Теорема Кантора

Если функция f определена и непрерывна на сегменте [a,b] , то она равномерно непрерывна на [a,b] .

Доказательство

Проведем доказательство методом от противного. Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b] , тогда

\exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 \exists~ x',~x''~ \epsilon~[a,b] , |x'-x''| < \delta : |f(x') - f(x'')| \geq \varepsilon .

Выберем последовательность \delta_n = \frac{1}{n} , n = \overline{1,+\infty} . Согласно допущению, найдутся такие последовательности \left\{x'_n \right\}_{n=1}^\infty , \left\{x''_n \right\}_{n=1}^\infty , что:

x'_n,~x''_n~\epsilon~[a,b] , |x'_n-x''_n|<\delta_n = \frac{1}{n} : |x'-x''| < \delta : |f(x'_n) - f(x''_n)| \geq \varepsilon .

Последовательность \left\{x'_n \right\}_{n=1}^\infty ограничена и поэтому имеет подпоследовательность \left\{x'_{n_{i}} \right\}_{i=1}^\infty , которая сходится к элементу x_0 , причем что x_0~\epsilon~[a,b] . Тогда для подпоследовательности \left\{x''_{n_{i}} \right\}_{n=1}^\infty x_0~\epsilon~[a,b] так же является пределом.

По условию теоремы f — непрерывна на [a,b] , поэтому

\lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x'_{n_{i}}) = f(x_0) = \lim\limits_{i\rightarrow \infty} f(x''_{n_{i}}) .

Это противоречит тому, что |f(x'_{n_{i}}-f(x''_{n_{i}})| \geq \varepsilon > 0 , \forall i = \overline{1,+\infty}.

Это противоречие и доказывает теорему.

\blacksquare

Решим таким же методом, каким было проведено доказательство теоремы, пример.

Спойлер

Доказать, что ограниченная и непрерывная функция f(x)=\sin{\frac{\pi}{x}} не является равномерно непрерывной на (0,1) .

f(x) — ограничена и непрерывна. Тогда \exists \varepsilon > 0,~ \forall \delta > 0 \exists~ x',~x''~ \epsilon~(0,1) |x'-x''| < \delta : |f(x') - f(x'')| \geq \varepsilon . Выберем такие подпоследовательности x'_n = \frac{1}{n},~x''_n = \frac{2}{2n-1} .

|f(x') - f(x'')| = |\sin{\pi n} - \sin{\frac{(2n-1)\pi}{2}}| = 1 .
|x' - x''| = |\frac{1}{n} - \frac{2}{2n-1} = |\frac{2n-1-2n}{n(2n-1)}| = \frac{1}{n(2n-1)} \rightarrow 0 .

\exists \varepsilon = 1 ~ \forall \delta можно выделить такие подпоследовательности x'_n=\frac{1}{n},~x''_n = \frac{2}{2n-1} |x'_n-x''_n| < \frac{1}{n} .

n > \frac{1}{\delta} : |f(x'_n)-f(x''_n)| = 1 \geq \varepsilon . Следовательно, функция не является равномерно непрерывной на (0,1) .

[свернуть]

Список использованной литературы:

Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

Определение

Функция f определенна на множестве X\subset R^{n} называется равномерно непрерывной на X, если \forall\varepsilon > 0, \exists\delta = \delta(\varepsilon) > 0, что для любых двух точек x, y \in X, удовлетворяющих условию \rho(x, y) < \delta, выполняется неравенство |f(x)-f(y)|<\varepsilon.

Теорема Кантора

Если функция f определенна и непрерывна на компактном множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве.

Спойлер

Пусть функция f определена и непрерывна на компактном множестве M\subset R^{n}.

\forall x_{0} \in M, \forall \varepsilon' > 0, \exists \delta' = \delta'(x_{0}, \varepsilon')>0

такое, что если x\in M, то\rho(x_{0}, x)<\delta', то |f(x_{0})-f(x)|<\varepsilon'. Выберем произвольное \varepsilon>0 и положим \varepsilon'=\frac{\varepsilon}{2}. Построим для каждой точки x_{0}\in M окрестность

U(x_{0}, \frac{\delta'}{2})= U(x_{0}, \frac{\delta'(x_{0}, \varepsilon')}{2})

Объединение таких окрестностей покрывает множество K. Поскольку K — компактное множества, то из построенного открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие \left \{U(x_{k}, \frac{\delta'_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m} такое, что

K \subset \underset{k=1}{\overset{m}{\bigcup}}U(x_{k}, \frac{\delta'_{k}}{2}).

Положим \delta= min(\frac{\delta'_{1}}{2}, ... , \frac{\delta'_{m}}{2}). Возьмем произвольные точки x, y \in M, для которых \rho<\delta. Поскольку M покрывается системой \left \{U(x_{k}, \frac{\delta'_{k}}{2})\right \}_{k=1}^{m}, то найдется такой номер k_{0}, что x\in U(x_{k_{0}}, \frac{\delta'_{k_{0}}}{2}). Тогда \rho(x_{k_{0}}, x)< \frac{\delta'_{k_{0}}}{2} и \rho(x_{k_{0}}, y) \le \rho(x_{k_{0}}, x) + \rho(x_{k_{0}}, y)< \frac{\delta'_{k_{0}}}{2}+\delta< \delta'_{k_{0}}. Следовательно

|f(x)-f(y)|\le |f(x)-f(x_{k_{0}})| +  |f(x_{k_{0}})-f(y)|< \varepsilon'+ \varepsilon' = \varepsilon

[свернуть]

Тест

Тест по теме: «Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора»

Таблица лучших: Равномерная непрерывность функции. Теорема Кантора

максимум из 8 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники

Г.М. Фихтенгольц  Курс дифференциального интегрального исчисления т.1 (стр. 370-371)

Г. М. Вартанян. Конспект лекцiй з математичного аналiзу. Одеса 2009 (стр. 11-12).

 

Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках



Формулировка

Пусть дана система вложенных сегментов \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:(I_{1}\supset I_{2}\supset... ), \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2... , тогда \exists \ c \in \mathbb{R} : \forall \ n \in \mathbb{N}, c\in I_{n} , то есть c\in \bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n} . Причём, если $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon $, то такая точка одна.


Стягивающаяся последовательность

Доказательство

Существование:

Рассмотрим множества верхних и нижних граней отрезков (сегментов) \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}: A=\left \{ a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty},B=\left \{ b_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} . Возьмём два числа n,m\in \mathbb{N} :

  1. n=m\Rightarrow a_{n}<b_{m} (по определению сегмента);
  2. $latex n
  3. n>m \Rightarrow a_{n}\leq b_{n}\leq ...\leq b_{m+1}\leq b_{m}

Таким образом \forall a_{n}\in A,b_{m}\in B:a_{n}\leq b_{m} . Тогда по аксиоме непрерывности: \exists \ c, \forall \ n,m\in \mathbb{N}:a_{n}\leq c\leq b_{m}\Rightarrow \forall n\in \mathbb{N} \ c\in I_{n} .

Единственность:

Предположим противное,пусть существуют две различные точки {c},{c}' , принадлежащие всем отрезкам последовательности \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} то есть:

\forall n\in \mathbb{N} \ \exists \ c,c'\in I_{n} . Так, как c\neq {c}', то либо c<{c}' либо c>{c}' .

Не ограничивая общности, предположим, что c<{c}' .

Тогда мы имеем: \forall \ n\in \mathbb{N} \ a_{n}\leq c<c'\leq b_{n} . То есть 0<c-{c}'<b_n-a_n. Так, как\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n-a_n)=0\Rightarrow 0 \leq {c}'-c\leq 0\Rightarrow {c}'-c=0\Rightarrow c={c}' .

Противоречие! Следовательно, наше предположение, что существуют две различные точки {c},{c}' , принадлежащие всем отрезкам последовательности \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} неверно, значит \exists ! \ c \in I_{n} \forall n\in \mathbb{N}.

Замечание:

Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы.

В самом деле,легко видеть,что последовательность вложенных друг в друга интервалов (0,\frac{1}{n}) не имеет общих точек,поскольку \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \left( 0, \frac{1}{n} \right) = \varnothing

Пример:

  1. Доказать, что если система вложенных сегментов \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty}:(I_{1}\supset I_{2}\supset... ), \ I_{n}=\left [ a_{n},b_{n} \right ], n=1, 2...\ , причём $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_{0}\in \mathbb{N} \ \forall n > n_{0} :(b_{n}-a_{n}) < \varepsilon $, то последовательности $latex \left \{ {a_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ и $latex \left \{ {b_{n}} \right \}_{n=1}^{\infty}$ (последовательности верхних и нижних граней сегментов) сходящиеся, причём $latex \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c $.

    Спойлер

    Исходя из доказательства теоремы Коши-кантора, а именно из того, что \exists ! \ c \forall \ n,m\in \mathbb{N}:a_{n}\leq c\leq b_{m} , следовательно c=\sup \{a_n\}=\inf \{b_n\} по определению точных верхней и нижней грани. Вычтем a_n из неравенства, и по теореме о трех последовательностях получим: \underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{0}}}\leq c-a _{n} \leq \underset{\underset{0}{\downarrow}}{{\underbrace{b_n-a_n}}}, следовательно, по теореме о сходящейся последовательности, имеем \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=c. Доказательство для последовательности \left \{ b_{n} \right \} _{n=1}^{\infty} проводится аналогично.

    Доказано, что обе последовательности сходящиеся и выполняется следующие равенство: \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c .

    [свернуть]
  2. Доказать, что теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках не выполняется на множестве \mathbb{Q}.

    Спойлер

    Возьмём множество рациональных чисел \mathbb{Q}, как известно, \sqrt{3}\not{\in}\mathbb{Q}. Рассмотрим последовательность отрезков: \left \{ I_{n} \right \}_{n=1}^{\infty} = \left \{  \right. \left [ 1;2 \right ],\left [ 1.7;1.8 \right ],\left [ 1.73;1.74 \right ],... \left.  \right \}, построим её так, чтобы концы этих отрезков были десятичные приближения иррационального числа \sqrt{3} с недостатком в нижней границе и избытком в верхней границе, с разностью 1/10^n,\ n \in \mathbb{N} . По предыдущей теореме мы знаем, что \underset{n\to\infty}{\lim}(a_n)=\underset{n\to\infty}{\lim}(b_n)=c (пределы нижних и верхних границ совпадают с единственной точкой, принадлежащей всем отрезкам). Также ясно, что пределы наших верхних и нижних границ стремятся к \sqrt{3}, однако \sqrt{3}\not{\in}\mathbb{Q}. Доказано, что на множестве, которое не является полным, теорема Коши-Кантора не выполняется.

    [свернуть]

Литература:

  1. Вартанян Г. М. Математический анализ (стр. 10-15, 9)
  2. В.И.Коляда, А.А.Кореновский, Курс лекций по математическому анализу К93: в 2-х ч. Ч.1.-Одесса: Астропринт, 2009 (стр 20-21, 28-29)
  3. Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001. (стр.54 )

Тест

Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках.


Таблица лучших: Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных