9.2.1 Открытые множества

Определение. Открытым шаром с центром в точке $x_0$ и радиусом $\rho >0$ называется множество всех точек $x\in \mathbb{R}^n,$ таких, что $|x-x_0|<\rho.$ Этот шар обозначается $B(x_0,\rho)$ и называется также $\rho$-окрестностью точки $x_0.$

Определение. Пусть задано множество $E \subset \mathbb{R}^n.$ Точка $x_0 \in E$ называется внутренней точкой множества $E,$ если существует шар $B(x_0,\rho),$ содержащийся в $E.$ Другими словами, точка $x_0$ называется внутренней точкой множества $E,$ если она входит во множество $E$ вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество $E$ называется открытым, если все его точки являются внутренними точками этого множества. Условимся также считать пустое множество $\emptyset$ открытым.

Пример 1. Каждый открытый шар $B(x_0,r)$ является открытым множеством.

Действительно, пусть $x \in B(x_0,r).$ Нужно доказать, что существует такая окрестность точки $x,$ которая целиком содержится в шаре $B(x_0,r).$ Положим $\rho = r-|x-x_0|.$ Тогда $\rho > 0,$ так как $|x-x_0|<r.$ Покажем, что $B(x,\rho) \subset B(x_0,r).$ Пусть $y \in B(x,Ѕ).$ Тогда $|y-x|<\rho.$ Оценим расстояние между точками $y$ и $x_0.$ По неравенству треугольника имеем $$|y-x_0|\leqslant|y-x|+|x-x_0|<\rho + |x-x_0|=r$$ что и требовалось доказать.

В частности, при $n = 1$ открытые шары — это интервалы на действительной прямой, и они являются открытыми множествами на прямой.

Пример 2. Рассмотрим открытые $n$-мерные интервалы. Для двух заданных векторов $a,b \in \mathbb{R}^n,$ таких, что $a^i < b^i (i=1,…,n),$ открытым интервалом называется множество всех точек $x,$ координаты которых удовлетворяют условиям $a^i < x^i < b^i (i=1,…,n).$ Такой интервал обозначается через $(a^1,b^1,…,a^n,b^n).$

В частности, в $\mathbb{R}^2$ открытые интервалы — это прямоугольники со сторонами, параллельными координатным осям, а в $\mathbb{R}^3$ — параллелепипеды, ребра которых параллельны координатным осям.

Докажем, что любой открытый интервал в $\mathbb{R}^n$ является открытым множеством.

Пусть $J$ — открытый интервал и пусть $x \in J,$ т. е. $a^i < x^i < b^i (i=1,…,n).$ Обозначим через $\delta^i = min(x^i — a^i,b^i-x^i)(i=1,…,n)$ и $\delta=min(\delta^1,…,\delta^n).$ Покажем, что шар $B(x,\delta)$ содержится в $J.$ Действительно, если $y \in B(x,\delta),$ то $|y-x|<\delta.$ Отсюда следует, что $|x^i-y^i|<\delta$ для всех $i=1,…,n.$ Пользуясь определением числа $\delta,$ видим, что $a^i < y^i < b^i$ для всех $i=1,…,n,$ так что $y \in J,$ что и требовалось доказать.

Пример 3. Множество $S$ всех точек на действительной прямой — открытое.

Рассмотрим некую точку $x,$ которая находится на расстоянии $\rho$ от точки $x_0 = (0),$ затем рассмотрим шар $B(x,\eps).$ Каждая точка, принадлежащая этому шару, также, очевидно, принадлежит всей действительной прямой, т.е. $\forall y \in B(x,\eps): y \in S,$ что означает что любая точка входит в множество $S$ вместе с некоторым шаром, а по определению это значит, что $S$ — открытое множество

Свойства открытых множеств.

Пусть $\mathcal{A}$ — множество индексов, и каждому элементу $\alpha \in \mathcal{A}$ поставлено в соответствие некоторое множество $E_{\alpha}.$ Тогда говорят, что задано семейство множеств $\{E_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathcal{A}}.$

Теорема. Система всех открытых множеств в $\mathbb{R}^n$ обладает следующими свойствами:

  1. все пространство $\mathbb{R}^n$ и пустое множество $\emptyset$ открыты;
  2. пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто;
  3. объединение любого семейства $\{G_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathcal{A}}$ открытых множеств открыто.
  1. Пустое множество $\emptyset$ открыто по определению, а всё пространство $\mathbb{R}^n,$ очевидно, открыто, поскольку любой шар содержится в $\mathbb{R}^n.$
  2. Пусть $G_1,…,G_s$ — открытые множества, $G = \bigcap\limits_{i=1}^s G_i.$ Пусть $x \in G.$ Тогда $x \in G_i$ для всех $i=1,…,s.$ Но каждое из множеств $G_i$ открыто, так что для каждого $i=1,…,s$ найдется шар $B(x,r_i) \subset G_i.$ Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом $B(x,r),$ где $r = min(r_1,…,r_s).$ Тогда $B(x, r) \subset G_i$ при каждом $i=1,…,s,$ а значит, $B(x,r) \subset G,$ и тем самым доказано, что множество $G$ открыто.
  3. Пусть $G = \bigcup\limits_{\alpha \in \mathcal{A}} G_{\alpha},$ где каждое множество $G_{\alpha}$ открыто. Докажем, что и множество $G$ также открыто. Действительно, пусть $x \in G.$ Тогда $x$ принадлежит по крайней мере одному из множеств $G_{\alpha_0}.$ Так как это множество $G_{\alpha_0}$ открыто, то найдется окрестность $B(x,\rho) \subset G_{\alpha_0} \subset G.$ Таким образом, $G$ — открытое множество.

Замечание. Пересечение бесконечного набора открытых множеств не обязано быть открытым множеством. Например, пусть $B_k$ — открытый шар с центром в нуле и радиусом $\frac{1}{k} (k = 1,2,…).$ Тогда $\bigcap\limits^{\infty}_{k=1} B_k = \{0\}.$ Но множество $\{0\},$ состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Определение. Пусть $E$ — непустое множество в $\mathbb{R}^n.$ Тогда совокупность всех его внутренних точек называется внутренностью множества $E$ и обозначается через $\mathring{E}$ или $\text{int} E.$

Теорема. Для любого непустого множества $E$ его внутренность — открытое множество.

Будем предполагать, что $\mathring{E}$ не пусто. Пусть $x \in \mathring{E}.$ Тогда $x$ — внутренняя точка множества $E$ (по определению внутренности). Нужно доказать, что $x$ является также внутренней точкой множества $\mathring{E}.$ Итак, найдется шар $B(x,\rho) \subset E.$ Но поскольку шар — открытое множество, то каждая точка $y \in B(x,\rho)$ содержится в этом шаре вместе с некоторой окрестностью $U_y.$ Значит $U_y \subset E,$ и поэтому $y$ — внутренняя точка множества $E,$ т.е. $y \in \mathring{E}.$ Таким образом, мы получили, что $B(x,\rho) \subset \mathring{E},$ а это означает, что $\mathring{E}$ — открытое множество, и теорема доказана.

Пример 4. Рассмотрим область определения функции $f(x) = \frac{1}{x}.$ $D(f) = (-\infty;0)\cup(0;\infty),$ значит $D(f)$ можно представить в виде объединения двух интервалов $D(f) = A_1 \cup A_2,$ где $A_1 = (-\infty;0); A_2 = (0;\infty),$ то есть в виде объединения двух открытых множеств, так как интервалы — открытые множества по доказанному ранее. А значит, по свойству открытых множеств, множество $D(f)$ — открытое множество.

Пример 5. Рассмотрим область определения функции $f(x) = \sqrt{3x}.$ $D(f)=\{x \in \mathbb{R} | x \geqslant 0\}.$ Это множество не является открытым, докажем это. Рассмотрим точку $x=0.$ $x \in D(f),$ однако не существует такого открытого шара $B(x,\rho),$ который полностью бы лежал в $D(f),$ так как в этом шаре будет присутствовать точка $y,$ такая что $x-\rho < y < x = 0.$ Из этого следует, что $y < 0$ и $y$ не принадлежит $D(f).$ Значит $D(f)$ не является открытым множеством.

9.2.1. Открытые множества

Для закрепления материала предложен тест по теме «Открытые множества».

Понятие абстрактного линейного пространства

Материал лекций по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Задача №1

Рассмотрим задачу, в которой множество над числовым полем является абстрактным линейным пространством.

Условие задачи

Дано множество симметричных матриц S=\{A \in M_{2}\left(\mathbb R \right) \mid \(\ \)A^{t}=A \}. Проверить, является ли данное множество абстрактным линейным пространством над полем \mathbb R?

Спойлер

Чтобы решить данную задачу нужно проверить выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве S.

  1. По теореме об аддитивной группе матриц \left(S,+ \right) — абелева группа. Таким образом, первая группа аксиом выполняется.
  2. Проверим выполнение свойств для данного отображения \bullet:\mathbb R \times S \rightarrow S
    • E \cdot A=A,\(\ \) \forall A \in S
      \begin{Vmatrix} 1& 0\\  0& 1\end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}
    • \alpha \left(\beta A \right)=\(\ \)\left(\alpha \beta \right)A,\(\ \) \forall A \in S, \(\ \)\forall \alpha,\beta \in \mathbb R
      \alpha\left(\beta \cdot \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} \right)=\(\ \)\alpha \cdot \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\  \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} \alpha \beta a_{1}& \alpha \beta a_{2}\\  \alpha \beta a_{2}& \alpha \beta a_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\left(\alpha \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}

    Таким образом, вторая группа аксиом выполняется.

  3. Проверим выполнение третьей группы аксиом:
    • \alpha \left(A + B \right)=\(\ \)\alpha A + \alpha B,\(\ \) \forall \alpha \in \mathbb R,\(\ \) \forall A, B \in S
      \alpha \left(\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\  b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}\right)=\(\ \)\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}+b_{1}& a_{2}+b_{2}\\  a_{2}+b_{2}& a_{1}+b_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)& \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)\\  \alpha \left(a_{2}+b_{2} \right)& \alpha \left(a_{1}+b_{1} \right)\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\alpha b_{1}& \alpha a_{2}+\alpha b_{2}\\  \alpha a_{2}+\alpha b_{2}& \alpha a_{1}+\alpha b_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\  \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \alpha b_{1}& \alpha b_{2}\\  \alpha b_{2}& \alpha b_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \alpha \begin{Vmatrix} b_{1}& b_{2}\\  b_{2}& b_{1}\end{Vmatrix}
    • \left(\alpha + \beta \right)A=\(\ \)\alpha A + \beta A, \(\ \)\forall \alpha,\beta \in \mathbb R,\(\ \) \forall A \in S
      \left(\alpha + \beta \right)\begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} \left(\alpha + \beta \right) a_{1}& \left(\alpha + \beta \right) a_{2}\\  \left(\alpha + \beta \right) a_{2}& \left(\alpha + \beta \right) a_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}+\beta a_{1}& \alpha a_{2}+\beta a_{2}\\  \alpha a_{2}+\beta a_{2}& \alpha a_{1}+\beta a_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\begin{Vmatrix} \alpha a_{1}& \alpha a_{2}\\  \alpha a_{2}& \alpha a_{1}\end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} \beta a_{1}& \beta a_{2}\\  \beta a_{2}& \beta a_{1}\end{Vmatrix}=\(\ \)\alpha \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix} + \beta \begin{Vmatrix} a_{1}& a_{2}\\  a_{2}& a_{1}\end{Vmatrix}

    Таким образом, третья группа аксиом выполняется.

\Rightarrow множество симметричных матриц является абстрактным линейным пространством над полем \mathbb R.

[свернуть]

Теперь рассмотрим задачи, в которых множество над числовым полем не является абстрактным линейным пространством.

Задача №2

Условие задачи

Дано множество F=\{f\left(x\right) \in \mathbb R\left[x\right]\mid \(\ \) \deg f\left(x\right)=n\}. Проверить, является ли данное множество над полем \mathbb R абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве F.

Здесь очевидно, что данное множество относительно операции «+» не является группой, так как операция «+» не является БАО на множестве F (не выполняется условие замкнутости, так как сумма многочленов степени n в результате может оказаться многочленом меньшей степени). \Rightarrow множество F над полем \mathbb R не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом можно не проверять.

[свернуть]

Задача №3

Условие задачи

Дано множество T=\{f\left(x\right)\in \mathbb R\left[x\right]\mid \(\ \) \deg f\left(x\right)\leqslant n \wedge \(\ \) a_{i}>0, i=\overline{1,n}\}, где a_{i} — коэффициенты при переменных. Проверить, является ли данное множество над полем \mathbb R абстрактным линейным пространством?

Спойлер

Проверим выполнение всех трех групп аксиом на данном множестве T.

В данном случае это множество также не является группой относительно операции «+», так как коэффициенты многочленов являются положительными, а значит, что обратного, а отсюда и нейтрального элементов у данного множества нет. \Rightarrow множество T над полем \mathbb R не является абстрактным линейным пространством и выполнение следующих групп аксиом также можно не проверять.

[свернуть]

Литература:

  1. Лекции Г.С. Белозерова
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 18
  3. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.:Наука, 1978, стр. 166-174

Абстрактные линейные пространства

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Абстрактные линейные пространства

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Понятие абстрактного линейного пространства. Простейшие следствия из аксиом

Определение

Пусть X\neq \varnothing, \mathbb Pполе. \left(X,\mathbb P \right) называется абстрактным линейным пространством, если выполняются следующие три группы аксиом:

  1. На X задана БАО (бинарная алгебраическая операция) «+», относительно которой \left(X,+ \right)абелева группа.
  2. Задано отображение: \bullet:\mathbb P \times X \rightarrow X такое, что:
    • 1 \cdot x=\(\ \)x, \forall x\in X,
    • \alpha \left(\beta x \right)=\(\ \)\left(\alpha\beta \right)x,\(\ \) \forall x\in X,\(\ \) \forall \alpha, \beta \in \mathbb P.
    • \alpha\left(x_{1}+x_{2} \right)=\(\ \)\alpha x_{1} + \alpha x_{2}, \(\ \)\forall \alpha \in \mathbb P,\(\ \) \forall x_{1}, x_{2} \in X,
    • \left(\alpha + \beta \right)x=\(\ \)\alpha x + \beta x,\(\ \) \mathcal{8} \alpha , \beta \in \mathbb P, \(\ \)\mathcal{8} x \in X.

Элементы поля \mathbb P называются скалярными, а множество X называется носителем векторов.

Следствия из аксиом

  1. \alpha \cdot 0=0, \forall \alpha \in \mathbb P
    Спойлер

    \alpha \cdot 0=\(\ \)\alpha \left(0 + 0 \right)=\(\ \)\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \mid + \left(-\alpha \cdot 0 \right)
    \alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)=\(\ \)\left(\alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0 \right) + \left(-\alpha \cdot 0 \right)
    0=\(\ \)\alpha \cdot 0 + \left(\alpha \cdot 0 + \left(-\alpha \cdot 0 \right)\right)=\(\ \)\alpha \cdot 0

    [свернуть]
  2. 0 \cdot x=0, \forall x \in X
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 1.

    [свернуть]
  3. \left(-\alpha \right)x=\(\ \)-\left(\alpha x \right), \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X
    Спойлер

    \left(-\alpha \right)x + \alpha x=\(\ \)\left(\left(-\alpha \right) + \alpha\right)x=\(\ \)0 \cdot x=\(\ \)0 \Rightarrow \left(-\alpha \right)x=\(\ \)-\left(\alpha x \right)

    [свернуть]
  4. \left(-1 \right)x=-x, \forall x \in X
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 3.

    [свернуть]
  5. \left(\alpha - \beta \right)x=\(\ \)\alpha x - \beta x, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x \in X
    Спойлер

    \left(\alpha + \left( -\beta\right)\right)x=\(\ \)\alpha x + \left(-\beta x\right)=\(\ \)\alpha x + \left(-\beta \right)x=\(\ \)\alpha x - \beta x

    [свернуть]
  6. \alpha \left(x - y \right)=\(\ \)\alpha x - \alpha y, \forall x,y \in X, \forall \alpha \in \mathbb P
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 5.

    [свернуть]
  7. \alpha x=\(\ \)0 \Leftrightarrow \alpha =\(\ \)0 \vee x=\(\ \)0, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x \in X
    Спойлер

    \alpha x=\(\ \)0 \Rightarrow Пусть \alpha \neq 0
    x=\(\ \)1 \cdot x=\(\ \)\left(\frac{1}{\alpha}\alpha \right)x=\(\ \)\frac{1}{\alpha}\left(\alpha x \right)=\(\ \)\frac{1}{\alpha}\cdot 0=\(\ \)0

    [свернуть]
  8. \alpha x=\(\ \)\alpha y \wedge \alpha \neq 0 \Rightarrow x=\(\ \)y, \forall \alpha \in \mathbb P, \forall x,y \in X
    Спойлер

    \alpha x=\(\ \)\alpha y \Rightarrow \alpha x - \alpha y=0 \Rightarrow \alpha \left(x - y \right)=\(\ \)0 \Rightarrow x - y=\(\ \)0 \Rightarrow x=y

    [свернуть]
  9. \alpha x=\(\ \)\beta y \wedge x \neq y \Rightarrow \alpha =\(\ \) \beta, \forall \alpha,\beta \in \mathbb P, \forall x,y \in X
    Спойлер

    Доказывается по аналогии со следствием 8.

    [свернуть]

Примеры:

  1. Пространства направленных отрезков, в частности, V_{1}, V_{2}, V_{3}
  2. \left(X, \mathbb P \right), X = M_{m\times n}\left(\mathbb P \right)
  3. \left(X, \mathbb P \right),X = \mathbb P \left[x \right]
  4. \left(X, \mathbb R \right), X = C_{\left[-1;1 \right]}
  5. \left(\mathbb C, \mathbb R \right), X=\mathbb C, \mathbb P=\mathbb R
  6. \left(\mathbb P, \mathbb P \right), X=\mathbb P, \mathbb P=\mathbb P

Литература:

  1. Белозеров Г.С. Конспект лекций
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра. М.:Физико-математическая литература, 2000, стр. 11-13
  3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.:Наука, 1984, стр. 301

Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

Тест для проверки знаний по теме: «Абстрактные линейные пространства»

Таблица лучших: Тест по теме "Абстрактные линейные пространства"

максимум из 3 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Лемма Гейне-Бореля

Лемма (Гейне – Бореля). Произвольный сегмент в \mathbb{R}^n является компактным множеством .

Доказательство. Обозначим через I = [a^1,b^1;...;a^n,b^n] – сегмент в \mathbb{R}^n. Докажем от противного. Пусть данный сегмент не является компактным. Тогда найдется такое открытое покрытие \Omega сегмента I, что никакое конечное подсемейство множеств из \Omega не покрывает I. Все стороны [a^i,b^i] сегмента I разделим пополам. Таким образом данный сегмент можно разбить на 2^n сегментов. По крайней мере один из них не покрывается конечным подсемейством множеств из \Omega. В противном случае, исходный сегмент I также мог бы быть покрытым конечным набором множеств из \Omega, что приводит к противоречию. Обозначим через I_1 тот из подсегментов I, который не может быть покрыт конечным набором множеств из \Omega. Каждую из сторон сегмента I_1 опять разделим пополам и среди полученных 2^n сегментов, на которые окажется разбитым I_1, возьмем тот, который не покрывается конечным подсемейством множеств из \Omega. Обозначим его через I_2 и так далее. Продолжая подобные действия, получим последовательность вложенных сегментов I \supset I_1 \supset I_2 \supset ... \supset I_{\nu} \supset ..., таких, что любой из сегментов I_{\nu} не может быть покрыт каким-либо конечным подсемейством множеств из \Omega. Заметим также, что diam \> I_{\nu} = \frac{diam \> I}{2^{\nu}} \mapsto 0 (\nu \mapsto \infty). Применив к полученной последовательности I_{\nu} лемму о вложенных сегментах, найдем точку x_0 \in I_{\nu} (\nu = 1,2,...). Поскольку x_0 \in I, а I покрыт семейством \Omega открытых множеств, то найдется такое открытое множество F \in \Omega, что x_0 \in F. Поскольку множество F открытое и точка x_0 \in F, то эта точка внутренняя в F. Это означает, что найдется такая окрестность B(x_0,\delta) точки x_0, которая целиком содержится во множестве F. Но поскольку диаметры сегментов I_{\nu} стремятся к нулю при \nu \mapsto \infty, то, начиная с какого-то номера \nu_0, они будут меньшими, чем \delta, то есть. diam \> I_{\nu} < \delta (\nu \geq \nu_0). Учитывая, что x_0 \in I_{\nu}, получаем, что I_{\nu} \subset B(x_0,\delta), а значит, I_{\nu} \subset F. Итак, мы получили, что при \nu \geq \nu_0 сегмент I_{\nu} содержится во множестве F. Но это противоречит выбору сегментов I_{\nu}, поскольку они были выбраны так, что никакое конечное подсемейство множеств из \Omega не покрывает I_{\nu}. Полученное противоречие завершает доказательство. \square

Литература:

Компактные множества

КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Пусть множество E \subset \mathbb{R}^n. Семейство открытых множеств \left\{G_{\alpha}\right\} называется открытым покрытием множества E, если каждая точка x \in E принадлежит хотя бы одному из множеств G_{\alpha}, т. е. если E \subset \bigcup_{\alpha}G_{\alpha}.

Определение. Множество E \subset \mathbb{R}^n называется компактным, если каждое его открытое покрытие содержит конечное подсемейство, также покрывающее множество E. Это подсемейство называется конечным подпокрытием.

Например, множество, состоящее из одной точки, двух точек или любого конечного набора точек, очевидно, компактное. Пусть E \subset \mathbb{R}^n. Диаметром множества E называется число diam \> E = sup_{x,y \in E} \left | x - y \right |, т. е. верхняя грань расстояний между всевозможными парами точек из E. Например, если E = \left [a^1,b^1;...;a^n,b^n \right ]n-мерный сегмент, то, очевидно, diam \> E = |b-a|, где a = (a^1,...,a^n), b = (b^1,...,b^n).

Лемма (о вложенных сегментах). Пусть  \left\{I_{\nu}\right\} – последовательность вложенных сегментов из  \mathbb{R}^n , т. е. I_1 \supset I_2 \supset...\supset I_{\nu} \supset..., диаметры которых стремятся к нулю при \nu \mapsto \infty. Тогда существует, и притом единственная, точка x_0, принадлежащая всем этим сегментам.
Доказательство. Пусть I_{\nu} = \left [a^1_{\nu},b^1_{\nu};...;a^n{\nu},b^n_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,...). При каждом фиксированном i = 1,...,n последовательность одномерных отрезков  \left [a^i_{\nu},b^i_{\nu} \right ] (\nu = 1,2,...) состоит из вложенных друг в друга отрезков, т. е. [a^i_1,b^i_1] \subset [a^i_2,b^i_2] \subset ... \subset [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] \subset ..., и длины этих отрезков стремятся к нулю при \nu \mapsto \infty. По лемме Кантора, для зафиксированного i найдется число x^i_0, такое, что x^i_0 \in [a^i_{\nu},b^i_{\nu}] (\nu = 1,2,...), т. е. a^i_{\nu} \leq x^i_0 \leq b^i_{\nu} (\nu = 1,2,...). Но тогда точка x_0 = (x^1_0,...,x^n_0), очевидно, принадлежит всем I_{\nu}. Двух различных точек, принадлежащих всем I_{\nu} одновременно, быть не может. Действительно, если {x}',{x}'' \in I_{\nu} (\nu = 1,2,...), то |{x}'-{x}''| \leq diam \> I_{\nu}. По условию правая часть стремится к нулю при \nu \mapsto \infty, так что {x}'={x}''.

Литература:

Компактные множества

Тест по теме «Компактные множества»

Таблица лучших: Компактные множества

максимум из 11 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных