Для равномерной сходимости несобственного интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ необходимо и достаточно выполнение условия Коши. А именно: $\forall \varepsilon > 0 \, \exists \eta < b$ такое, что $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon.$$
Доказательство
Необходимость
Пусть интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ равномерно сходится по параметру $y$ $\epsilon$ $Y$. Из определения получаем, что $\forall\varepsilon > 0$ найдется такое $\eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ , что $\forall \eta^\prime$ $\epsilon$ $[b,\eta)$ и для всех $y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство
$$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx \right| < \frac{\varepsilon}{2}.$$ При $\eta^\prime , \eta^{\prime\prime}$ $\epsilon$ $[\eta,b)$, $y$ $\epsilon$ $Y$ получим такое неравенство $$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| = \left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx — \int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq $$ $$\leq \left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx\right| + \left|\int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon,$$ а значит, что условие Коши выполнено.
Достаточность
Положим, что условие Коши выполняется. А это означает, что в силу критерия Коши несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится $\forall y$ $\epsilon$ $Y$. Докажем равномерную сходимость на $Y$. Рассмотрим неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon,$$ в котором устремим $\eta^{\prime\prime}$ к $b$, при этом $\eta^{\prime\prime} < b$. В результате для любого $\eta^{\prime} > \eta$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ получаем следующее: $$\left|\int\limits_{\eta^{\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq\varepsilon,$$ что и означает равномерную сходимость интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ на $Y$. $\Box$
Пример
Проверить интеграл на равномерную сходимость.
$$\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-yx^{2}}dx$$
Решение
Данный интеграл сходится $\forall y > 0$. Если он сходится равномерно, то для любых (фиксированных) $\eta^{\prime},\eta^{\prime\prime}\geq\eta$ и при всех $y>0$ выполняется неравенство
По теореме о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра, интеграл в левой части представляет собой непрерывную функцию переменной $y$. Отсюда $$F(y) \equiv \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}} e^{-yx^{2}}dx \rightarrow F(0) = \eta^{\prime\prime} — \eta^\prime (y \rightarrow 0).$$
Так как $F(y) <\varepsilon$, то и $F(0) = \lim\limits_{y \rightarrow 0}F(y) \leq\varepsilon$, что означает $\eta^{\prime\prime} — \eta^\prime \leq\varepsilon$. Однако из-за того, что $\eta^\prime,\eta^{\prime\prime}$ $\epsilon$ $[\eta, +\infty)$ можно выбрать таким образом, что $\eta^{\prime\prime} — \eta^\prime$ будет сколь угодно большим, неравенство $\bigstar$ не выполняется для всех $\eta^\prime,\eta^{\prime\prime}$ из полуинтервала $[\eta, +\infty)$. Значит, условие Коши для этого интеграла нарушено и он не является равномерно сходящимся. $\Box$
Пусть функция двух переменных $f(x,y)$ определена на данной области: $\{a \leq x < + \infty, c \leq y \leq d\}$ (см. рисунок), и при каждом фиксированном $y \, \epsilon \, [c,d]$ существует несобственный интеграл $ \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$, являющийся функцией от $y$. Тогда функция $I(y) = \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ $y \, \epsilon \, [c,d]$ называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра $y$. Также, интервал $[c,d]$ может быть бесконечным.
Возьмем функцию $f(x,y)$. Интеграл вида $ \int\limits_a^b f(x,y)\,dx$ является сходящимсяна множестве $Y$, при выполнении следующих условий:
$- \infty < a < b \leq + \infty $
функция $f(x,y)$ определена на $[a, b) \times Y$, где $Y$ является множеством параметров.
$ \forall \eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ функция $f(x,y)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a, \eta ]$.
Можно сделать вывод, что несобственный интеграл $ \int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится на $Y$, при условии, что $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое $\eta(y, \varepsilon) < b$, такое, что для любого $\eta^\prime \, \epsilon (\eta, b)$ выполняется неравенство $$\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b} f(x,y)dx\right| <\varepsilon .$$
Пусть [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] функций. Предположим, что в некоторой точке [latex]x\in \left[a;b\right][/latex] числовая последовательность [latex]\left \{ f_{n}(x_{0}) \right \}[/latex] сходится, а функциональная последовательность [latex]\left \{ f’_{n} \right \}[/latex] равномерно сходится на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда исходная последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] равномерно сходится на [latex]\left[a;b\right][/latex] к непрерывно дифференцируемой функции [latex]f[/latex], причем для любого [latex]x\in \left[a;b\right][/latex] справедливо равенство [latex]f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)[/latex].
Доказательство
Спойлер
Обозначим [latex]\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)[/latex]. По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций получаем, что функция [latex]\varphi[/latex] непрерывна на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Положим [latex]g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt[/latex]. Применим на отрезке с концами [latex]x_{0}[/latex] и [latex]x[/latex]теорему о предельном переходе под знаком интеграла к последовательности [latex]\left \{ f’_{n}(t) \right \}[/latex]. Тогда получим
[latex]g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))[/latex]
(последнее равенство справедливо в силу формулы Ньютона-Лейбница). По условию теоремы существует [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x_{0})[/latex]. Тогда из равенства [latex]g(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))[/latex] следует, что существует и [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)[/latex], т.е. мы показали, что последовательность [latex]\left \{ f_{n}(x) \right \}[/latex] сходится на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Обозначим [latex]f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)[/latex] и получим, что [latex]g(x)=f(x)-f(x_{0})[/latex], а так как функция [latex]g[/latex] дифференцируема (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции [latex]\varphi[/latex]) и [latex]g'(x)=\varphi (x)[/latex](в силу формулы Ньютона-Лейбница), то отсюда следует, что функция [latex]f[/latex] также дифференцируема и [latex]f'(x)=\varphi (x)[/latex], т.е. функция [latex]f[/latex] имеет производную, эта производная непрерывна и справедливо равенство [latex]f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)[/latex]. Осталось показать, что последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] сходится к функции [latex]f[/latex] равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Имеем
[latex]\left | f_{n}(x)-f(x) \right |\leq \left | (f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))-(f(x)-f(x_{0})) \right |+\left | f_{n} (x_{0})-f(x_{0})\right |[/latex].
Второе слагаемое справа мало при достаточно больших [latex]n[/latex], а первое оцениваем так:
[latex]\left | \int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt-\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt \right |=\left | \int_{x_{0}}^{x}(f’_{n}(t)-\varphi (t))dt \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f’_{n}(t)-\varphi (t) \right |dt[/latex].
Теперь остается учесть, что последовательность [latex]\left \{ f’_{n} \right \}[/latex] сходится к функции [latex]\varphi[/latex] равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex], и тем самым завершается доказательство теоремы.
[свернуть]
Теорема (о почленном дифференцировании ряда)
Пусть на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций [latex]\left \{ u_{n} \right \}[/latex], такая, что ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex] сходится в некоторой точке [latex]x\in \left[a;b\right][/latex], а ряд из производных [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u’_{n}(x)[/latex] сходится равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда исходный ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex] равномерно сходится на всем отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex], его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство [latex]\left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )’=\sum_{n=1}^{\infty }u’_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right])[/latex].
Доказательство
Спойлер
Для доказательства этой теоремы достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex].
[свернуть]
Теорема
Пусть на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] задана последовательность дифференцируемых функций [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex], сходящаяся в некоторой точке [latex]x\in \left[a;b\right][/latex] и такова, что функциональная последовательность [latex]\left \{ f’_{n} \right \}[/latex] сходится равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] равномерно сходится на всем отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] к некоторой функции [latex]f[/latex], причем эта функция [latex]f[/latex] дифференцируема на [latex]\left[a;b\right][/latex] и справедливо равенство $$f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$$.
Доказательство
Спойлер
Зададим [latex]\varepsilon > 0[/latex]. По критерию Коши, в силу равномерной сходимости последовательности [latex]\left \{ f’_{n} \right \}[/latex], существует такой номер [latex]N[/latex], что для всех [latex]n, m\geq N[/latex] и для любого [latex]x\in \left[a;b\right][/latex] справедливо неравенство $$\left | f’_{n}(x)-f’_{m}(x) \right |< \varepsilon$$
Обозначим [latex]\varphi _{n, m}(x)=f_{n}(x)-f_{m}(x)[/latex]. Тогда [latex]\left | \varphi {}’_{n,m}(x) \right |< \varepsilon[/latex] и, в силу формулы Лагранжа, $$\left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \left | \varphi {}'_{n,m}(\xi ) \right |\cdot \left | x-x_{0} \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |$$
Отсюда следует, что
$$\left | f_{n}(x)-f_{m}(x) \right |=\left | \varphi _{n,m}(x) \right |\leq \left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |+\left | \varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |+\left | f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0}) \right |$$
Из этого неравенства видно, что последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] удовлетворяет условию критерия Коши, а значит, она равномерно сходится. Обозначим [latex]f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)[/latex]. Далее, для [latex]n,m\geq N[/latex] имеем $$\left | \varphi _{n,m}(x+h)-\varphi _{n,m}(x) \right |\leq \varepsilon \left | h \right |\; \; \; \; \; (x, x+h\in \left [ a,b \right ])$$
Это неравенство можем переписать так: $$\left | \frac{f_{n}(x+h)-f_{n}(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon $$
Устремим [latex]n\rightarrow \infty [/latex] и тогда получим $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon \; \; \; \; \; (m\geq N)$$
Зафиксируем [latex]m\geq N[/latex] и найдем такое [latex]\delta >0[/latex], что для всех [latex]h[/latex], удовлетворяющих условию [latex]0< \left | h \right |< \delta [/latex], справедливо неравенство $$\left | \frac{f_{m}(x+b)-f_{m}(x)}{h} -f{}'_{m}(x)\right |< \varepsilon $$
Тогда получим, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_{m}(x) \right |< 2\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Если в неравенстве [latex]\left | f'_{n}(x)-f'_{m}(x) \right |< \varepsilon [/latex] ([latex]n, m\geq N[/latex]) перейдем к пределу при [latex]n\rightarrow \infty [/latex] (как уже доказано, он существует), то получим $$\left | \varphi (x)-f'_{m}(x) \right |\leq \varepsilon$$ где обозначено [latex]\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x)[/latex]. Отсюда следует, что $$\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\varphi(x) \right |< 3\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$$
Это означает, что существует $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x) \; \; \; \; \; \; (x \in \left[a;b\right])$$ .
Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
Нет рубрики0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
5
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1.
Найти сумму ряда $$\sum_{n=1}^{\infty}n{x}^{n-1}$$
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 5
2.
Найти область определения функционального ряда $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x^2}$$ и узнать, равномерно ли он сходится. (несколько правильных ответов)
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 5
3.
Расставить в правильном порядке исследование функционального ряда $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x^2}$$ на равномерную сходимость.
$$\frac{2\sqrt{\frac{n}{3}}}{(\frac{4n}{3})^{2}}=\frac{18}{16\sqrt{3}n^{\frac{3}{2}}}$$ сходится равномерно для всех x.
Поскольку ряд из производных сходится равномерно, то по теореме о дифференцировании, наш исходный ряд можно дифференцировать почленно.
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 5
4.
Имеем ли мы право утверждать, что равенство $$\left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )’=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}'(x)$$ справедливо, если доказано лишь то, что каждая функция из функционального ряда дифференцируема?
(да/нет)
(нет)
Правильно
Неправильно
Задание 5 из 5
5.
Для каждой функциональной последовательности или ряда указать промежутки равномерной сходимости
Пусть [latex]f_{n}[/latex] — последовательность интегрируемых на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] функций, поточечно сходящаяся к функции [latex]f[/latex]. Поставим вопрос об интегрируемости на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] предельной функции [latex]f[/latex] и справедливости равенства
$$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$
Следующие примеры показывают, что в общем случае и интегрируемости нет, и равенство не выполняется.
Пример 1
Пусть [latex]\left \{ r_{n} \right \}_{n=1}^{\infty }[/latex] — последовательность всех рациональных точек из отрезка [latex]\left[0;1\right][/latex]. Выразим:
$$f_{n}(x)=\left\{\begin{matrix}1,&x\in \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \},\\ 0,& x\in \left[0;1\right]\setminus \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \}\end{matrix}\right.$$
Тогда каждая функция [latex]f_{n}[/latex] интегрируема на отрезке [latex]\left[0;1\right][/latex], потому что она имеет лишь конечное число точек разрыва [latex]\left \{ r_{1},\cdots r_{n}\right \}[/latex]. С другой стороны, видно, что $$\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=D(x)$$ где D — функция Дирихле. Но как известно, функция Дирихле не интегрируема на отрезке [latex]\left[0;1\right][/latex].
Вывод: мы построили последовательность интегрируемых функций, сходящуюся к неинтегрируемой функции.
Замечание (для рядов)
Спойлер
Из примера 1 легко получить пример, который показывает, что сумма функционального ряда, слагаемые которого интегрируемы, не обязана быть интегрируемой.
Действительно, положим [latex]u_{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)[/latex], [latex]u_{1}(x)=f_{1}(x)[/latex], [latex]u_{2}(x)=f_{2}(x)-f_{1}(x)[/latex].
Частичные суммы ряда [latex]s_{n}(x)=f_{n}(x)[/latex]. И [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=f(x)[/latex].
[свернуть]
Пример 2
Положим [latex]f_{n}(0)=f_{n}(\frac{1}{n})=f_{n}(1)=0, f_{n}(\frac{1}{2n})=n[/latex], а на отрезках [latex]\left[0;\frac{1}{2n}\right], \left[\frac{1}{2n};\frac{1}{n}\right], \left[\frac{1}{n};1\right][/latex] функция [latex]f_{n}[/latex] — линейна. Мы видим, что [latex]\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=0,\; \forall x\in \left[0;1\right][/latex], так что предельная функция [latex]f(x)\equiv 0\; (x\in \left[0;1\right])[/latex] интегрируема и [latex]\int_{0}^{1}f(x)dx=0[/latex]. С другой стороны, очевидно, что [latex]\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\frac{1}{2}[/latex], поэтому предельный переход под знаком интеграла недопустим.
Вывод: даже если предельная функция интегрируема, то предел интегралов не обязан равняться интегралу от предельной функции.
Замечание (для рядов)
Спойлер
Пример 2 позволяет построить ряд из интегрируемых функций такой, что предельная функция интегрирума, но равенство не выполняется.
[свернуть]
Вывод (для рядов)
Воспользовавшись этими примерами мы показали, что нельзя почленно интегрировать сходящийся ряд, т.е. равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$
не верно. Потому что сумма поточечно сходящегося ряда из интегрируемых функций может оказаться неинтегрируемой функцией, а если даже сумма ряда будет функцией интегрируемой, то нужное равенство все равно нельзя гарантировать.
Пусть последовательность [latex] \left \{ f_{n}(x) \right \}[/latex] из непрерывных на отрезке [latex]\left[a;b\right ][/latex] функций, равномерно сходится к [latex]f(x)[/latex] на этом отрезке. Тогда существует $$ \lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx $$
Доказательство
Спойлер
По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций: f(x) – непрерывна на [a, b], а значит и интегрируема на этом отрезке. Воспользуемся определением равномерной сходимости: [latex]\forall \varepsilon > 0 \; \exists N \; \forall n\geq N[/latex] и [latex]\forall x\in \left [ a, b \right ][/latex] справедливо неравенство [latex]\left | f_{n}(x)-f(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}[/latex]. Проинтегрировав это неравенство, получаем, что при всех [latex]n\geq N : \left | \int_{a}^{b}f_{n}(x)dx — \int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f_{n}(x)-f(x) \right |dx< \frac{\varepsilon }{b-a}\left ( b-a \right )=\varepsilon [/latex]
Теорема доказана.
Пусть [latex]\left \{ u_{n} \right \}[/latex] — последовательность непрерывных на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] функций такова, что ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex] сходится равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда справедливо равенство $$\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$$
Доказательство
Спойлер
Действительно, функции [latex]f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)[/latex] непрерывны как суммы конечного числа непрерывных функций [latex]u_{k}[/latex], и последовательность [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex] сходится к функции [latex]f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)[/latex] равномерно на [latex]\left[a;b\right][/latex]. Тогда, по предыдущей теореме, $$\sum_{k=1}^{n}\int\limits_{a}^{b}u_{k}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx\rightarrow \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx.$$
[свернуть]
Следующая теорема является обобщением всех теорем об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.
Теорема
Пусть [latex]\left\{f_{n}\right\}[/latex] — последовательность интегрируемых на отрезке [latex]\left[a;b\right][/latex] функций, равномерно сходящаяся на этом отрезке к функции [latex]f[/latex]. Тогда предельная функция [latex]f[/latex] интегрируема на [latex]\left[a;b\right][/latex] и справедливо равенство $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$$
Доказательство
Спойлер
Оно проводится также, как в предыдущей теореме, при условии, что [latex]\int_{a}^{b}f(x)dx[/latex] существует. Поэтому достаточно доказать лишь интегрируемость на [latex]\left[a;b\right][/latex] функции [latex]f[/latex]. Для этого воспользуемся критерием интегрируемости в терминах колебаний, согласно которому функция [latex]f[/latex] интегрируема на [latex]\left[a;b\right][/latex] тогда и только тогда, когда [latex]\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0, \forall \prod[/latex] — разбиения отрезка [latex]\left[a;b\right][/latex], диаметр которого [latex]d\left ( \prod \right )< \delta [/latex], справедливо неравенство $$\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}< \varepsilon$$ где [latex]\omega _{i}(f)[/latex] — колебания функции [latex]f[/latex] частичных отрезках [latex]\left[x_{i};x_{i+1}\right][/latex]. Зададим [latex]\varepsilon > 0[/latex] и, пользуясь равномерной сходимостью последовательности [latex]\left \{ f_{n} \right \}[/latex], найдем такое N, что [latex]\forall n\geq N,\; \forall x\in \left [ a;b \right ][/latex] справедливо неравенство [latex]\left | f_{n}(x)-f(x) \right |< \varepsilon [/latex]. Если [latex]\forall n\geq N[/latex], то $$\left | f(x’)-f(x») \right |\leq \left | f(x’)-f_{n}(x») \right |+\left | f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right |+\left | f_{n}(x»)-f(x») \right |< \left | f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right |+2\varepsilon$$ Отсюда следует, что при любом разбиении [latex]\omega _{i}(f)\leq \omega _{i}(f_{n})+2\varepsilon [/latex], так что $$\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}\leq \sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f_{n})\Delta x_{i}+2\varepsilon \left ( b-a \right )$$ Первое слагаемое справа мало в силу интегрируемости [latex]f_{n}[/latex], т.е. [latex]\exists \delta > 0, \; \forall \prod ,\; d(\prod )< \delta [/latex], первое слагаемое справа будет меньшим, чем [latex]\varepsilon [/latex]. Поэтому, в силу критерия интегрируемости в терминах колебаний, получаем, что функция [latex]f[/latex] интегрируема на [latex]\left[a;b\right][/latex].
Выбрать правильные утверждения о ряде функций: $$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{(x+2)(x+3)}-…, x\in \left[0;+\infty \right]$$
(несколько правильных ответов)
Правильно
Неправильно
Задание 5 из 5
5.
Расставить в правильном порядке формулы в доказательство равномерной сходимости ряда:
Ряд функций 1)_______ , можно записать в виде 2)_______ , откуда его частичная сумма равна 3)_______ и 4)_______ . Таким образом, ряд сходится для всех [latex]x\in \left[0;+\infty \right][/latex] и имеет сумму 5)_______ . Далее, 6)________ , и наш ряд равномерно сходится к нулю на полуоси [latex]\left[0;+\infty \right][/latex].
Если каждому натуральному числу [latex]n[/latex] ставится в соответствие по некоторому закону функция [latex]f_n(x)[/latex], определенная на множестве [latex]E[/latex], то говорят, что на множестве [latex]E[/latex] задана функциональная последовательность [latex]\left \{f_n (x)\right \}[/latex]. Множество [latex]E[/latex] называется областью определения последовательности [latex]\left \{f_n (x)\right \}[/latex].
Если для некоторого [latex]x_0 \in E[/latex] числовая последовательность [latex]\left \{f_n (x_0) \right \}[/latex] сходится, то говорят, что последовательность функций [latex]\left \{f_n (x) \right \}[/latex] сходится в точке [latex]x_0[/latex]. Последовательность функций, сходящуюся в каждой точке [latex]x \in E[/latex], называют сходящейся на множестве [latex]E[/latex].
Если [latex]\underset {n \to \infty}{\lim} f_n(x) = f(x)[/latex] для всех [latex]x \in E[/latex], то говорят, что последовательность [latex]\left \{f_n (x) \right \}[/latex] на множестве [latex]E[/latex] сходится к функции [latex]f(x)[/latex]. Эту функцию называют предельной функцией последовательности.
Пусть задана последовательность функций [latex]\left \{ f_n(x) \right \}[/latex] и предельная функция [latex]f(x)[/latex]. Говорят, что последовательность функций равномерно сходится на множестве [latex]E[/latex] к функции [latex]f(x)[/latex] если
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|f_n(x)-f(x) \right| < \varepsilon .$$
Последовательность [latex]\left \{ f_n(x) \right \}[/latex] называется равномерно сходящейся на [latex]E[/latex], если существует функция [latex]f(x)[/latex], к которой она равномерно сходится.
Спойлер
Рассмотрим последовательность [latex]\left \{f_n(x) \right \}[/latex], [latex]f_n(x) = \frac{1}{n}x^n[/latex] на отрезке [latex]\left [ 0;1 \right ][/latex]. Она равномерно сходится на этом отрезке.
Действительно, так как [latex]0 < \frac{1}{n}x^n < \frac{1}{n}[/latex] и [latex]\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{1}{n} = 0[/latex], то для любой точности [latex]\varepsilon > 0[/latex] мы можем выбрать номер [latex] n_\varepsilon = \left \lceil \frac{1}{\varepsilon } \right \rceil + 1[/latex], начиная с которого все последующие члены ряда будут меньше [latex]\varepsilon[/latex], [latex]\left | f_n(x) \right | < \varepsilon[/latex]. Значит последовательность сходится равномерно к нулю на [latex]\left [ 0;1 \right ][/latex].
[свернуть]
Функциональные ряды
Аналогично вводим понятие функциональных рядов. Пусть каждому натуральному числу [latex]n[/latex] ставится в соответствие по некоторому закону функция [latex]u_n(x)[/latex], определенная на множестве [latex]E[/latex]. Формально говоря нам дана функциональная последовательность [latex]\left \{ u_n(x) \right \}[/latex].
Выражение вида [latex]u_{ 1 }(x)+u_2(x) +\dots +u_n(x) +\dots =\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)[/latex] называется функциональным рядом. Если для некоторого [latex]x_0 \in E[/latex] числовой ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)[/latex] сходится, то говорят, что функциональный ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)[/latex] сходится в точке [latex]x_0[/latex]. Функциональный ряд, сходящийся в каждой точке [latex]x \in E[/latex], называют сходящимся на множестве [latex]E[/latex].
Сумма [latex]n[/latex] первых членов ряда [latex]S_n(x) = \overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}u_k(x)[/latex] называется его частичной суммой. Заметим, что частичная сумма сама является функцией. Мы получаем функциональную последовательность [latex]\left \{ S_n(x) \right \}[/latex].
Спойлер
Изучим сходимость ряда
$$x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \dots + \frac{x^2}{(1+x^2)^n} + \dots,$$
Где [latex]x[/latex] — действительное число. Этот ряд сходится при всех [latex]x[/latex]. При [latex]x \neq 0[/latex] мы имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем [latex]q = \frac{1}{1+x^2}[/latex], [latex] 0 < q < 1[/latex]. Таким образом:
$$x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \dots + \frac{x^2}{(1+x^2)^n} + \dots = \frac{x^2}{1-\frac{1}{1+x^2}} = 1 + x^2 .$$
При [latex]x = 0[/latex] каждый член ряда равен нулю и тогда сумма всего ряда равна нулю.
[свернуть]
Равномерная сходимость функциональных рядов
Пусть задан функциональный ряд [latex]\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)[/latex], члены которого являются функциями, определенными на множестве [latex]E[/latex]. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве [latex]E[/latex], если последовательность его частичных сумм равномерно сходящаяся на множестве [latex]E[/latex]. Согласно определению равномерной сходимости последовательности функции, существует такая функция [latex]S(x)[/latex], что
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \varepsilon .$$
Обозначим [latex]S_n(x)-S(x)=r_n(x)[/latex] — [latex]n[/latex]-ый остаток ряда, получаем [latex]r_n(x) = \overset{\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}}u_k(x)[/latex]. Тогда условие сходимости ряда примет вид: $$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|r_n(x)\right| < \varepsilon .$$
Это означает, что какое бы мы маленькое [latex]\varepsilon[/latex] не взяли, начиная с некоторого номера [latex]n[/latex], [latex]n[/latex]-ый остаток ряда будет меньше этого [latex]\varepsilon[/latex].
Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда
Теорема
Если функциональный ряд [latex]\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)[/latex] равномерно сходится на множестве [latex]E[/latex], то последовательность его членов [latex]\left \{ u_n(x) \right \}[/latex] равномерно стремится к нулю на множестве [latex]E[/latex].
Доказательство
Обозначим частичные суммы ряда как [latex]S_n(x)[/latex], а сумму ряда (предельную функцию последовательности частичных сумм) как [latex]S(x)[/latex]. Согласно определению равномерной сходимости ряда
$$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \frac{\varepsilon}{2} ,$$
поэтому для [latex]\forall n \ge n_\varepsilon[/latex] справедливо также неравенство
$$\left| u_{ n+1 }(x) \right| =\left| S_{ n+1 }(x)-S_{ n }(x) \right| =\left| \left[ S_{n+1}(x)-S(x) \right] + \left[S(x) — S_n(x) \right] \right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon .$$
А это и означает равномерную сходимость к нулю последовательности [latex]\left \{ u_n(x) \right \}[/latex].
Частичная сумма [latex]S_n(x)=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}u_k(x)[/latex] функционального ряда [latex]\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)[/latex] является…
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 6
4.
Определить область сходимости ряда [latex]\overset {\infty}{\underset{n=1}{\sum}}\frac{n}{x^n}[/latex]
Правильно
Неправильно
Задание 5 из 6
5.
Как называется функция, к которой сходится некая функциональная последовательность?
Правильно
Неправильно
Задание 6 из 6
6.
Если функциональный ряд [latex]\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)[/latex] сходится на множестве [latex]E[/latex], то последовательность его членов [latex]\left \{ u_n(x) \right \}[/latex]…
Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Равномерная сходимость последовательностей и рядов
