Задача из журнала «Квант»(1981 выпуск №8)

Условие

Можно ли таблицу $10 \times 10$ клеток заполнить $100$ различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата $k \times k$ клеток $(2 \leq k \leq 10)$

a) Суммы $k$ чисел на его диагоналях были одинаковы?

б) Произведения $k$ чисел на его диагоналях были одинаковы?

Решение

Построение таблицы, при которых сумма его диагоналей были бы одинаковыми.

Назовем таблицу подходящей, если для любого квадрата $k \times k$ клеток $(2 \leq k \leq 10)$ суммы $k$ чисел на его диагоналях одинаковы. Примером подходящей таблицы является таблица ниже(убедитесь в этом). Заметим теперь, что если ко всем числам какой-либо строки подходящей таблицы прибавить одно и тоже число, то тогда таблица всё ещё останется подходящей.

В самом деле, если $k \times k$ не пересекается с измененной строкой, то суммы чисел на его диагоналях не меняются. В противном случает обе диагонали этого квадрата пересекаются с измененной строкой ровно по одной клетке, и суммы чисел, стоящих на его диагоналях, остаются равными.

Теперь легко построить таблицу, удовлетворяющую условию задачи. Для этого достаточно к строкам первой таблицы добавить некоторые числа так, чтобы в результате все числа таблицы оказались различными. Например, первую строку оставляем неизменной, ко второй добавляем $10$, к третьей $20$, и так далее. Полученная таблица удовлетворяет условию.

Видно, что построить таблицу, в которой сумма его диагоналей были бы равны, возможно.

Построение таблицы, при которых произведение его диагоналей были бы одинаковыми.

Для решение второго условия, необходимо всего лишь каждый элемент таблицы изменить на $a^k$, где $a$ — любое целое число. Пример, где $a=2$, показан в таблице ниже.

Проводим такую же операцию, добавляем числа так, чтобы все числа таблицы оказались различными, только к степени. То есть, прибавляем к степени второй строки $10$, к третьей $20$, и так далее. И получаем нужную нам таблицу.

Так что, построить таблицу, где произведения его чисел одинаковы, тоже можно.

А. Балинский

Дана таблица $latex n\times n $, столбцы которой пронумерованы числами от $latex 1 $ до $latex n $. В клетки таблицы расставляются числа $latex 1,2,\cdots,n $ так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовем клетку хорошей, если читсло в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких $latex n $ существует расстановка, в которй во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

Решение

Найдем общее количество хороших клеток. В первом столбце их $latex n-1 $ (все, кроме клетки с числом 1), во вторм их $latex n-2 $ (все, кроме клетки с числом 1 и 2) и т.д., в последнем столбце таких клкеток нет. Значит, всего их $latex (n-1)+(n-2)+\cdots +1=\frac{n(n-1)}{2} $

Поэтому в каждой строке их должно быть по $latex \frac{n-1}{2} $, следовательно, $latex n $ должно быт ьнечетным.

Приведем пример расстановки при нечетном $latex n $. Пусть в первой строке записаны числа в порядке $latex 1,n,n-1,n-2,\cdots,2 $

а каждая следующая строка является циклическим сдвигом предыдущей строки на 1 клетку (см.рис.). Очевидно, в любой строке и в любом столбце каждое из чисел $latex 1,2,\cdots,n $ встречается по одному разу. Рассмотрим $latex m $-ю строку ( $m\in \left \{ 1,2,\cdots,n \right \} $). В ее первых $latex m $ клетках стоят числа $latex 1,2,\cdots,m $ в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно $latex \left [\frac{m}{2} \right] $ хороших. В ее последних $latex n-m $ клетках(т.е. в столбцах с номерами $latex m+1,m+2,\cdots,n $) стоят числа $latex m+1,m+2,\cdots,n $ в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно $latex \left [\frac{n-m}{2} \right] $ хороших. Так как числа $latex m $ и $latex n-m $ разной четности, то в $latex m $-й строке ровно $latex \left [\frac{m}{2} \right]+\left [\frac{n-m}{2} \right]=\frac{m}{2}+\frac{n-m}{2}-\frac{1}{2}=\frac{n-1}{2} $ хороших клеток.