Последовательность $ \left\{x’_n \right\}_{n=1}^\infty $ ограничена и поэтому имеет подпоследовательность $ \left\{x’_{n_{i}} \right\}_{i=1}^\infty $, которая сходится к элементу $ x_0 $, причем что $ x_0~\epsilon~[a,b] $. Тогда для подпоследовательности $ \left\{x»_{n_{i}} \right\}_{n=1}^\infty $ $ x_0~\epsilon~[a,b] $ так же является пределом.
По условию теоремы $ f $ — непрерывна на $ [a,b] $, поэтому
Функция $f$ определенна на множестве $X\subset R^{n}$ называется равномерно непрерывной на $X,$ если $\forall\varepsilon > 0,$ $\exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0,$ что для любых двух точек $x, y \in X,$ удовлетворяющих условию $\rho(x, y) < \delta,$ выполняется неравенство $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$.
Теорема Кантора
Если функция $f$ определенна и непрерывна на компактном множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве.
Спойлер
Пусть функция $f$ определена и непрерывна на компактном множестве $M\subset R^{n}$.
такое, что если $x\in M,$ то$\rho(x_{0}, x)<\delta’,$ то $|f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon’$. Выберем произвольное $\varepsilon>0$ и положим $\varepsilon’=\frac{\varepsilon}{2}$. Построим для каждой точки $x_{0}\in M$ окрестность
Объединение таких окрестностей покрывает множество $K$. Поскольку $K$ — компактное множества, то из построенного открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие $\left \{U(x_{k}, \frac{\delta’_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m}$ такое, что
Положим $\delta= min(\frac{\delta’_{1}}{2}, … , \frac{\delta’_{m}}{2})$. Возьмем произвольные точки $x, y \in M,$ для которых $\rho<\delta$. Поскольку $M$ покрывается системой $\left \{U(x_{k}, \frac{\delta’_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m},$ то найдется такой номер $k_{0},$ что $x\in U(x_{k_{0}}, \frac{\delta’_{k_{0}}}{2})$. Тогда $\rho(x_{k_{0}}, x)< \frac{\delta’_{k_{0}}}{2}$ и $\rho(x_{k_{0}}, y) \le$ $\rho(x_{k_{0}}, x) + $ $\rho(x_{k_{0}}, y)<$ $\frac{\delta’_{k_{0}}}{2}+\delta<$ $\delta’_{k_{0}}$. Следовательно
Тест по теме: «Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 4
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
Нет рубрики0%
максимум из 8 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 4
1.
Количество баллов: 2
Сопоставить
Элементы сортировки
$f(x)=\frac{1}{x}$ на $(0; 1)$
$f(x)=x+\sin x$ на $\mathbb{R}$
$x^{2}$ на $[-a; a]$
Непрерывная, но не равномерно непрерывная на компактном множестве
Равномерно непрерывная на $\mathbb{R}$
Равномерно непрерывная на $[-a,a]$
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 4
2.
Количество баллов: 2
Всегда ли непрерывная функция на некотором множестве равномерно непрерывна на этом множестве? (да/нет)
Правильно
Легко видеть, что равномерная непрерывная на множестве непрерывна на ней. Наоборот, если функция непрерывна на некотором множестве, то она не обязательно равномерно непрерывна на этом множестве. Так например [latex]f(x, y) = x^{2}+y^{2}[/latex] на [latex]\mathbb{R}^{2}[/latex]
Неправильно
Легко видеть, что равномерная непрерывная на множестве непрерывна на ней. Наоборот, если функция непрерывна на некотором множестве, то она не обязательно равномерно непрерывна на этом множестве. Так например [latex]f(x, y) = x^{2}+y^{2}[/latex] на [latex]\mathbb{R}^{2}[/latex]
Задание 3 из 4
3.
Количество баллов: 2
Если функция [latex]f[/latex] определенна на множестве [latex]X\subset R^{n}[/latex] и [latex]\forall\varepsilon > 0[/latex] [latex]\exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0[/latex], что для любых двух точек [latex]x, y \in X[/latex], удовлетворяющих условию [latex]\rho(x, y) < \delta[/latex], выполняется неравенство [latex]|f(x)-f(y)|<\varepsilon[/latex], то функция [latex]f[/latex] называется
Правильно
Неправильно
Задание 4 из 4
4.
Количество баллов: 2
Согласно теореме Кантора функция равномерно непрерывна на некотором компактном множестве обладает свойствами:
Таким образом $latex \forall a_{n}\in A,b_{m}\in B:a_{n}\leq b_{m} $. Тогда по аксиоме непрерывности: $latex \exists \ c, \forall \ n,m\in \mathbb{N}:a_{n}\leq c\leq b_{m}\Rightarrow \forall n\in \mathbb{N} \ c\in I_{n} $.
Единственность:
Предположим противное,пусть существуют две различные точки $latex {c},{c}’ $, принадлежащие всем отрезкам последовательности $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}$ то есть:
$latex \forall n\in \mathbb{N} \ \exists \ c,c’\in I_{n} $ . Так, как $latex c\neq {c}’$, то либо $latex c<{c}’ $ либо $latex c>{c}’ $.
Не ограничивая общности, предположим, что $latex c<{c}’ $.
Тогда мы имеем: $latex \forall \ n\in \mathbb{N} \ a_{n}\leq c<c’\leq b_{n} $. То есть $latex 0<c-{c}'<b_n-a_n$. Так, как$latex \underset{n\to\infty}{\lim}(b_n-a_n)=0\Rightarrow 0 \leq {c}’-c\leq 0\Rightarrow $$latex {c}’-c=0\Rightarrow c={c}’ $.
Противоречие! Следовательно, наше предположение, что существуют две различные точки $latex {c},{c}’ $, принадлежащие всем отрезкам последовательности $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}$ неверно, значит $latex \exists ! \ c \in I_{n} \forall n\in \mathbb{N}.$
Замечание:
Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы.
В самом деле,легко видеть,что последовательность вложенных друг в друга интервалов $latex (0,\frac{1}{n})$ не имеет общих точек,поскольку $latex \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right) = \varnothing $
Пример:
Доказать, что если система вложенных сегментов $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:$$latex (I_{1}\supset I_{2}\supset… ), $$latex \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2…\ ,$ причём $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon $, то последовательности $latex \left \{ {a_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ и $latex \left \{ {b_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ (последовательности верхних и нижних граней сегментов) сходящиеся, причём $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c $.
Спойлер
Исходя из доказательства теоремы Коши-кантора, а именно из того, что $latex \exists ! \ c \forall \ n,m\in \mathbb{N}:a_{n}\leq c\leq b_{m} $, следовательно $latex c=\sup \{a_n\}=\inf \{b_n\}$ по определению точных верхней и нижней грани. Вычтем $latex a_n$ из неравенства, и по теореме о трех последовательностях получим: $latex \underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{0}}}\leq c-a _{n} \leq \underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{b_n-a_n}}}$, следовательно, по теореме о сходящейся последовательности, имеем $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=c$. Доказательство для последовательности $latex \left \{ b_{n} \right \} _{n=1}^{\infty}$ проводится аналогично.
Доказано, что обе последовательности сходящиеся и выполняется следующие равенство: $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c $.
[свернуть]
Доказать, что теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках не выполняется на множестве $latex \mathbb{Q}$.
Спойлер
Возьмём множество рациональных чисел $latex \mathbb{Q}$, как известно, $latex \sqrt{3}\not{\in}\mathbb{Q}$. Рассмотрим последовательность отрезков: $latex \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} = $$latex \left \{ \right. \left [ 1;2 \right ],\left [ 1.7;1.8 \right ],\left [ 1.73;1.74 \right ],… \left. \right \},$ построим её так, чтобы концы этих отрезков были десятичные приближения иррационального числа $latex \sqrt{3}$ с недостатком в нижней границе и избытком в верхней границе, с разностью $latex 1/10^n,\ n \in \mathbb{N} .$ По предыдущей теореме мы знаем, что $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c$ (пределы нижних и верхних границ совпадают с единственной точкой, принадлежащей всем отрезкам). Также ясно, что пределы наших верхних и нижних границ стремятся к $latex \sqrt{3},$ однако $latex \sqrt{3}\not{\in}\mathbb{Q}.$ Доказано, что на множестве, которое не является полным, теорема Коши-Кантора не выполняется.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Математический анализ0%
максимум из 30 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
4
5
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1.
Количество баллов: 5
Каким условиям накладываются на множество, чтобы на нём выполнялась теорема Коши-Кантора?
Задание 2 из 5
2.
Количество баллов: 10
Заполните пропуски в формулировке теоремы Кантора о вложенных отрезках.
Если последовательность сегментов (отрезков) (стягивающаяся, является стягивающейся, сходящаяся, сходится, стягивается) , то существует точка С принадлежащая всем отрезкам, причем (единственная, только одна, одна, 1).
Задание 3 из 5
3.
Количество баллов: 5
Какие условия должны выполнятся, чтобы последовательность отрезков [latex]I_{n}=[a_{n},b_{n}][/latex], называлась сходящейся?
Задание 4 из 5
4.
Количество баллов: 5
Можно ли заменить в формулировке теоремы отрезки (сегменты) на открытые интервалы?
Подсказка
Необходимо вспомнить замечание к теореме и рассмотреть случай, когда $latex I_{n}=(0,\frac{1}{n})$.
Задание 5 из 5
5.
Количество баллов: 5
В какой части доказательства теоремы мы опирались на аксиому непрерывности?
Таблица лучших: Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках