М696. О размещение чисел в таблице

Задача из журнала «Квант»(1981 выпуск №8)

Условие

Можно ли таблицу $10 \times 10$ клеток заполнить $100$ различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата $k \times k$ клеток $(2 \leq k \leq 10)$

a) Суммы $k$ чисел на его диагоналях были одинаковы?

б) Произведения $k$ чисел на его диагоналях были одинаковы?

Решение

Построение таблицы, при которых сумма его диагоналей были бы одинаковыми.

Назовем таблицу подходящей, если для любого квадрата $k \times k$ клеток $(2 \leq k \leq 10)$ суммы $k$ чисел на его диагоналях одинаковы. Примером подходящей таблицы является таблица ниже(убедитесь в этом). Заметим теперь, что если ко всем числам какой-либо строки подходящей таблицы прибавить одно и тоже число, то тогда таблица всё ещё останется подходящей.

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$

В самом деле, если $k \times k$ не пересекается с измененной строкой, то суммы чисел на его диагоналях не меняются. В противном случает обе диагонали этого квадрата пересекаются с измененной строкой ровно по одной клетке, и суммы чисел, стоящих на его диагоналях, остаются равными.

Теперь легко построить таблицу, удовлетворяющую условию задачи. Для этого достаточно к строкам первой таблицы добавить некоторые числа так, чтобы в результате все числа таблицы оказались различными. Например, первую строку оставляем неизменной, ко второй добавляем $10$, к третьей $20$, и так далее. Полученная таблица удовлетворяет условию.

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$11$ $12$ $13$ $14$ $15$ $16$ $17$ $18$ $19$ $20$
$21$ $22$ $23$ $24$ $25$ $26$ $27$ $28$ $29$ $30$
$31$ $32$ $33$ $34$ $35$ $36$ $37$ $38$ $39$ $40$
$41$ $42$ $43$ $44$ $45$ $46$ $47$ $48$ $49$ $50$
$51$ $52$ $53$ $54$ $55$ $56$ $57$ $58$ $59$ $60$
$61$ $62$ $63$ $64$ $65$ $66$ $67$ $68$ $69$ $70$
$71$ $72$ $73$ $74$ $75$ $76$ $77$ $78$ $79$ $80$
$81$ $82$ $83$ $84$ $85$ $86$ $87$ $88$ $89$ $90$
$91$ $92$ $93$ $94$ $95$ $96$ $97$ $98$ $99$ $100$

Видно, что построить таблицу, в которой сумма его диагоналей были бы равны, возможно.

Построение таблицы, при которых произведение его диагоналей были бы одинаковыми.

Для решение второго условия, необходимо всего лишь каждый элемент таблицы изменить на $a^k$, где $a$ — любое целое число. Пример, где $a=2$, показан в таблице ниже.

$2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ $2^7$ $2^8$ $2^9$ $2^{10}$
$2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ $2^7$ $2^8$ $2^9$ $2^{10}$
$2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ $2^7$ $2^8$ $2^9$ $2^{10}$
$2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ $2^7$ $2^8$ $2^9$ $2^{10}$
$2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ $2^7$ $2^8$ $2^9$ $2^{10}$
$2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ $2^7$ $2^8$ $2^9$ $2^{10}$
$2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ $2^7$ $2^8$ $2^9$ $2^{10}$
$2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ $2^7$ $2^8$ $2^9$ $2^{10}$
$2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ $2^7$ $2^8$ $2^9$ $2^{10}$
$2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ $2^7$ $2^8$ $2^9$ $2^{10}$

Проводим такую же операцию, добавляем числа так, чтобы все числа таблицы оказались различными, только к степени. То есть, прибавляем к степени второй строки $10$, к третьей $20$, и так далее. И получаем нужную нам таблицу.

$2^1$ $2^2$ $2^3$ $2^4$ $2^5$ $2^6$ $2^7$ $2^8$ $2^9$ $2^{10}$
$2^{11}$ $2^{12}$ $2^{13}$ $2^{14}$ $2^{15}$ $2^{16}$ $2^{17}$ $2^{18}$ $2^{19}$ $2^{20}$
$2^{21}$ $2^{22}$ $2^{23}$ $2^{24}$ $2^{25}$ $2^{26}$ $2^{27}$ $2^{28}$ $2^{29}$ $2^{30}$
$2^{31}$ $2^{32}$ $2^{33}$ $2^{34}$ $2^{35}$ $2^{36}$ $2^{37}$ $2^{38}$ $2^{39}$ $2^{40}$
$2^{41}$ $2^{42}$ $2^{43}$ $2^{44}$ $2^{45}$ $2^{46}$ $2^{47}$ $2^{48}$ $2^{49}$ $2^{50}$
$2^{51}$ $2^{52}$ $2^{53}$ $2^{54}$ $2^{55}$ $2^{56}$ $2^{57}$ $2^{58}$ $2^{59}$ $2^{60}$
$2^{61}$ $2^{62}$ $2^{63}$ $2^{64}$ $2^{65}$ $2^{66}$ $2^{67}$ $2^{68}$ $2^{69}$ $2^{70}$
$2^{71}$ $2^{72}$ $2^{73}$ $2^{74}$ $2^{75}$ $2^{76}$ $2^{77}$ $2^{78}$ $2^{79}$ $2^{80}$
$2^{81}$ $2^{82}$ $2^{83}$ $2^{84}$ $2^{85}$ $2^{86}$ $2^{87}$ $2^{88}$ $2^{89}$ $2^{90}$
$2^{91}$ $2^{92}$ $2^{93}$ $2^{94}$ $2^{95}$ $2^{96}$ $2^{97}$ $2^{98}$ $2^{99}$ $2^{100}$

Так что, построить таблицу, где произведения его чисел одинаковы, тоже можно.

А. Балинский

M2103

Дана таблица n\times n , столбцы которой пронумерованы числами от 1 до n . В клетки таблицы расставляются числа 1,2,\cdots,n так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовем клетку хорошей, если читсло в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких n существует расстановка, в которй во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

Решение

Найдем общее количество хороших клеток. В первом столбце их n-1 (все, кроме клетки с числом 1), во вторм их n-2 (все, кроме клетки с числом 1 и 2) и т.д., в последнем столбце таких клкеток нет. Значит, всего их (n-1)+(n-2)+\cdots +1=\frac{n(n-1)}{2}

Поэтому в каждой строке их должно быть по \frac{n-1}{2} , следовательно, n должно быт ьнечетным.

1 n n-1 \cdots 2
2 1 n \cdots 3
3 2 1 \cdots 4
\vdots \vdots \vdots \ddots \vdots
n-1 n-2 n-3 \cdots n
n n-1 n-2 \cdots 1

Приведем пример расстановки при нечетном n . Пусть в первой строке записаны числа в порядке 1,n,n-1,n-2,\cdots,2

а каждая следующая строка является циклическим сдвигом предыдущей строки на 1 клетку (см.рис.). Очевидно, в любой строке и в любом столбце каждое из чисел 1,2,\cdots,n встречается по одному разу. Рассмотрим m -ю строку ( $m\in \left \{ 1,2,\cdots,n \right \} $). В ее первых m клетках стоят числа 1,2,\cdots,m в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно \left [\frac{m}{2} \right] хороших. В ее последних n-m клетках(т.е. в столбцах с номерами m+1,m+2,\cdots,n ) стоят числа m+1,m+2,\cdots,n в обратном порядке, поэтому среди этих клеток ровно \left [\frac{n-m}{2} \right] хороших. Так как числа m и n-m разной четности, то в m -й строке ровно \left [\frac{m}{2} \right]+\left [\frac{n-m}{2} \right]=\frac{m}{2}+\frac{n-m}{2}-\frac{1}{2}=\frac{n-1}{2} хороших клеток.

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов
Интеграл Значение
\int dx x+C
\int a^xdx \frac{a^x}{\ln{a}}+C
\int e^xdx e^x+C
\int x^adx \frac{x^{a+1}}{a+1}+C
\int \frac{dx}{x} \ln|{x}|+C
\int \frac{dx}{2\sqrt{x}} \sqrt{x}+C
\int \cos xdx  \sin x+C
\int \sin xdx  -\cos x+C
\int  \mathop{\rm sh} dx  \mathop{\rm ch} x+C
 \int\mathop{\rm ch} xdx \mathop{\rm sh} x+C
\int \frac{dx}{\sin^2x}  \mathop{\rm tg} x + C
\int \frac{dx}{\mathop{\rm ch}^2x}  \mathop{\rm th} x+ C
\int \frac{dx}{\cos^2x}  \mathop{\rm -ctg}x +C
\int \frac{dx}{a^2+x^2} \frac{1}{a} \mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C=-\frac{1}{a}\mathop{\rm arctg}\frac{x}{a}+C
\int \frac{dx}{\mathop{\rm sh}^2x} \mathop{\rm -cth}+C
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}} \ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} \arcsin \frac{x}{a}+C=-\arccos\frac{x}{a}+C
\int \frac{dx}{a^2-x^2} \frac{1}{2a}\ln|\frac{a+x}{a-x}|+C
\int \frac{dx}{x^2-a^2} \frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C

Решите примеры:

  1. \int (2x-3)dx
    Спойлер

    x^2-3x+C

    [свернуть]
  2. \int \cos^2xdx 
    Спойлер

    \frac{1}{2}(x+\frac{1}{2}\sin2x)+C

    [свернуть]
  3. \int (2x-3)^2dx
    Спойлер

    \frac{4}{3}x^3-6x^2+9x+C

    [свернуть]

Литература

  1. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа. — М.: Дрофа; 2003, Т.1. Стр. 459
  2. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012

Тест

Для решения интегралов нужно знать таблицу первообразных (таблицу интегралов) и свойства интегралов. Попробуйте проверить свои знания.


Таблица лучших: Таблица основных интегралов

максимум из 22 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных