Критерии первообразности

[latex] U_n[/latex] — циклическая группа корней [latex] n[/latex]-й степени из единицы. Образующий элемент группы [latex] U_n[/latex] называется первообразным корнем [latex] n[/latex]-й степени из единицы.

Теорема 1 (Первый критерий первообразности)

Корень [latex] n[/latex]-й степени из единицы будет первообразным корнем [latex] n[/latex]-й степени из единицы [latex] \Leftrightarrow[/latex] не является корнем из единицы никакой степени [latex] <n[/latex].

Доказательство

Необходимость:
[latex] E[/latex] – первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы .
[latex] \forall m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m \ne 1[/latex];
[latex] U_n=[/latex] [latex]\{1, E, E^2, …, E^{n-1}\}[/latex].
От противного. Пусть [latex] E^m= 1[/latex], [latex] m < n[/latex], тогда [latex] E[/latex] образует группу [latex] {U}'_n[/latex] (или [latex] U_m[/latex]) = [latex]\{1, E, E^2, …, E^{m-1}, E^m\}[/latex] = [latex]\{1, E, E^2, …, E^{m-1}\}[/latex], где [latex] E^m= 1[/latex] и [latex] {U}'_n= m[/latex], но [latex] m < n \Rightarrow [/latex] [latex] {U}'_n \ne U_n \Rightarrow [/latex] [latex] E[/latex]- не образующий элемент [latex] U_n[/latex]. Получаем, что [latex] \forall m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m \ne 1[/latex].
Достаточность:
[latex] \forall m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m \ne 1 \Rightarrow [/latex]
[latex] E[/latex] — первообразный корень из единицы степени [latex]n[/latex].
От противного. Пусть [latex] E[/latex]-не является первообразным корнем [latex] n[/latex]-й степени из единицы [latex] \Rightarrow E [/latex] не образует группу [latex] U_n \Rightarrow [/latex]
[latex] U^E_n= {E^0, E^1, E^2,…< E^{n-1} } \ne U_n \Rightarrow U^E_n \in U_n \Rightarrow \exists k, 1 \leqslant k \leqslant n-1,[/latex] что [latex] E^{k-1}=1[/latex], но [latex] 0 \leqslant k+1 < n-1 [/latex], [latex] m= k-1 \Rightarrow[/latex] [latex] \exists m \in \mathbb{N}[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex] E^m = 1 \Rightarrow [/latex] [latex] E[/latex] – первообразный корень степени [latex] n[/latex] из [latex] 1[/latex].

Лемма

Если [latex] E[/latex] — первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы, то
[latex] E^m= 1 \Leftrightarrow m \vdots n[/latex].

Доказательство

Необходимость:
Найдём [latex] m= nq+r[/latex], [latex] 0 \leq r \leq n-1[/latex];
[latex] 1= E^m= E^{nq+n}= E^{nr}E^r= (E^n)^qE^r= 1^qE^r= E^r[/latex].
Если [latex] r \in \mathbb{N}[/latex], то получим противоречие с первым критерием [latex] r=0 \Rightarrow m \vdots n[/latex].
Достаточность: [latex] m \vdots n \Rightarrow m=nq[/latex];
[latex] E^m= E^{nq}= (E^n)^q= 1^q=1[/latex].

Теорема 2 (Второй критерий первообразности)

Пусть [latex] E [/latex] — первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы, тогда [latex] E^k (k \in \mathbb{N})[/latex] является первообразным корнем степени [latex] n[/latex] из единицы [latex] \Leftrightarrow (n,k)=1[/latex].

Доказательство

[latex](n,k)= d[/latex]; [latex] n= n,d[/latex]; [latex] k= k,d[/latex]; [latex](n_1, k_1)=1[/latex].
Необходимость: [latex] E[/latex], [latex] E^n[/latex] — корни степени [latex] n[/latex] из единицы.
[latex] (n,k)=1 [/latex]
От противного. [latex] (n,k)=d > 1 \Rightarrow n_1 < n [/latex];
[latex](E^k)^{n_1} = (E^{k_1d})^{n_1}= E^{k_1dn_1}= E^{k_1(nd_1)}= E^{k_1n}= (E^n)^{k_1}= 1^{k_1}=1 \Rightarrow d=1[/latex] противоречие.
Достаточность: [latex] E [/latex] — первообразный корень степени [latex] n [/latex] из единицы;
[latex] (n,k)=1 [/latex];
[latex] E^k [/latex] — первообразный корень степени [latex] n[/latex] из единицы.
От противного. Пусть [latex] E^k [/latex] – не является первообразным корнем степени [latex] n[/latex] из единицы, тогда по первому критерию первообразности: [latex] \exists m \in N[/latex], [latex] m < n[/latex], [latex](E^k)^m= 1[/latex];
[latex] E^{km}=1 \Rightarrow [/latex] по лемме [latex] km \vdots n \Rightarrow m \vdots n [/latex], но [latex] m < n [/latex] – противоречие.

ПРИМЕРЫ

Найти все первообразные корни группы [latex]U_{12}[/latex], пользуясь вторым критерием первообразности.

Даны корни из единицы [latex]E_1 = i[/latex], [latex] E_3 = -i[/latex]. Построить группу [latex] U_4[/latex].

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест по вышеизложенному материалу

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   [latex]U_n[/latex] циклическая группа корней [latex]n[/latex]-ой степени из 1. Первообразным корнем [latex]n[/latex]-ой степени из 1 является________элемент группы [latex]U_n[/latex].

   • (образующий)
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Установить соответствие между условиями теорем (критерии первообразности) и леммы:

   Элементы сортировки

   • не является корнем из единицы никакой степени $< n$
   • $m \vdots n$
   • $(n,k)=1$

   • Корень$n$-й степени из единицы будет первообразным корнем $n$-й степени из единицы $\Leftrightarrow$

   • Если $E$ - первообразный корень степени $n$ из единицы, то $E^m= 1 \Leftrightarrow$

   • Пусть $E$ - первообразный корень степени $n$ из единицы, тогда $E^k (k \in \mathbb{N})$является первообразным корнем степени $n$ из единицы $\Leftrightarrow$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Взаимно простыми называются числа, которые не имеют никаких общих делителей, кроме:

   • $i$ и $-i$
   • $1$ и $-1$
   • $1$,$-1$,$i$ и $-i$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Какое количество первообразных имеет $\sqrt[5]{1}$ ?
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   Все первообразные корни группы [latex]U_9[/latex]

   • $E= \cos\frac{7\pi}{6} + i\sin\frac{7\pi}{6}$
   • $E= \cos\frac{11\pi}{6} + i\sin\frac{11\pi}{6}$
   • $E= \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}$
   • $E= \cos\frac{13\pi}{6} + i\sin\frac{13\pi}{6}$
   • $E= \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Указать особенность первого и второго критерия

   • Оба критерия эквивалентны.
   • С помощью критериев первообразности находятся разные множества первообразных корней.
   • Второй критерий удобнее использовать на практике.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Источники

1. Белозеров Г.С. Конспект лекций.
2. Курош А.Г. Курс линейной алгебры. Издание тринадцатое, 2004. Стр.123-128.
3. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. Наука, 1984. Стр.43-49.

Группа

Множество $G$ с бинарной алгебраической операцией $\ast$ называется группой, если выполняются следующие условия:

1. Операция $\ast$ в $G$ ассоциативна: $a\ast (b\ast c)=(a\ast b)\ast c \forall a,b,c\in G$;
2. В $G$ существует нейтральный элемент $\theta :a\ast\theta=\theta\ast a=a \forall a\in G;$
3. Для каждого элемента $a\in G$ существует обратный ему элемент $a^{-1}\in G: a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=\theta$.

Если операция коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной.

Задача

Доказать, что множество рациональных чисел R является абелевой группой относительно операции сложения.

Кольцо

Множество $K$ , на котором заданы две операции — сложение (+) и умножение $\cdot$, называется кольцом, если выполняются следующие условия:

1. Относительно операции сложения множество $K$ — коммутативная группа, т.е:
   1. Операция сложения коммутативна: $a+b=b+a \forall a,b\in K;$
   2. Операция сложения ассоциативна:$a+(b+c)=(a+b)+c \forall a,b,c\in K;$
   3. Существует нулевой элемент $\theta: a+\theta =\theta +a=a \forall a\in K;$
   4. для каждого элемента существует противоположный ему элемент $(-a)\in K: a+(-a)=(-a)+a=\theta;$
2. Операция умножения в множестве $K$ ассоциативна:
   $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$\forall a,b,c\in K$
3. Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
   $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b \forall a,b,c\in K$

Если операция умножения коммутативна:$a\cdot b=b\cdot a$, то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент $e: a\cdot e=e\cdot a=a$, то говорят, что кольцо — есть кольцо с единицей.

Задача

Проверить яляется ли кольцом множество комплексных чисел.

Поле

Полем называется кольцо $P$, обладающее следующими свойствами:
1. Обратимость умножения. $\forall a,b\in P$, где $a\neq 0$, уравнение $ax = b$ имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что $aq = b$.

2. $P$ содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Источники

• Кострикин А.И. «Введение в алгебру», 1994, стр.60
• Проскуряков И.В. «Сборник задач по линейной алгебре», 1966, стр.214
• Зарисский О. Самюэль П. «Коммутативная алгебра том 1», 1963,стр.21
• Г.С.Белозеров. Конспект лекций по линейной алгебре

Структуры и подструктуры

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 3 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3

Информация

Тест на тему «Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля. Подструктуры.Циклическая группа. Симметрическая группа.». Прочтите все четыре статьи, прежде чем проходить тест.

• Простейшие задачи на определение структур группы, кольца, поля.
• Подструктуры.
• Циклическая группа.
• Симметрическая группа.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 3

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 3

   1.

   Какое из нижеприведенных множеств образует группу?

   • Неотрицательные числа относительно сложения
   • Целые числа относительно вычитания
   • Целые числа, кратные данному натуральному числу n , относительно сложения
   • Рациональные числа относительно умножения
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 3

   2.

   В каком порядке следует доказывать, что некоторое кольцо [latex]R[/latex] является подкольцом кольца [latex]G[/latex]?

   • Проверить, является ли G кольцом
   • Проверить, является ли R кольцом
   • Проверить, что $$\forall a,b\in R (a+b)\in R$$
   • Проверить, что $$\forall a,b\in R_1 ab\in R_1$$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 3

   3.

   Осуществите сортировку

   Элементы сортировки

   • матрицы порядка n с действительными числами относительно сложения
   • Числа вида $a+b\sqrt{2}$, где $a,b\in Z,$ относительно сложения и умножения
   • Комплексные числа относительно сложения и умножения

   • Группа

   • Кольцо

   • Поле

   Правильно
   

   Неправильно
   

Определение циклической группы

Пусть дана группа [latex](G, \cdot)[/latex]. Если [latex]\exists g_{0}\in G [/latex] такое, что [latex]\forall g\in G[/latex], [latex]\exists n\in \mathbb Z[/latex]: [latex]g=g_{0}^n[/latex], то [latex](G, \cdot)[/latex] называется циклической группой  и пишут [latex]G=<g_{0}>_{n}[/latex], где [latex]g_{0}[/latex] образующая и количество элементов, порядок группы, [latex]|G|=n[/latex]. Циклическая группа [latex]G[/latex] называется конечной, если она имеет конечное число элементов, в противном случае группа называется бесконечной.

Теорема
Пусть дана циклическая группа [latex](G, \cdot)[/latex] и [latex]G=<g_{0}>_{n}[/latex], тогда эта группа имеет следующий вид: [latex]G=\{ g_{0}^0=1, g_{0}, g_{0}^2, g_{0}^3, \dots, g_{0}^{n-1}\}[/latex].

Доказательство
Для доказательства покажем что все элементы нашей группы различные, иначе количество элементов в группе будет меньше её порядка.
Пусть [latex]\exists i<j[/latex] такие, что [latex] 0\leq i<j \leq{n-1}[/latex] и [latex] g_{0}^{i} = g_{0}^{j}\Rightarrow[/latex] [latex]g_{0}^{j-i} = 1[/latex], тогда [latex]\exists m\in \mathbb Z : m=j-i[/latex], следовательно [latex]1\leq m\leq{n-1}[/latex] и [latex]g_{0}^m=1.[/latex] Отсюда [latex]\forall g\in G, g=g_{0}^t, t\in \mathbb Z[/latex] и [latex]t=mq+r, 0\leq r<m,[/latex] тогда [latex]g_{0}^t=g_{0}^{mq+r}=[/latex][latex](g_{0}^m)^q\cdot g_{0}^r\Rightarrow[/latex] [latex]g_{0}^t =1\cdot g_{0}^r=g_{0}^r[/latex], это значит что все элементы группы будут равны [latex]g_{0}^r[/latex], где [latex]\forall t\in \mathbb Z[/latex] существует свой [latex]r[/latex],но [latex]0\leq r<m[/latex], а [latex]1\leq m\leq{n-1}[/latex] мы получаем противоречие, поскольку мы не получим всю группу.

Таким образом [latex]G=\{ g_{0}^0=1, g_{0}, g_{0}^2, g_{0}^3, \dots, g_{0}^{n-1}\}[/latex].

Примеры циклических групп
[latex]A=\{1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, 2^6\}[/latex] — Конечная иклическая группа, поскольку каждый элемент является значением [latex]2^k, 0\leq k\leq 6[/latex], отсюда образующей этой группы является [latex]2[/latex] и [latex]A=<2>_{7}[/latex].

[latex]A=\{1,\frac{1}{2}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{1}{2^4}, \frac{1}{2^5}, \frac{1}{2^6} \}[/latex] — Конечная циклическая группа, каждый элемент является значением [latex](\frac{1}{2})^k, 0\leq k\leq 6[/latex], образующей является [latex]\frac12[/latex] и [latex]A=<\frac12>_{7}[/latex].

Литература

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 с. 24-28.
2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984 с. 246-248.
3. Белозёров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.

Теорема о представлении элементов конечной циклической группы

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему «Теорема о представлении элементов конечной циклической группы»:

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

максимум из 8 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   [latex]A=\{1,0.5,0.25,0.125,0.0625\}[/latex]
   Какие из следующих утверждений правильные?

   • $A=<0.5>_{5}$
   • $A=<1>_{5}$
   • $0.5$-образующая
   • $0.4$-образующая
   • $4$-максимальная степень элемента в группе
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Для какой группы верно какое из утверждений?

   Элементы сортировки

   • $A=\{1,5,25,125\}$
   • $2$-образующая

   • $A=<5>_{4}$

   • $A=\{1,2,4,8,16\}$

   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 2

   Дана циклическая группа [latex]A=<2>_{4}[/latex], какой вид имеет группа?

   • $A=\{1,2,4,8\}$
   • $A=\{2,4,8,16\}$
   • $A=\{1,1,2,4\}$
   • $A=\{1,2,4,4\}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 2

   Составте определение циклической группы:

   • $\exists g_{0}\in G$
   • $\forall g\in G$
   • $\exists n\in Z$
   • $g=g_{0}^n$
   Правильно
   

   Определение циклической группы

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 2

   Дана циклическая группа [latex]A=\{1,3,9,27,81\}[/latex]
   Чему равно [latex]|A|=?[/latex]

   • |A|= (5)
   Правильно
   

   Неправильно