ и

    $\lim\limits_{x\to a, x \in E}f(x) = b$, $\lim\limits_{x\to a, x \in E}g(x) = c$

    Тогда
    1)$\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f+g)(x) = b+c$;

    2)$\lim\limits_{x\to a, x \in E}(f \cdot g)(x) = b \cdot c$;

    3)если $f,g$ — действительные функции и $g(x)\neq 0, c\neq 0$ ,то $\lim\limits_{x\to a, x \in E}\frac{f}{g}(x) = \frac{b}{c}.$

    Литература

  • В.И. Коляда и А. А. Кореновский » Курс лекций по математическому анализу.Часть 1.»- О.: «Астропринт» ,2009. — (с.250-252)
  • Конспект лекций Г.М. Вартаняна
  • предел функции на множестве

    Тест на закрепление материала на тему «Граница функции на множестве»

Лемма Больцано-Вейерштрасса

Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — фундаментальная теорема математического анализа, гласящая, что из любой ограниченной последовательности точек пространства \mathbb{R}^n можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Т. Б. — В., используется при доказательстве многих теорем анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема названа в честь чешского математика Бернарда Больцано и немецкого математика Карла Вейерштрасса, которые независимо друг от друга вывели ее формулировку и доказательство.

Формулировка. Любое бесконечное ограниченное множество F \subset \mathbb{R}^n имеет по крайней мере одну предельную точку. Доказательство. Пусть множество F является бесконечным и ограниченным множеством. Предположим, что оно не имеет предельных точек. Следовательно, оно является замкнутым. Поскольку F еще и ограничено, то, по теореме Гейне – Бореля, F компактно. Для каждой точки x \in F построим такую окрестность U_x, в которой нет других точек из F, кроме x (если бы для какой-то точки x такой окрестности не было, то эта точка была бы предельной для F). Тогда семейство \left\{U_x \right\}_{x \in F} образует открытое покрытие компактного множества F. Пользуясь компактностью F, выберем из него некое конечное подпокрытие, иными словами. конечный набор шаров, в каждом из которых содержится лишь по одной точке из множества E. Но это противоречит тому, что множество E бесконечно.\square
Замечание. Предельная точка, существование которой утверждается в данной теореме, вообще говоря, не обязана принадлежать множеству E.

Литература: