Processing math: 100%

Векторное произведение векторов, свойства, координатное представление

Векторное произведение векторов

Определение. Если наблюдатель, идя против часовой стрелке сначала встречает вектор c, затем встречает вектор a, затем вектор b, то тройка векторов {a,b,c} называется правой (рис. 1), если же наблюдатель шел по часовой стрелке и встретил вектора в той же последовательности, то тогда тройка векторов {a,b,c} называется левой.

Определение с использованием руки (мнемоническое правило). Если обозначить указательный палец как a, средний палец как b, а большой палец как их произведение, т.е. c, то расположение пальцев на правой руке является правой тройкой векторов, а на левой руке левой тройкой векторов.

На рисунке 1 показано как будет выглядеть правая тройка векторов.

рис. 1

Определение. Векторным произведением неколлинеарных векторов a и b называется вектор c, такой, что

  1. |c|=|a||b|sinφ, где φ — угол между векторами a и b;
  2. Вектор c ортогонален вектору a и вектору b;
  3. Тройка векторов {a,b,c} правая.

Векторное произведение a и b обозначается как [a,b].

Свойства векторного произведения

  • [a,b]=[b,a] (антикоммутативность).

    Смотря на определение видно, что произведения a×b и b×a имеют одинаковую длину. Так же они имеют противоположное направление из-за того, что sinφ нечетен.

  • [λa,b]=λ[a,b] (ассоциативность).

    Докажем данное св-во для случая λ>0, а для λ<0, доказательство проводится аналогично. Легко заметить, что при λ>0 вектор λ(a×b) имеет то же направление, что и a×b (обратное при λ<0). Теперь нам надо доказать равенство длин этих произведений. |(a×b)|=|λ||a×b|=λ|a||b|sin(a;b), |(λa)×b|=|λa||b|sin(a;b)=λ|a||b|sin(a;b).

  • a×(b+c)=a×b+a×c (дистрибутивность).
  • Условие коллинеарности векторов.

    Для того, чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору. ab,|a|0,|b|0a×b=0.

    Необходимость. Очевидно, что если вектора a и b коллинеарны, то синус угла между ними равен нулю, отсюда видим, что по определению, векторное произведение равно нулю.
    Достаточность. Теперь докажем в обратную сторону: если a×b=0, то |a||b|sin(a;b)=0 один из сомножителей равен нулю. Так как ни один из векторов не равен нулю, то sin(a;b)=0, т.е. либо ^(a;b)=0, либо ^(a;b)=π и значит ab.

    Следствие: векторный квадрат равен нулевому вектору.

  • Геометрический смысл векторного произведения.

    Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма построенного на перемножаемых векторах (рис. 2).

    Если посмотреть векторного произведения |a×b|=|a||b|sin(a;b), то мы видим общеизвестную формулу площади параллелограмма со сторонами, длины которых равны |a| и |b|.

    рис. 2

Координатное представление векторного произведения

Для того, чтобы выразить результат векторного произведения векторов a=(ax,ay,az) и b=(bx,by,bz) в координатах надо сначала найти все парные векторные произведения единичных векторов i,j,k. i×i=j×j=k×k=0, i×j=k,j×k=i,k×i=j, j×i=k,k×j=i,i×k=j. a×b=(axi+ayj+azk)×(bxi+byj+bzk)= =axbyi×j+axbzi×k+aybxj×i+aybzj×k+azbxk×i+ +azbyk×j=axbykaxbzjaybxk+aybzi+azbxj azbvi=(aybzazby)i(axbzazbx)j+(axbyaybx)k.
Легко заметить, что разности, стоящие в скобочках, равны определителям второго порядка. a×b=|ayazbybz|i|axazbxbz|j+|axaybxby|k. Итак, видим, что справа от знака равно записано разложение определителя третьего порядка по первой строке. a×b=|ijkaxayazbxbybz|. То есть c=(|ayazbybz|,|axazbxbz|,|axaybxby|).

Примеры решения задач

  1. Найти модуль векторного произведения векторов a=(0,3,4) и b=(5,12,0),φ=π3.
    Решение

  2. Найти координаты вектора c, который является результатом векторного произведения векторов a=(1,2,3) и b=(3,4,6).
    Решение
  3. Найти длины и координаты всех векторов получившихся в результате векторного умножения векторов a=(2,3,4),b=(1,3,7),c=(0,0,3) зная, что sin(a,b)=12,sin(a,c)=13,sin(b,c)=56.
    Решение
  4. Найти площадь треугольника, у которого заданы координаты его вершин. A=(1,2,3),B=(5,112),C=(3,6,4).
    Решение
  5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a=(1,3,4),AB, если A=(3,8,6),B=(2,4,7) и угол между ними равен φ=π6.
    Решение

Список литературы

  1. Ефимов Н.В.: Краткий курс аналитической геометрии, стр. 154-163
  2. Постников М.М. Аналитическая геометрия, стр 133-134
  3. Личный конспект на основе лекций Белозерова Г.С.

Векторное произведение векторов

Тест для проверки знаний по теме «Векторное произведение векторов»

Базис и размерность линейного пространства, свойства

Определение 1. Базисом конечномерного пространства называется такая линейно независимая система (далее ЛНЗ) векторов этого пространства, через которую линейно выражается каждый вектор этого пространства.

Базис имеет огромное значение при изучении конечномерных линейных пространств, и часто используется в различных исследованиях. Он позволяет очень легко описать строение любого линейного пространства, заданного над произвольным полем.

Любой вектор x из линейного пространства X может быть представлен в виде линейной комбинации x=α1e1+α2e2++αnen, где α1,α2αn — некоторые числа из поля, а e1,e2,,en — базис X. Данная линейная комбинация называется разложением вектора x по базису, а сами числа α1,α2αn называются координатами вектора x относительно этого базиса.

Лемма 1. Каждое конечномерное пространство является линейной оболочкой своего базиса.

Определение 2. Любые два базиса конечномерного пространства представляют из себя эквивалентные системы.

Из определения 2 получаем числовую характеристику пространства.

Определение 3. Размерностью ненулевого конечномерного пространства называется число векторов его базиса. Размерность нулевого пространства равна 0.

Обозначение для размерности пространства X: dimХ.

Свойства базиса

  1. Любая линейно независимая система n-мерного пространства, содержащая n векторов, является базисом этого пространства.
  2. Любая система n-мерного пространства, содержащая более n векторов линейно зависима.
  3. Любой вектор конечномерного пространства однозначно линейно выражается через базис.

Еще одно свойство базиса сформулируем в виде небольшой леммы и докажем ее.

Лемма 2. Каждую линейно независимую систему векторов конечномерного пространства можно пополнить до базиса этого пространства.

Пусть задано линейное пространство X над произвольным полем P. Пусть в этом пространстве задана ЛНЗ система векторов x1,x2,,xk. А размерность dimХ=n.

  1. При k=n очевидно, что наша система векторов сама является базисом(свойство 1).
  2. При k<n рассмотрим множество всех ЛНЗ систем x, для которых наша система — подсистема. Выберем систему содержащую максимальное количество векторов: x1,,xk,xk+1,xs.

    Эта система максимально ЛНЗ в X, следовательно она является базисом. Тогда s=n и отсюда следует, что xk+1,xn — искомое дополнение.

Лемма 3 (критерий базиса). Система векторов является базисом пространства тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.

Примеры решения задач

Рассмотрим несколько типовых задач нахождения базиса и размерности.

  1. Показать, что следующая система векторов образуют линейное пространство. Найти базис и размерность. Все n-мерные векторы вида (α,β,α,β,α,β,), где α и β — любые числа. L={x=(α,β,α,β,)|α,βR}
    Решение

    x,yL:a,bR(ax+by)L?

    Покажем, что система векторов образуют линейное пространство: ax+by=a(α,β,α,β)+b(φ,γ,φ,γ)= =(aα,aβ,aα,aβ)+(φb,γb,φb,γb)= =(aα+bφ,aβ+γb,aα+bφ,aβ+γb)L.

    Построим стандартный базис: e1=(1,0,0,0,,0)e1=(1,0,1,0,) e2=(0,1,0,0,,0)e1=(0,1,0,1,) e3=(0,0,1,0,,0)e3=(1,0,1,0,) e4=(0,0,0,1,,0)e4=(0,1,0,1,)

    Следовательно, e1,e2 — базис L. Размерность равна 2.

  2. Определить является ли L линейным подпространством пространства X. Найти базис и размерность. X=M2(R) L={(abcd)M2(R)|a+b+c=d}.
    Решение

    A,BL,α,βR αA+βBL?

    Покажем сначала принадлежность к M2(R). Пусть A=(a1b1c1d1)B=(a2b2c2d2), тогда α(a1b1c1d1)+β(a2b2c2d2)=(αa1αb1αc1αd1)+(βa2βb2βc2βd2)= =(αa1+βa2αb1+βb2αc1+βc2αd1+βd2)M2(R)

    Можем доказать, что L является подпространством X. d1=a1+b1+c1d2=a2+b2+c2}αd1=αa1+αb1+αc1αd2=αa2+αb2+αc2 αd1+βd2=(αa1+βa2)+(αb1+βb2)+(αc1+βc2) (αA+βB)LLX.

    Теперь найдем базис исходя из условий.E11=(1000)E11=(1001) E12=(0100)E12=(0101) E21=(0010)E21=(0011) E22=(0001)

    Предполагаемый базис: E=E11,E12,E21. Проверим ЛНЗ нашего базиса.

    Пусть α1E11+α2E12+α3E21=0, тогда (α1α2α3α1+α2+α3)=(0000)α1=α2=α3=0 по критерию ЛНЗ, E — ЛНЗ.

    Покажем, что через нашу ЛНЗ систему выражается каждый вектор этого пространства. Вспомним, что по условию d=a+b+c. Отсюда следует, что a(1001)+b(0101)+c(0011)= =(abca+b+c)=(abcd)=A AL линейно выражается через E. А так как мы доказали, что E — ЛНЗ, то E — базис L. Размерность равна 3.

  3. Определить является ли L линейным подпространством пространства X. Найти базис и размерность. X=R4[x] L={f(x)=R4[x]|f(x):x2+2}.
    Решение

    Пусть f(x)L и f(x):x2+2, тогда f(x)=(x2+2)(ax2+bx+c).

    Докажем, что α,βR,f(x),g(x)L?

    α(ax2+bx+c)+β(ax2+bx+c)= (x2+2)(αax2+αbx+αc+βax2+βbx+βc)= (x2+2)(αax2+βax2+αbx+βbx+αc+βc)L

    Теперь найдем базис: f(x)=ax4+bx3+x2c+2ax2+2bx+2c, тогда a(x4+2x2)+b(x3+2x)+c(x2+2) и следовательно e1=x4+2x2e2=x3+2xe3=x2+2

    Наш предполагаемый базис: e=e1,e2,e3. Докажем ЛНЗ нашего базиса. α1e1+α2e2+α3e3= =α1x4+α12x2+α2x3+α22x+α3x2+2α3=0 α1=α2=α3=0 по критерию ЛНЗ, e — ЛНЗ.

    Покажем, что через нашу ЛНЗ систему выражается каждый вектор этого пространства. f(x)L:f(x)=ax4+bx3+x2c+2ax2+2bx+2c α1=a,α2=b,α3=c.

    Тогда α1e1+α2e2+α3e3= =a(x4+2x2)+b(x3+2x)+c(x2+2) ax4+2ax2+bx3+2bx+cx2+2c= =ax4+bx3+x2c+2ax2+2bx+2c=f(x) f(x) линейно выражается через любой вектор e=e1,e2,e3. Тогда e — базис. Размерность равна 3.

Базис и размерность линейного пространства, свойства

Тест для проверки знаний по теме «Базис и размерность линейного пространства, свойства».

Литература

  1. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С..
  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра М.: Наука, 1980.-400 с. (стр. 50-54)
  3. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.-416 с. (стр. 301-305)
  4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.-384 с. (стр. 204-211)

Pасстояние между двумя точками

Пусть заданы две точки B1(α1,β1,γ1) и B2(α2,β2,γ2). Попробуем интерпретировать понятие расстояния между двумя точками и изобразить это в трехмерной системе координат, чтобы понять геометрический смысл. Для этого построим параллелепипед, в котором вектор ¯B1B2 будет его главной диагональю.

Принцип проектирования точек на координатные оси показан на данном рисунке на примере точки B2. Для точки B1 ситуация аналогична. Итак, найдя проекции точек B1 и B2, мы тем самым нашли проекции вектора ¯B1B2.

Обозначим две вершины параллелепипеда точками A и C. Теперь видно, что вектор ¯B1B2 является гипотенузой прямоугольного треугольника B1CB2, для нахождения которой необходимо вычислить длину катетов B1C и B2C. Рассмотрим треугольник B1AC гипотенуза которого является катетом B1C треугольника B1CB2. По теореме Пифагора B1C=AB12+AC2. Значит, получаем итоговую формулу: B1B2=B1C2+B2C2. Теперь, подставляя координаты точек B1 и B2, имеем: ρ(B1,C)=(α2α1)2+(β2β1)2, ρ(B1,B2)=(α2α1)2+(β2β1)2+(γ2γ1)2,где за ρ обозначено расстояние между точками. Подобным образом можно вычислить и длину вектора ¯B1B2: |¯B1B2|=α2+β2+γ2, где α, β, γ координаты вектора. Для плоскости все рассуждения остаются аналогичными, а формулы выглядят следующим образом: ρ(B1,B2)=(α2α1)2+(β2β1)2, |¯B1B2|=α2+β2.

Пример

Пусть в пространстве даны две произвольные точки A1(5,2,6) и A2(λ+5,1,3), где λ — произвольное действительное число. Найти все значения λ, при которых расстояние между точками A1 и A2 будет равно 10.

Решение

Смотрите также

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, § 25, «Некоторые задачи» (стр. 80-81)
  2. Виноградов И.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986, Глава 6, § 8 «Выражение длины вектора через координаты концов. Расстояние между двумя точками» (стр. 137)
  3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, Глава 7, § 47 «Расстояние между двумя точками» (стр. 133)
  4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, § 3, пункт 2, «Простейшие задачи аналитической геометрии» (стр. 17)

Деление отрезка в заданном отношении

Пусть в пространстве заданы три точки B1(α1,β1,γ1), B(α,β,γ) и B2(α2,β2,γ2), лежащие на одной прямой, причем B не совпадает с B2. Если определить вектор ¯B1B2, то число λ называется отношением, в котором точка B делит ¯B1B2. Причем, если λ>0, точка B лежит между точками B1 и B2, если λ<0, то B находится вне отрезка, а если λ=0, то B совпадает с B1.

Однако задача заключается в нахождении координат точки B, считая число λ и координаты точек B1, B2 известными. Для наглядности изобразим это в трехмерной системе координат и построим проекции точек B, B1 и B2 на ось абсцисс:

Понятно, что проекции точек также определяют соответствующие вектора, поэтому точка, например Bx, делит отрезок B1xB2x также в отношении λ. Учитывая формулы первой статьи, найдем координаты полученных векторов: ¯B1xBx=(αα1), ¯BxB2x=(α2α).

Тогда на примере проекций точек на ось абсцисс найдем координаты Bx: α=α1+λα21+λ, β=β1+λβ21+λ, γ=γ1+λγ21+λ.

Для проекций точек на остальные оси формулы аналогичны. В случае плоскости вся разница состоит в том, что точки B, B1 и B2 определяются двумя координатами.

Пример

Точка L лежит на отрезке MN. Известно, что отрезок ML в два раза длиннее отрезка NL. Найти точку N, если M(2,4,3), L(8,6,1).

Решение

Смотрите также

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, § 25, «Некоторые задачи» (стр. 82-83)
  2. Виноградов И.М. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1986, Глава 6, § 9 «Деление отрезка в данном отношении» (стр. 137-139)
  3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, Глава 7, § 47 «Деление отрезка в заданном соотношении» (стр. 134)
  4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, § 3, пункт 3, «Деление отрезка в данном отношении» (стр. 17)

Ортогональные проекции вектора на прямую и плоскость

Зададим в трехмерной декартовой прямоугольной системе координат две точки B1 и B2, определяющие вектор ¯B1B2(α1,β1,γ1). Опустим из них перпендикуляры на плоскость xy и получим точки B1xy и B2xy:

Заметим, что прямые B1B1xy и B2B2xy параллельны оси аппликат, которая в свою очередь перпендикулярна плоскости xy. Поэтому тот факт, что мы работаем именно в прямоугольной декартовой системе очень важен, так как в противном случае проекции не будут ортогональными. Итак, точки B1xy и B2xy определяют вектор ¯B1xyB2xy, который является ортогональной проекцией ¯B1B2 на плоскость xy. Обозначим его следующим образом: ¯B1xyB2xy=prxy¯B1B2.

Рассмотрим некоторые свойства проекций. Для этого возьмем еще один произвольный вектор ¯A1A2(α2,β2,γ2) и для векторов ¯B1B2 и ¯A1A2 определим операции сложения и умножения на константу: ¯B1B2+¯A1A2=(α1+α2,β1+β2,γ1+γ2), λ¯B1B2=(λα1,λβ1,λγ1), λ¯A1A2=(λα2,λβ2,λγ2).

Используя материалы второй статьи, найдем координаты проекций векторов на плоскость xy: prxy¯B1B2=(α1,β1,0), prxy¯A1A2=(α2,β2,0).

Тогда можно описать следующие свойства: prxy(¯B1B2+¯A1A2)=prxy¯B1B2+prxy¯A1A2=(α1+α2,β1+β2,0), prxy(λ¯B1B2)=λprxy(¯B1B2)=(λα1,λβ1,0), prxy(λ¯A1A2)=λprxy(¯A1A2)=(λα2,λβ2,0).

При построении проекции вектора на координатную ось, все рассуждения остаются аналогичными.

Пример

Найти отношение длин вектора ¯AB(8,5,2) и его ортогональной проекции на плоскость yz.

Решение

Смотрите также

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1994, Глава 3, § 25, «Некоторые задачи» (стр. 83-85)
  2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, § 3, пункт 1, «Понятие направленного отрезка в пространстве. Проекция направленного отрезка на ось» (стр. 17)