Формулировка
Пусть $ U \subset \mathbb{R}^{n}$ — открытая окрестность точки $ x \in \mathbb{R}^{n}$ и функция $ f: U \rightarrow \mathbb{R}$ имеет в $ U $ непрерывные частные производные по всем переменным до порядка $m$ включительно.
Пусть также $ h \in \mathbb{R}^{n}$ и $ \left[ x..x+h \right] \subset U$ . Тогда справедливо представление
$$
f\left( x+h \right) — f\left( x \right) =
\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{k!}
\sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f }{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_k} } \left( x \right)
h_{i_1} \cdots h_{i_k} +
o \left(\left| h \right|^m\right)
$$
при $ \left| h \right| \rightarrow 0 $, где $ \left| h \right| = \sqrt{h_{1}^{2} + \cdots h_{n}^{2}}$.
Доказательство
В условиях текущей теоремы справедлива теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
$$ f\left( x+h \right) — f\left( x \right) = \sum_{k=1}^{m-1} \frac{1}{k!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \frac{\partial^{k}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{k}} } \left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{k}} + r_{m}\left(x\right) ~~~~~~~~~~ \left( * \right) $$
где при некотором $ \theta \in \left(0 .. 1 \right)$
$$ r_{m}\left(x\right) = \frac{1}{m!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{m}=1}^{n} \frac{\partial^{m}f }{\partial x_{i_{1}} \cdots \partial x_{i_{m}} } \left( x + \theta h \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} $$
По условию, все производные функции $ f $ до порядка $ m $ включительно непрерывны в окрестности $ U $. Значит, справедливо представление
$$ \frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_m}} \left( x + \theta h \right) = \frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_m}}\left( x \right) + \alpha_{i_1, \cdots i_m}\left( x \right) $$
где каждая из функций $ \alpha_{i_1, \cdots i_m}$ является бесконечно малой при $ \left| h \right| \rightarrow 0 $.
При каждом $ i = \overline{1,m} $, очевидно, справедливо неравенство
$$ \left| h_i \right| = \sqrt{h_{i}^{2}} \leq \sqrt{h_{1}^{2} + \cdots h_{n}^{2}} = \left| h \right| ~~~ \Rightarrow ~~~ \left|h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} \right| \leq \left| h \right| ^ m ~~~~~~~~~~ \left( ** \right)$$
А тогда при $ \left| h \right| \rightarrow 0 $ имеем:
$$ \alpha_{i_1, \cdots i_m}\left(x\right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} = {o}\left(\left| h \right|^m\right) ~~~ \Rightarrow ~~~ \sum_{i_{1},\cdots,i_{k}=1}^{n} \alpha_{i_1, \cdots i_m} \left(x\right)h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} = {o}\left(\left| h \right|^m\right) ~~~~~~~~~~ \left( *** \right)$$
Подставим $ \left( ** \right) $ и $ \left( *** \right) $ в исходную формулу для остатка в форме Лагранжа: при $ \left| h \right| \rightarrow 0 $
$$ r_{m}\left(x\right) = \frac{1}{m!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{m}=1}^{n} \frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_m}}\left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} + \frac{1}{m!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{m}=1}^{n} \alpha_{i_1, \cdots i_m}\left(x\right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} = $$
$$ = \frac{1}{m!} \sum_{i_{1},\cdots,i_{m}=1}^{n} \frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \cdots \partial x_{i_m}}\left( x \right) h_{i_{1}} \cdots h_{i_{m}} + {o}\left(\left| h \right|^m\right) $$
Наконец, подставив полученное выражение для остатка в формулу $ \left( * \right) $, получим доказываемую формулу.
Примеры
Рассмотрим два разложения по формуле Тейлора с остатком в форме Пеано в окрестности нуля: при $ x^2 + y^2 \rightarrow 0 $
$ e^{x^2 + y} = 1 + y + x^2 + \frac{1}{2}y^2 + x^2 y + \frac{1}{6}y^3 + {o}\left(\left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)^3\right) $
$ e^x \sin y = y + xy — \frac{1}{6}y^3 + \frac{1}{2}x^2 y + {o}\left(\left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)^3\right) $
Литература
- Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, ФИЗМАТЛИТ, 2001, стр. 555-557
- Коляда В.И., Кореновский А.А., Курс лекций по математическому анализу, Астропринт, 2009, часть I, стр. 292-293
Тест для закрепления материала
