Processing math: 100%

Метка: геометрический смысл

Определение частной производной и её геометрический смысл

Определение. Пусть функция f(x)=f(x1,…,xn) определена в окрестности точки x0=(x02,…,x0n). Рассмотрим функцию одной переменной φ(x1)=f(x1,x02,…,x0n). Функция φ(x1) может иметь производную в точке x01. По определению такая производная называется частной производной ∂f∂x1(x0). Таким образом, ∂f∂x1(x0)=∂f∂x1(x01,…,x0n)==limΔx1→0f(x1,x02,…,x0n)—f(x01,…,x0n)Δx1, где Δx1=x1—x01.
Аналогично определяются частные производные (первого порядка) ∂f∂xi(x01,…,x0n),i=¯2,n. Употребляются и другие обозначения для частных производных первого порядка: ∂f∂xi(x0)=fxi(x0)=Dif(x0)==f′xi(x0)=∂∂xif(x0)=∂f(x0)∂xi. Функция двух переменных может иметь в точке (x0,y0) две частные производные первого порядка ∂f∂x(x0,y0),∂f∂y(x0,y0). Для функции трех переменных — три частные производные первого порядка ∂f∂x(x0,y0,z0),∂f∂y(x0,y0,z0),∂f∂z(x0,y0,z0). Поскольку при вычслении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, то техника вычисления частных производных такая же, как техника вычисления производных функции одной переменной.
Например, ∂∂x√x2+y2=12√x2+y2∂∂x(x2+y2)=x√x2+y2.

Геометрический смысл

kolomeiets20160630Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x,y), определенную на множестве D⊂R2 и имеющую конечные частные производные ∂z∂x и ∂z∂y в точке M0(x0,y0). Чтобы выяснить геометрический смысл частных производных, выполним следующие построения. В плоскости Oxy отметим точку M0.
Затем нарисуем поверхность S, являющуюся графиком функции z=f(x,y). Без ограничения общности будем полагать, что поверхность расположена над плоскостью Oxy. Через точку M0 проведем плоскость y=y0 параллельную коорднатной плоскости Oxy. В сечении поверхности S этой плоскостью получаем кривую Γ. Уравнение этой кривой описывается функцией одной переменной z=f(x,y0). Так как в точке M0 существует частная производная f′x(x0,y0), то она согласно геометрическому смыслу обычной производной функции одной переменной равна угловому коэффициенту касательной, проведенной в точке N(x0,y0,f(x0,y0)) к кривой Γ: f′x(x0,y0)=tanα, где α — угол между касательной и положительным направлением оси Ox. В этом состоит геометрический смысл частной производной f′x(x0,y0).

Список литературы

Тест

Тест для проверки усвоения материала

Геометрический смысл непрерывности

Выясним, в чём заключается геометрический смысл непрерывности функции f(x). Построим график функции y=f(x) и отметим на нём точку a и точку f(a).

defaul.svg

Геометрический смысл непрерывности состоит в том, что если изменение аргумента =x незначительное, =x+δ , то и изменение =f(x+δ) будет незначительным в этой точке.
Т.е., малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции в этой точке. Это можно увидеть на графике.

Рекомендации:

 Учебники :

  • Кудрявцев Л.Д. «Математический анализ»  Том 1, Глава 1, § 5 «Непрерывность функции в точке» стр.84-89;
  • Фильтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Том 1, Глава 2, § 4 «Непрерывность и разрывы функций» стр.146-167;
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» Часть 1, Глава 4, § 7 «Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций» стр.138-143.

Сборники задач:

  • Демидович Б.П. «Сборник упражнений по математическому анализу» 13-е издание, исправленное, Отдел 1, § 7 «Непрерывность функции» стр.77-87;
  • Дороговцев А.Я. «Математический анализ» Глава 3, § 2 «Непрерывные функции» стр.50-58.

(Основной материал был взят из курса Математического анализа ,1 курс,1 семестр (доц. Лысенко З.М.))

Геометрический смысл дифференциала

Проведем касательную l к графику функции y=f(x) в точке x, также рассмотрим точку пересечения касательной l с прямой x+Δx. Отрезок AM1=Δx, а отрезок AM2=Δy.

GeomSenseOfDiff

Из прямоугольного треугольника △M1AB получаем, что tgα=ABΔx, поэтому AB=tgαΔx. Но нам известно, что f′(x)=tgα⇒AB=f′(x)Δx. Сравнив результат с формулой AΔx=dy получаем, что dy=AB, то есть дифференциал функции y равен приращению ординаты касательной l к графику функции f(x) в этой точке, когда приращение аргумента равно Δx.

Тест:

Тест на знание и понимание геометрического смысла дифференциала.


Таблица лучших: Геометрический смысл дифференциала.

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

 

Список литературы:

  1. Калинина Е. А. «Математика, которая мне нравится». 
  2. Лысенко З. М. Конспект лекций по математическому анализу.

Геометрический смысл теоремы Ферма

Формулировка

Касательная к графику функции в точке локального экстремума (x0,f(x0)) параллельна оси абсцисс.

Ferma

Замечание

Теорема неверна, если функцию f(x) рассматривать на замкнутом отрезке [a,b].

Пример

Функция f(x)=x на отрезке [0;1] в точке x=0 принимает наименьшее, а в точке x=1 наибольшее значение, однако, как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице.

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.165
  • sernam.ru

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Сама теорема здесь.

Формулировка

f(b)−f(a)b−a — угловой коэффициент секущей, которая проходит через точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)) графика функции y=f(x), а f′(ξ) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (ξ,f(ξ)). Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение ξ∈(a,b) такое, что касательная к графику функции y=f(x) в точке (ξ,f(ξ)) параллельна секущей, соединяющей точки A(a,f(a)) и B(b,f(b)).

  1. Следствие

    Если а дифференцируема на (a,b) и f'(x)=0 ∀x∈(a,b) то f(x)=c=const на (a,b)

    Его доказательство:

    Возьмем ∀x∈(a,b) и зафиксируем [x,x0]⊂(a,b) ([x0,x]⊂(a,b)) Применим формулу конечных приращений Лагранжа на отрезке [x,x0]
    f(x)−f(x0)=f′(ξ)(x−x0)⇒f(x)=f(x0), ∀x∈(a,b).

  2. Следствие

    Если функция дифференцируема на (a,b) и f'(x)=k=const. ∀x∈(a,b)⇒f(x)=(kx+b) — линейная функция

    Его доказательство:

    Применяя теорему Лагранжа к функции f а на отрезке [a,x]⊂[a,b]: f(x)−f(a)=f′(ξ)(x−a). f(x)−f(a)=k(x−a). f(x)=kx+b.b=f(a)−ka

lag

  1. Следствие

    Пусть φ(x)

    1. Непрерывна на [a,b];
    2. Дифференцируема на (a,b) (кроме быть может некоторой точки x0∈(a,b))
    3. ∃limx→x0φ‘(x)

    Тогда ∃φ‘(x0), причем эта производная равна limx→x0φ‘(x)

    Его доказательство:

    Пусть limx→x0φ‘(x)=A, a<x<b, x≠x0. По Теореме Лагранжаφ(x)−φ(x0)=φ‘(ξ)(x−x0), где ξ∈(x0,x)∪ξ∈(x,x0)⇒ φ‘(ξ)=φ(x)−φ(x0)x−x0. (Будем считать, что функция однозначна) ξ=ξ(x):x0<ξ(x)<x⇒limx→x0ξ(x)=x0⇒limx→x0φ‘(ξ)=A=limx→x0φ(x)−φ(x0)x−x0=φ‘(x0)

Пример

Найти функцию Θ=Θ(x0,Δx) такую, что f(x0+Δx)−f(x0)=Δxf(x0+ΘΔx), если f(x)=ax2+bx+c,a≠0

Спойлер

Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия

Этот тест разработан для лучшего усвоения знаний

Литература