$latex \lim_{x\to a}\varphi (x)=b$ и $latex \lim_{y\to b}f(y)=A $
причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки [latex]a[/latex] выполняется условие $latex \varphi (x)\neq b $, то в точке [latex]a[/latex] существует предел сложной функции $latex f(\varphi (x)) $ и справедливо равенство
Необходимое условие непрерывности (Связь непрерывности в точке и существования производной в точке)
Формулировка: Если функция [latex]y = f\left(x\right)[/latex] определена и дифференцируема (имеет производную) в некоторой окрестности [latex]U\left(x_{0}\right)[/latex], то она непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex].
Доказательство: Пусть функция [latex]y = f\left(x\right)[/latex] — имеет производную в точке [latex]x_{0}\Rightarrow[/latex];[latex]\Rightarrow \exists \lim\limits_{x \to x_{0}}\frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=[/latex][latex]{f}’\left(x_{0}\right)\Rightarrow \frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} = [/latex][latex]{f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)[/latex], где [latex]\alpha \left(\Delta x\right) = \underset{\Delta x \to 0}{o\left(\Delta x\right)}[/latex][latex]\Rightarrow f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) =[/latex][latex] \left(x-x_{0}\right)\left({f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)\right)\Rightarrow[/latex][latex] \lim\limits_{x\to x_{0}} f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) = 0\Rightarrow[/latex] функция [latex]f\left(x\right)[/latex] — непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex].
Замечание: Условие непрерывности функции в точке не является достаточным для дифференцируемости функции в точке.
Контр-пример:
[latex]y = |x|, y \in C_{\left(-\infty; +\infty\right)}[/latex]
[latex]\forall x_{0} \in \mathbb{R} \lim\limits_{x \to x_{0}} |x| = |x_{0}|[/latex]
При [latex]x_{0} = 0[/latex] и [latex]\Delta x > 0[/latex], то получим [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1 \neq \lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -1[/latex], где [latex]\Delta x < 0[/latex], а значит функция [latex]y = |x|[/latex] — не дифференцируема в точке 0, хотя и непрерывна в ней.
Список литературы:
Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 108-109.
Лекции Зои Михайловны Лысенко.
Тест:
Непрерывность в точке и существование производной
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 3 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
Информация
Тест на знание связи дифференцируемости и непрерывности.
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Средний результат
Ваш результат
Рубрики
Нет рубрики0%
Математический анализ0%
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 5
Какие из ниже-представленных функций являются дифференцируемыми в точке 0?
Правильно 5 / 5Баллы
Отлично!
Неправильно / 5 Баллы
Ай-ай, будьте внимательней.
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 7
Установите соответствие между функциями и точками, в которых они дифференцируемы/не дифференцируемы.
Элементы сортировки
не дифференцируема в точке 0
не дифференцируема в точке -1
дифференцируема на всей области определения
не является дифференцируемой
$$sin\left(\frac{1}{x}\right)$$
$$\frac{1}{1+x^5}$$
$$e^{x^2}$$
Функция Дирихле, принимающая значение 1, если аргумент является рациональным числом, и значение 0, если аргумент является иррациональным числом
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 4
Что даёт нам дифференцируемость в точке, в контексте данного материала?
Если функция дифференцируема в точке, то по необходимому условию дифференцируемости в точке она обязательно (непрерывна, не прерывна, Не прерывна, Непрерывна) в этой точке.
Достаточно ли непрерывности в точке, для того что бы говорить о наличии производной в этой точке?
(Не достаточно, недостаточно, Недостаточно, не достаточно, нет, Нет).
Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Непрерывность в точке и существование производной
Пусть функция [latex]f(x)[/latex] определена в некоторой проколотой окрестности точки [latex]a.[/latex] Говорят, что [latex]f(x)[/latex] имеет бесконечный предел в этой точке [latex](\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= \infty),[/latex] если:
Дана функция [latex]f(x)=\frac{1}{x}:[/latex]
Найти предел при [latex]x\rightarrow 0.[/latex]
Спойлер
Функция определена на всей вещественной оси кроме т. [latex]0[/latex]. Рассмотрим некоторую проколотую окрестность [latex]\dot{U}_{\delta }(0)[/latex]. Как видно, для [latex]\forall \varepsilon \: \exists\, \delta =\frac{1}{\varepsilon }[/latex] такое, что [latex]\forall x\in (0;|\delta |)\: |f(x)|>\varepsilon [/latex]. Отсюда, по определению следует, что эта функция бесконечно большая при [latex]x\rightarrow 0[/latex]. При этом на [latex](-\infty;0 )\: \:\lim\limits_{x\rightarrow 0}=-\infty [/latex], а на [latex](0;+\infty )\: \:\lim\limits_{x\rightarrow 0}=+\infty [/latex].
[свернуть]
Пределы на бесконечности
Число [latex]A[/latex] называют пределом функции [latex]f(x)[/latex] на бесконечности [latex](\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=A),[/latex] если
При [latex]x\rightarrow \infty [/latex] значение функции монотонно растет. Для любого [latex]\varepsilon [/latex] и соответствующего ему [latex]\delta _{\varepsilon }[/latex] найдется такой [latex]x[/latex], например, [latex]x=\delta _{\varepsilon }+1[/latex], что [latex]f(x)> f(\delta _{\varepsilon })[/latex]. Иначе говоря, [latex]\forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }=\varepsilon:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)>\varepsilon[/latex]. Это значит, что [latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=+\infty [/latex].
Функция имеет (бесконечный) предел при \(x\rightarrow a\), если для (любого, всякого) \(\varepsilon \) (существует, есть) \( \delta \), что для всех \(x\) из \((a-\delta ;a)\cup (a;a+\delta )\) \(|f(x)|>\) (эпсилон, епсилон)
Правильно
Неправильно
Задание 6 из 6
6.
Расположите пределы функции \(f(x)=\frac{-x}{6x^{2}-7}\)в таком порядке:
\(x\rightarrow-\infty \), \(x\rightarrow-0 \), \(x\rightarrow+0 \), \(x\rightarrow+\infty \):
+0
\(+\infty \)
\(-\infty \)
-0
Правильно
Неправильно
Таблица лучших: Бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности
Всякую дробь вида $latex \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{n}…$, где $latex a_{0} $ — целое неотрицательное число, а $latex a_{i} $ — десятичные знаки $latex (0,1,2,3,4,…,9) $ назовём вещественным (или действительным) числом.
(если перед дробью стоит $latex +$, то его опускают)
Множество таких чисел называют множеством вещественных чисел и обозначают $latex \mathbb{R} $.
Если дробь $latex \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$ является периодической, то её называют рациональным числом, а если она непериодическая дробь, то это число иррациональное.
$latex \alpha < \beta $, либо когда $latex a_{0} < b_{0} $, либо если $latex a_{0} = b_{0}$ и $latex \exists n:a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{n-1}=b_{n-1}; a_{n}<b_{n} $.
2. Пусть $latex \alpha$ — неотрицательное и $latex \beta $ — отрицательное, тогда $latex \alpha > \beta $.
3. Пусть $latex \alpha$ и $latex \beta $ — отрицательные, тогда
Приближение вещественных чисел рациональными числами
Покажем, что любое вещественное число можно приблизить с любой степенью точности рациональными числами.
Возьмём вещественное число $latex a=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \ldots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \ldots$
Обрывая эту дробь на $latex n$-ном знаке после запятой получим рациональное число:
$latex {a}’=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0)$
Из правила сравнения вещественных чисел видно, что для $latex \forall n \in \mathbb{R}:$
$latex a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0) <$ $latex \underbrace{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \cdots}_{a}<$ $latex a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}+\frac{1}{10^{n}}$
Это неравенство значит, что число $latex a$ заключено между рациональными числами, разность между которыми равна $latex \frac{1}{10^{n}}$.
Возьмём, например $latex \varepsilon= \frac{1}{10^{3}}$.
Получаем $latex n>\lg 10^{3} \Rightarrow n>3$.
Вывод: для любого вещественного вещественного числа $latex a$ и для любой наперёд заданной точности $latex \varepsilon$ существуют $latex \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{Q}$ такие, что $latex \alpha_{1} \leq a \leq \alpha_{2}.$ $latex \alpha_{2}-\alpha_{1}<\varepsilon$.
Лемма
Если $latex \alpha$ и $latex \beta $ — вещественные числа. $latex \alpha ,\beta \in\mathbb{R}(\alpha < \beta )$, то $latex \exists r \in\mathbb{Q}:\alpha <r<\beta$.
$latex \square$ $latex 1) $ Если $latex \alpha$ и $latex \beta $ — рациональные, то $latex r=\frac{\alpha +\beta }{2}$.
$latex 1) $ Если одно из чисел $latex \alpha$ и $latex \beta $ иррациональное.
Допустим $latex \beta $ — иррациональное, тогда $latex \beta $ — бесконечная непереодическая дробь. Допустим $latex \alpha > 0 \Rightarrow \beta > 0$ (так как $latex \alpha < \beta $), тогда существует номер $latex p$, такой что $latex a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{p-1}=b_{p-1}$, $latex a_{p}<b_{p}$.
Так как $latex \beta $ — иррациональное, то оно не может быть конечной десятичной дробью с периодом $latex «0»$. Поэтому существует номер больше $latex p$. Например $latex p+n$, такой что $latex b_{p+n}>0$.
Имеем $latex r=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{p-1}b_{p}…b_{p+n-1}(0)$.
Получили число $latex r$, такое что $latex \alpha<r<\beta$. $latex \blacksquare$
Аксиомы действительных чисел
Множеством $latex \mathbb{R} $ называется множество, на котором выполняются следующие условия:
$latex 1)$ Во множестве $latex \mathbb{R}$ определена операция «сложение»: $latex \forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto a+b\in\mathbb{R}$ a. $latex a+b=b+a$ (сложение коммутативно); b. $latex (a+b)+c=a+(b+c)$ (сложение ассоциативно); с. $latex \exists 0\in \mathbb{R}:\forall a\in\mathbb{R}:a+0=a$ (наличие нейтрального элемента); d. $latex \forall a\in\mathbb{R}$ $latex \exists «-a»:a+(-a)=0$ (наличие противоположного элемента).
Число $latex a+(-b)$ называется разностью чисел $latex a$ и $latex b$ и обозначаются $latex a-b$.
$latex 2)$ В $latex \mathbb{R}$ определена операция «умножение»: $latex \forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto ab\in\mathbb{R}$ а. $latex ab=ba$ (коммутативность умножения); b. $latex a(bc)=(ab)c$ (ассоциативность умножения); с. $latex \exists 1\in\mathbb{R}: \forall a\in\mathbb{R}: a*1=a$ (наличие нейтрального элемента); d. $latex \forall a\neq 0:\exists a^{-1}\in\mathbb{R}:a*a^{-1}=1$ (наличие противоположного элемента).
$latex a*b^{-1}$ — частное деление $latex a$ на $latex b$ и обозначается $latex \frac{a}{b}$ или $latex a:b$.
$latex 3)$ Выполняется дистрибутивный закон (связь сложения и умножения):
$latex \forall a,b,c\in \mathbb{R}: a(b+c)=ab+ac$.
$latex 4)$ $latex \forall a\in \mathbb{R}: a<0$ либо $latex a=0$, либо $latex a>0$.
При этом, если $latex a>0$ и $latex b>0$ $latex \Rightarrow$ $latex a+b>0$, $latex ab>0$.
Числа больше 0 называются положительными. Числа меньше 0 называются отрицательными.
Если $latex a-b>0$, то пишут $latex a>b$;
Если $latex a-b<0$, то пишут $latex a<b$;
Если $latex a-b=0$, то пишут $latex a=b$.
Для множеств:
Для $latex A,B \subset \mathbb{R}$
Запись $latex A \leq B$ означает, что $latex \forall a \in A, \forall b \in B: a \leq b$.
Если $latex A= \left \{a \right \}$ (множество из одного элемента) и $latex A \leq B$, то $latex a \leq B$. Непрерывность множества $latex \mathbb{R}$ заключается в том, что в $latex \mathbb{R}$ нет «щелей», а именно справедлива:
Аксиома непрерывности
$latex \forall A,B \subset \mathbb{R} (A \neq \varnothing, B \neq \varnothing ):$ $latex a \leq b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R} :$ $latex a \leq c \leq b$. Неравенство Бернулли
Пусть $latex x\in \mathbb{R}, x\geq 1, n\in \mathbb{N}$. Тогда
$latex \left ( 1+x \right )^{n} \geq 1+nx$ Доказательство:
Если n=1 неравенство очевидно. Допустим, оно выполняется при $latex n \in \mathbb{N}$. Докажем его справедливость при $latex n+1 \in \mathbb{N}$. Действительно:
В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40 (скачать учебник можно здесь).
Интегрирование функций вида $latex R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})&s=2$
Интегралы типа $latex \int R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}}),$
где a, b, c, d — действительные числа, $latex r_{k}\in \mathbb{Q}(k=\overline{1,n})$, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки
$latex \frac {ax+b}{cx+d}=t^{p},$
где p — наименьшее общее кратное знаменателей чисел $latex r_{1},r_{2},…r_{n}.$
Действительно, из подстановки $latex \frac{ax+b}{cx+d}=t^{p}$ следует, что $latex x=\frac{b-dt^{p}}{ct^{p}-a}$ и $latex dx=-\frac {dpt^{p-1}(ct^{p}-a)-(b-dt^{p})cpt^{p-1}}{(ct^{p}-a)^{2}}dt$, т.е. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби $latex \frac{ax+b}{cx+d}$ выражается через рациональную функцию от t.
2) Найти интеграл $latex I=\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x+2)^{2}}-\sqrt{x+2}}.$ Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $latex \frac{2}{3}$ и $latex \frac{1}{2}$ есть 6. Сделав замену
