Определение 1. Пусть линейное пространство называется конечномерным, если существует такая константа $M \in \mathbb{N}$, так что любая линейно независимая система (далее ЛНЗ) содержит не более $M$ векторов. В противном случае пространство называется бесконечномерным.
Замечание. Нулевое пространство будем считать конечномерным.
Пример 1. Бесконечномерным пространством является $(R[x], \mathbb{R})$. Рассмотрим систему векторов $\left\langle 1, x, x^{2}, \ldots, x^{n}\right\rangle.$ Это система ЛНЗ, так как из равенства $\alpha_{0} \cdot 1+\alpha_{1}\cdot x+\alpha_{2} \cdot x^{2}+\ldots+\alpha_{k}\cdot x^{k}=0$ следует, что $\alpha_{0}=\alpha_{1}=\alpha_{2}= \ldots =\alpha_{k}=0.$ Так как $k$ произвольно, то не существует ограничения $M$.
Пример 2. Пусть $X$ — конечномерное пространство. Рассмотрим в нем ЛНЗ систему, содержащую максимальное число векторов: $\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right\rangle.$ Дополняя эту систему произвольным векторм $y$, получаем уже линейно зависимую систему: $\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}, y\right\rangle.$ Тогда вектор $y$ линейно выражается через исходную систему, а именно: $$y=\alpha_{1} x_{1}+\alpha_{2} x_{2}+\ldots+\alpha_{m} x_{m}.$$
Лемма 1. Каждое подпространство конечномерного пространства в свою очередь конечномерно.
Лемма 2. Каждое подпространство есть линейная оболочка некоторой своей системы.
Конечномерность
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 3 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
Информация
Тест для проверки знаний по теме «Конечномерность».
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Расставьте соотвественно:
Элементы сортировки
$M_{2}(\mathbb{R})$
$(R[x], \mathbb{R})$
$(X,\mathbb{P})$
Конечномерно
Бесконечномерно
Нельзя определить
Задание 2 из 3
2.
Дополните формулировку:
Каждое подпространство конечномерного пространства в свою очередь (конечномерно, Конечномерно).
Задание 3 из 3
3.
Выберите подходящий ответ:
Каждое подпространство есть линейная некоторой своей системы.
Литература
Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С..
Базис имеет огромное значение при изучении конечномерных линейных пространств, и часто используется в различных исследованиях. Он позволяет очень легко описать строение любого линейного пространства, заданного над произвольным полем.
Любой вектор $x$ из линейного пространства $X$ может быть представлен в виде линейной комбинации $$x =\alpha_{1} e_{1}+\alpha_{2} e_{2}+\ldots+\alpha_{n} e_{n},$$ где $\alpha_{1},\alpha_{2} \ldots\alpha_{n}$ — некоторые числа из поля, а $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ — базис $X$. Данная линейная комбинация называется разложением вектора $x$ по базису, а сами числа $\alpha_{1},\alpha_{2} \ldots\alpha_{n}$ называются координатами вектора $x$ относительно этого базиса.
Лемма 1. Каждое конечномерное пространство является линейной оболочкой своего базиса.
Определение 2. Любые два базиса конечномерного пространства представляют из себя эквивалентные системы.
Из определения 2 получаем числовую характеристику пространства.
Определение 3. Размерностью ненулевого конечномерного пространства называется число векторов его базиса. Размерность нулевого пространства равна $0$.
Обозначение для размерности пространства $X$: $\operatorname{dim} Х$.
Свойства базиса
Любая линейно независимая система $n$-мерного пространства, содержащая $n$ векторов, является базисом этого пространства.
Любая система $n$-мерного пространства, содержащая более $n$ векторов линейно зависима.
Любой вектор конечномерного пространства однозначно линейно выражается через базис.
Еще одно свойство базиса сформулируем в виде небольшой леммы и докажем ее.
Лемма 2. Каждую линейно независимую систему векторов конечномерного пространства можно пополнить до базиса этого пространства.
Пусть задано линейное пространство $X$ над произвольным полем $\mathbb{P}$. Пусть в этом пространстве задана ЛНЗ система векторов $\left\langle x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right\rangle.$ А размерность $\operatorname{dim} Х = n $.
При $k=n$ очевидно, что наша система векторов сама является базисом(свойство $1$).
При $k<n$ рассмотрим множество всех ЛНЗ систем $x$, для которых наша система — подсистема. Выберем систему содержащую максимальное количество векторов: $$\langle x_{1}, \ldots, x_{k}, x_{k+1}, \ldots x_{s}\rangle.$$
Эта система максимально ЛНЗ в $X$, следовательно она является базисом. Тогда $s=n$ и отсюда следует, что $\langle x_{k+1}, \ldots x_{n} \rangle$ — искомое дополнение.
Лемма 3 (критерий базиса). Система векторов является базисом пространства тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.
Примеры решения задач
Рассмотрим несколько типовых задач нахождения базиса и размерности.
Показать, что следующая система векторов образуют линейное пространство. Найти базис и размерность. Все $n$-мерные векторы вида $(\alpha, \beta, \alpha, \beta, \alpha, \beta, \ldots)$, где $\alpha$ и $\beta$ — любые числа. $$L=\{x=(\alpha, \beta, \alpha, \beta, \ldots) | \alpha, \beta \in \mathbb{R}\}$$ Решение
$$\forall x, y \in L: \forall a, b \in \mathbb{R}(a x+b y) \in L ?$$
Покажем, что система векторов образуют линейное пространство: $$a x+b y=a \cdot(\alpha, \beta, \alpha, \beta \ldots)+b(\varphi, \gamma, \varphi, \gamma \ldots) =$$ $$=(a \alpha, a \beta, a \alpha, a \beta \ldots)+(\varphi b, \gamma b, \varphi b, \gamma b \ldots)=$$ $$=(a \alpha+b \varphi, a \beta+\gamma b, a \alpha+b \varphi, a \beta+\gamma b \ldots) \in L.$$
Следовательно, $\left\langle e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}\right\rangle$ — базис $L$. Размерность равна 2.
Определить является ли $L$ линейным подпространством пространства $X$. Найти базис и размерность. $$X=M_{2}(\mathbb{R})$$ $$L=\left\{\left(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}) | a+b+c=d\right\}.$$ Решение
$$\forall A, B \in L, \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$$ $$\alpha A+\beta B \in L ?$$
Покажем, что через нашу ЛНЗ систему выражается каждый вектор этого пространства. Вспомним, что по условию $d = a + b + c.$ Отсюда следует, что $$a \cdot\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+b \cdot\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)+c\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=$$ $$=\left(\begin{array}{cc}a & b \\c & a+b+c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a & b \\c & d\end{array}\right)=A \Rightarrow $$ $\Rightarrow \forall A \in L$ линейно выражается через $E^{\prime}$. А так как мы доказали, что $E^{\prime}$ — ЛНЗ, то $E^{\prime}$ — базис $L$. Размерность равна 3.
Определить является ли $L$ линейным подпространством пространства $X$. Найти базис и размерность. $$X=\mathbb{R}_{4}[x]$$ $$L=\left\{f(x)=\mathbb{R}_{4}[x] | f(x): x^{2}+2\right\}.$$ Решение
Пусть $f(x) \in L$ и $f(x): x^{2}+2$, тогда $$f(x)=\left(x^{2}+2\right) \cdot\left(a x^{2}+b x+c\right).$$
Докажем, что $$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \forall f(x), g(x) \in L ?$$
$$\alpha(a x^{2}+b x+c)+\beta(a x^{2}+b x+c)=$$ $$(x^{2}+2)(\alpha a x^{2}+\alpha b x+\alpha c+\beta a x^{2}+\beta b x+\beta c)=$$ $$(x^{2}+2)(\alpha a x^{2}+\beta a x^{2}+\alpha b x+\beta b x+\alpha c+\beta c) \in L$$
Теперь найдем базис: $$f(x)=a x^{4}+b x^{3}+x^{2} c+2 a x^{2}+2 b x+2 c,$$ тогда $$a\left(x^{4}+2 x^{2}\right)+b(x^{3}+2 x)+c(x^{2}+2)$$ и следовательно $$\begin{array}{l}e_{1}=x^{4}+2 x^{2} \\ e_{2}=x^{3}+2 x \\ e_{3}=x^{2}+2 \end{array}$$
Покажем, что через нашу ЛНЗ систему выражается каждый вектор этого пространства. $$\forall f(x) \in L : f(x)=a x^{4}+b x^{3}+x^{2} c+2 a x^{2}+2 b x+2 c$$ $$\exists \alpha_{1}=a, \alpha_{2}=b, \alpha_{3}=c.$$
Тогда $$\alpha_{1} e_{1}+\alpha_{2} e_{2}+\alpha_{3} e_{3}=$$ $$= a(x^{4}+2 x^{2})+b(x^{3}+2 x)+c(x^{2}+2)$$ $$a x^{4}+2 a x^{2}+b x^{3}+2 b x+c x^{2}+2 c=$$ $$=a x^{4}+b x^{3}+x^{2} c+2 a x^{2}+2 b x+2 c = f(x) \Rightarrow$$ $\Rightarrow \forall f(x)$ линейно выражается через любой вектор $e=\langle e_{1}, e_{2}, e_{3}\rangle$. Тогда $e$ — базис. Размерность равна 3.
Базис и размерность линейного пространства, свойства
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 5 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
4
5
Информация
Тест для проверки знаний по теме «Базис и размерность линейного пространства, свойства».
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 5
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
1
2
3
4
5
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 5
1.
Дополните определение:
Базисом конечномерного пространства называется такая (линейно независимая, ЛНЗ, лнз) система векторов этого пространства, через которую линейно выражается каждый вектор этого пространства.
Задание 2 из 5
2.
Как называется числовая характеристика линейного пространства?
Задание 3 из 5
3.
Что представляют любые два базиса конечномерного пространства?
Задание 4 из 5
4.
Выберите только верные формулировки свойств.
Задание 5 из 5
5.
Расставить базисы в порядке уменьшения размерности(от большего к меньшему).
$z=\langle z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\rangle$
$e=\langle e_{1}, e_{2}, e_{3}\rangle$
$g=\langle g_{1}, g_{2}\rangle$
Литература
Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С..
Задача из журнала «Квант» (1993 год, 11/12 выпуск)
Условие
Пусть сумма $n$ чисел равна $0$, причем $m$ — наименьшее из них, а $M$ — наибольшее. Докажите, что
сумма квадратов этих чисел не превосходит $-mMn$;
сумма четвертых степеней этих чисел не превосходит $-mMn(m^2 + M^2 +mM)$.
Решение
Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ — числа задачи: $$ m \leqslant x_{i} \leqslant M, x_{1}+x_{2}+ \ldots +x_{n} = 0$$
Обозначим сумму их квадратов через $D$, а сумму четвертых степеней — через $F.$
Первое решение. Для каждого числа $x_{i}$ задачи имеем $$(x_{i} — m)(x_{i} — M)\leqslant 0,$$ или $$x_{i}^{2} \leqslant(m+M) x_{i}-m M. \tag{*}$$
Сложив $n$ этих неравенств, получаем $$D \leqslant -nmM.$$
Второе решение. При $m = M$ утверждение очевидно. Пусть $m<M$. Расположим в точках $(x_{i},x_{i}^{2})$, где $x_{i}$ — числа задачи, единичные массы. Проведем через точки $(m, m^2)$ и $(M, M^2)$ прямую. Ее уравнение —
$$\frac{x-m}{M-m}=\frac{y-m^{2}}{M^{2}-m^{2}}.$$
Поскольку все массы расположены под прямой, этим же свойством обладает и центр масс $(0, D/n).$ Поэтому $$-m(m+M)+m^{2} \geqslant \frac{D}{n},$$ что и требовалось доказать.
Первое решение. Как и во втором решении пункта а) будем считать $m<M$. Попытаемся найти многочлен $x^4 + ax + b$, имеющий корнями числа $m$ и $M$. Заметим сразу, что многочлен такого вида имеет не более двух корней. Действительно, между любыми последовательными корнями многочлена найдется корень его произведения. Следовательно, если многочлен имеет хотя бы три корня, то его производная $4 x^{3} + a$ имеет не менее двух корней. Но уравнение $4 x^{3} = -a$ имеет единственный корень. Тогда из системы $$\left\{\begin{array}{l}m^{4}+a m+b=0 \\M^{4}+a M+b=0 \end{array}\right.$$ получаем $$a=-\left(m^{2}+M^{2}\right)(m+M),$$ $$b=m M\left(m^{2}+M^{2}+m M\right).$$
С другой стороны, при этих значениях $a$ и $b$ равенства системы выполняются. Окончание решения аналогично первому решению пункта а).
Второе решение. Рассуждая так же, как при втором решении пункта а), получаем уравнение прямой $$\frac{x-m}{M-m}=\frac{y-m^{4}}{M^{4}-m^{4}},$$ после чего без труда приходим к неравенству $$-m\left(M^{2}+m^{2}\right)(M+m)+m^{4} \geqslant \frac{F}{n},$$ что и требовалось доказать.
Третье решение. Для каждого числа $x_{i}$ задачи из (*) следует $$\begin{aligned}
x_{i}^{4} & \leqslant\left((m+M) x_{i}-m M\right)^{2}=\\
&=(m+M)^{2} x_{i}^{2}-2(m+M) m M x_{i}+m^{2} M^{2}.
\end{aligned}$$
Сложив $n$ этих неравенств и воспользовавшись утверждением пункта а), получаем $$F \leqslant-n m M(m+M)^{2}+n m^{2} M^{2},$$ что и требовалось доказать.
Замечание. Неравенство (*), а следовательно, и неравенства задачи превратятся в равенства, если $k$ из чисел $x_{i}$ равны $m$, а $n-k$ остальных равны $M$ (при этом $k m+(n-k) M=0$).
Можно ли покрыть всю плоскость квадратами с длинами сторон $1, 2, 4, 8, 16, …$ (без наложения), используя каждый квадрат не более а) десяти раз; б) одного раза?
Доказательство
Можно. Пример покрытия (где квадрат со стороной $1$ используется $4$ раза, а остальные — по $3$ раза) приведен на рисунке $1$. Рис. 1
Нельзя. Предположим, что существует покрытие, в котором все квадраты различны. Поскольку сумма всех чисел не превосходящих $2^{n-1}$, меньше $2^n$ $(1+2+2^2+ … +2^{n-1} = 2^n-1)$, то к каждой стороне любого из квадратов нашего покрытия должна примыкать сторона большего квадрата. Отсюда следует, что каждая вершина квадрата должна лежать на стороне большего квадрата (если вершина $B$ квадрата $ABCD$ лежит на стороне большего квадрата, примыкающего к стороне $AB$ (рис. $2$), то вершина $C$ будет лежать на стороне большего квадрата, примыкающего к $BC$, и т.д.).
Рис. 2
Рассмотрим теперь наименьший из всех квадратов покрытия. Четыре квадрата будут примыкать к нему так, как показано на рисунке $3$.
Рис. 3
Рассмотрим больший из этих квадратов — пусть он примыкает к стороне $AB$ наименьшего (на рисунке — это черный квадрат). Тогда вершина $A$ этого квадрата не лежит на стороне большего, чем он, квадрата. Получили противоречие.
