Замена переменной при вычислении предела

Теорема

Если существуют

$latex \lim_{x\to a}\varphi (x)=b$ и $latex \lim_{y\to b}f(y)=A$

причем для всех х из некоторой проколотой окрестности точки [latex]a[/latex] выполняется условие $latex \varphi (x)\neq b$ , то в точке [latex]a[/latex] существует предел сложной функции $latex f(\varphi (x))$ и справедливо равенство

$latex \lim_{x\to a}f(\varphi (x))=\lim_{y\to b}f(y)=A$

Спойлер

Проводим доказательство, используя определение предела функции по Гейне

$latex \forall \{x_{n}\} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} a \Rightarrow \{\varphi (x_{n}) \} \underset{n \to \infty }{\rightarrow} b \Rightarrow f(\varphi (x_{n})) \underset{n \to \infty }{\rightarrow} A$

[свернуть]

Примеры

Спойлер

Доказать что $latex \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1$

$latex \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}= \left [ t=arcsin(x) , t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right ]= \lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}=1$ (см. Первый замечательный предел)

[свернуть]

Спойлер

Доказать что $latex \lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1$

$latex \lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}= \left [ t=arctg(x), t \underset{x \to 0}{\rightarrow} 0 \right]=$ $latex \lim_{t \to 0}\frac{t}{tg(t)}=$ $latex \lim_{t \to 0}\frac{t}{sin(t)}cos(t)=1$ (см. Первый замечательный предел)

[свернуть]

Тест

Тест на понимание темы «Замена переменной при вычислении предела»

Задание 1 из 5

1.
Для чего используется метод замены переменных?
- Для того, чтобы свести решение к первому замечательному пределу
- Для того, чтобы свести решение ко второму замечательному пределу
- Чтобы привести к более легкому интегралу
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{arctg3x}{7x}[/latex]
Правильно

Неправильно

Правильный ответ 3/7
Задание 3 из 5

3.
Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{5x}{arcsin\frac{x}{2}}[/latex]
Правильно

Неправильно

Правильный ответ 10
Задание 4 из 5

4.
Найти предел методом замены переменной

[latex]\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1+cosx}{(x-\pi)^{2}}[/latex]
- $\frac{2}{\pi }$
- $\pi x$
- $2x$
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Найти предел методом замены переменной [latex]\lim_{x\rightarrow\pi}\frac{1+cosx}{(x-\pi)^{2}}[/latex]
Правильно

Неправильно

Правильный ответ 1/2

Источники

Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.(стр. 112-113)

В. И. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. К93:в 2-х ч. Ч. 1. — Одесса: Астропринт, 2009. (стр. 68-69)

Б.П.Демидович. Cборник задач и упражнений по математическому анализу

Непрерывность в точке и существование производной

Необходимое условие непрерывности (Связь непрерывности в точке и существования производной в точке)

Формулировка: Если функция [latex]y = f\left(x\right)[/latex] определена и дифференцируема (имеет производную) в некоторой окрестности [latex]U\left(x_{0}\right)[/latex], то она непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex].

Доказательство: Пусть функция [latex]y = f\left(x\right)[/latex] — имеет производную в точке [latex]x_{0}\Rightarrow[/latex];[latex]\Rightarrow \exists \lim\limits_{x \to x_{0}}\frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=[/latex][latex]{f}’\left(x_{0}\right)\Rightarrow \frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} = [/latex][latex]{f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)[/latex], где [latex]\alpha \left(\Delta x\right) = \underset{\Delta x \to 0}{o\left(\Delta x\right)}[/latex][latex]\Rightarrow f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) =[/latex][latex] \left(x-x_{0}\right)\left({f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)\right)\Rightarrow[/latex][latex] \lim\limits_{x\to x_{0}} f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) = 0\Rightarrow[/latex] функция [latex]f\left(x\right)[/latex] — непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex].

Замечание: Условие непрерывности функции в точке не является достаточным для дифференцируемости функции в точке.

Контр-пример:
[latex]y = |x|, y \in C_{\left(-\infty; +\infty\right)}[/latex]
[latex]\forall x_{0} \in \mathbb{R} \lim\limits_{x \to x_{0}} |x| = |x_{0}|[/latex]

При [latex]x_{0} = 0[/latex] и [latex]\Delta x > 0[/latex], то получим [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1 \neq \lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -1[/latex], где [latex]\Delta x < 0[/latex], а значит функция [latex]y = |x|[/latex] — не дифференцируема в точке 0, хотя и непрерывна в ней.

Список литературы:

Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 108-109.
Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Тест:

Непрерывность в точке и существование производной

Тест на знание связи дифференцируемости и непрерывности.

Задание 1 из 3

1.
Количество баллов: 5
Какие из ниже-представленных функций являются дифференцируемыми в точке 0?
- $x^2$
- $|x|$
- $\frac{1}{x}$
- $4x^3$
- $e^x$
- $\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$
- $\cos x$
- $\frac{1}{1+x^2}$
- $\ln\left(x-1\right)$
Правильно 5 / 5Баллы

Отлично!

Неправильно / 5 Баллы

Ай-ай, будьте внимательней.

Задание 2 из 3

2.

Количество баллов: 7

Установите соответствие между функциями и точками, в которых они дифференцируемы/не дифференцируемы.

Элементы сортировки

не дифференцируема в точке 0
не дифференцируема в точке -1
дифференцируема на всей области определения
не является дифференцируемой

$sin\left(\frac{1}{x}\right)$

$\frac{1}{1+x^5}$

$e^{x^2}$

Функция Дирихле, принимающая значение 1, если аргумент является рациональным числом, и значение 0, если аргумент является иррациональным числом

Задание 3 из 3

3.
Количество баллов: 4
Что даёт нам дифференцируемость в точке, в контексте данного материала?
- Если функция дифференцируема в точке, то по необходимому условию дифференцируемости в точке она обязательно в этой точке. Достаточно ли непрерывности в точке, для того что бы говорить о наличии производной в этой точке? .
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Непрерывность в точке и существование производной

максимум из 16 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Различные типы пределов: бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

Бесконечные пределы в конечной точке

Проколотой окрестностью точки [latex]a[/latex] называется:

[latex]\dot{U}_{\delta }(a)=(a-\delta ;a)\cup (a;a+\delta ).[/latex]

Пусть функция [latex]f(x)[/latex] определена в некоторой проколотой окрестности точки [latex]a.[/latex] Говорят, что [latex]f(x)[/latex] имеет бесконечный предел в этой точке [latex](\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= \infty),[/latex] если:

[latex]\forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: |f(x)|>\varepsilon.[/latex]

В этом случае функцию называют бесконечно большой при [latex]x\rightarrow a.[/latex] Данный общий случай можно разделить на два частных:

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= +\infty\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)>\varepsilon[/latex]

и, соответственно

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)= -\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0 \: \exists \delta>0 :\forall x\in\dot{U}_{\delta }(a):\: f(x)<-\varepsilon.[/latex]

Пример 1

Дана функция [latex]f(x)=\frac{1}{x}:[/latex]
$frac1x$
Найти предел при [latex]x\rightarrow 0.[/latex]

Спойлер

Пределы на бесконечности

Число [latex]A[/latex] называют пределом функции [latex]f(x)[/latex] на бесконечности [latex](\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=A),[/latex] если

[latex]\forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex]

Отсюда, очевидно, следуют определения предела на [latex]+\infty:[/latex]

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x >\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon[/latex]

и на [latex]-\infty:[/latex]

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)-A|<\varepsilon.[/latex]

Абсолютно аналогично определяется бесконечный предел на бесконечности:

[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=+ \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow \infty }f(x)=- \infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall |x|>\delta _{\varepsilon }:\: f(x)<-\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x<-\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]
[latex]\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\: \exists \delta _{\varepsilon }>0:\forall x>\delta _{\varepsilon }:\: |f(x)|>\varepsilon[/latex]

Пример 2

Рассмотрим функцию [latex]f(x)=\ln x^{2}:[/latex]
lnxpow2

Спойлер

Литература

Тест

Задание 1 из 6

1.

Сопоставьте записи в кванторах с определениями:

Элементы сортировки

$\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x \in \dot{U}_{\delta }(a): |f(x)|>\varepsilon$
$\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x>\delta: |f(x)-A|<\varepsilon$
$\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x \in \dot{U}_{\delta }(a): f(x)>\varepsilon$
$\forall \varepsilon >0\: \exists \delta >0:\forall x>\delta: \left |f(x) \right |>\varepsilon$

Функция бесконечно большая при

$x\rightarrow a$

Предел функции равен

$A$ при

$x\rightarrow +\infty$

Предел функции равен

$+\infty$ при

$x\rightarrow a$

Функция бесконечно большая при

$x\rightarrow +\infty$

Задание 2 из 6

2.
Проколотой $\delta$ -окрестностью точки $a$ называется:
- $(x-\delta )\cup (x+\delta )$ , где $x\in (a-\delta;a+\delta)$
- $(a-\delta )\cup (a+\delta )$
- $\bigcup_{1}^{n}(x_{i-1}:x_{i})$ , где $x_{0}=a-\delta$ и $x_{n}=a+\delta$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 6

3.
Проанализируйте график функции $|e^{2x+2}+1|-1$ :
- функция $f(x)$ ограничена на всей числовой оси
- функция $f(x)$ ограничена в некоторой окрестности точки $-1$
- $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty }f(x)=2$
- функция $f(x)$ не имеет предела при $x\rightarrow +\infty$
- предел функции $f(x)$ при $x\rightarrow +\infty$ равен $+\infty$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 6

4.
Функция, удовлетворяющая условию $\forall x_{1},x_{2}:x_{1}<x_{2}:f(x_{1})<f(x_{2})$ называется:
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 6

5.
Заполните пропуски.
- Функция имеет предел при $x\rightarrow a$ , если для $\varepsilon$ $\delta$ , что для всех $x$ из $(a-\delta ;a)\cup (a;a+\delta )$ $|f(x)|>$ (эпсилон, епсилон)
Правильно

Неправильно
Задание 6 из 6

6.
Расположите пределы функции $f(x)=\frac{-x}{6x^{2}-7}$ в таком порядке:
$x\rightarrow-\infty$ , $x\rightarrow-0$ , $x\rightarrow+0$ , $x\rightarrow+\infty$ :
- +0
- $+\infty$
- $-\infty$
- -0
Правильно

Неправильно

Таблица лучших: Бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

максимум из 17 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Вступление в теорию действительных чисел

Множество вещественных чисел

Всякую дробь вида $latex \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{n}…$ , где $latex a_{0}$ — целое неотрицательное число, а $latex a_{i}$ — десятичные знаки $latex (0,1,2,3,4,…,9)$ назовём вещественным (или действительным) числом.

(если перед дробью стоит $latex +$ , то его опускают)

Множество таких чисел называют множеством вещественных чисел и обозначают $latex \mathbb{R}$ .

Если дробь $latex \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$ является периодической, то её называют рациональным числом, а если она непериодическая дробь, то это число иррациональное.

Например: $latex x^{2}=2$

$latex x=\pm\sqrt{2}=1,41421…$

$latex x$ — иррациональное число.

$latex \mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

$latex \mathbb{R}-\mathbb{Q}$ — множество иррациональных чисел.

Сравнение вещественных чисел

1.Пусть $latex \alpha$ и $latex \beta$ — неотрицательные вещественные числа.

$latex \alpha = a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$ ; $latex \beta = b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}…$ ;

$latex \alpha = \beta$ $latex \Leftrightarrow$ $latex a_{k}=b_{k}$ , $latex k=0,1,2,…$

$latex \alpha < \beta$ , либо когда $latex a_{0} < b_{0}$ , либо если $latex a_{0} = b_{0}$ и $latex \exists n:a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{n-1}=b_{n-1}; a_{n}<b_{n}$ .

2. Пусть $latex \alpha$ — неотрицательное и $latex \beta$ — отрицательное, тогда $latex \alpha > \beta$ .

3. Пусть $latex \alpha$ и $latex \beta$ — отрицательные, тогда

$latex \alpha = \beta \Leftrightarrow \left | \alpha \right |=\left | \beta \right |$ ;

$latex \alpha < \beta \Leftrightarrow \left | \alpha \right |>\left | \beta \right |$ ,

где $latex \left | \alpha \right |=\left | \pm a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}… \right |=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…$ ; $latex \left | \beta \right |=\left | \pm b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}… \right |=b_{0},b_{1}b_{2}b_{3}…$

Приближение вещественных чисел рациональными числами

Покажем, что любое вещественное число можно приблизить с любой степенью точности рациональными числами.

Возьмём вещественное число $latex a=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \ldots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \ldots$

Обрывая эту дробь на $latex n$ -ном знаке после запятой получим рациональное число:
$latex {a}’=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0)$
Из правила сравнения вещественных чисел видно, что для $latex \forall n \in \mathbb{R}:$
$latex a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}(0) <$ $latex \underbrace{a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}a_{n+1}a_{n+2} \cdots}_{a}<$ $latex a_{0},a_{1}a_{2}a_{3} \cdots a_{n}+\frac{1}{10^{n}}$
Это неравенство значит, что число $latex a$ заключено между рациональными числами, разность между которыми равна $latex \frac{1}{10^{n}}$ .

$latex \frac{1}{10^{n}}<\varepsilon$ ; $latex \varepsilon-$ фиксируемое $latex \Rightarrow 1<\varepsilon 10^{n}$ $latex \Rightarrow \frac{1}{\varepsilon}<10^{n} \Rightarrow$ $latex n> \lg \frac{1}{\varepsilon}.$

Возьмём, например $latex \varepsilon= \frac{1}{10^{3}}$ .

Получаем $latex n>\lg 10^{3} \Rightarrow n>3$ .

Вывод: для любого вещественного вещественного числа $latex a$ и для любой наперёд заданной точности $latex \varepsilon$ существуют $latex \alpha_{1}, \alpha_{2} \in \mathbb{Q}$ такие, что $latex \alpha_{1} \leq a \leq \alpha_{2}.$ $latex \alpha_{2}-\alpha_{1}<\varepsilon$ .

Лемма

Если $latex \alpha$ и $latex \beta$ — вещественные числа. $latex \alpha ,\beta \in\mathbb{R}(\alpha < \beta )$ , то $latex \exists r \in\mathbb{Q}:\alpha <r<\beta$ .
$latex \square$ $latex 1)$ Если $latex \alpha$ и $latex \beta$ — рациональные, то $latex r=\frac{\alpha +\beta }{2}$ .
$latex 1)$ Если одно из чисел $latex \alpha$ и $latex \beta$ иррациональное.
Допустим $latex \beta$ — иррациональное, тогда $latex \beta$ — бесконечная непереодическая дробь. Допустим $latex \alpha > 0 \Rightarrow \beta > 0$ (так как $latex \alpha < \beta$ ), тогда существует номер $latex p$ , такой что $latex a_{1}=b_{1}, a_{2}=b_{2},…,a_{p-1}=b_{p-1}$ , $latex a_{p}<b_{p}$ .
Так как $latex \beta$ — иррациональное, то оно не может быть конечной десятичной дробью с периодом $latex «0»$ . Поэтому существует номер больше $latex p$ . Например $latex p+n$ , такой что $latex b_{p+n}>0$ .
Имеем $latex r=a_{0},a_{1}a_{2}a_{3}…a_{p-1}b_{p}…b_{p+n-1}(0)$ .
Получили число $latex r$ , такое что $latex \alpha<r<\beta$ . $latex \blacksquare$

Аксиомы действительных чисел

Множеством $latex \mathbb{R}$ называется множество, на котором выполняются следующие условия:

$latex 1)$ Во множестве $latex \mathbb{R}$ определена операция «сложение»: $latex \forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto a+b\in\mathbb{R}$
a. $latex a+b=b+a$ (сложение коммутативно);
b. $latex (a+b)+c=a+(b+c)$ (сложение ассоциативно);
с. $latex \exists 0\in \mathbb{R}:\forall a\in\mathbb{R}:a+0=a$ (наличие нейтрального элемента);
d. $latex \forall a\in\mathbb{R}$ $latex \exists «-a»:a+(-a)=0$ (наличие противоположного элемента).
Число $latex a+(-b)$ называется разностью чисел $latex a$ и $latex b$ и обозначаются $latex a-b$ .

$latex 2)$ В $latex \mathbb{R}$ определена операция «умножение»: $latex \forall a,b\in\mathbb{R}\mapsto ab\in\mathbb{R}$
а. $latex ab=ba$ (коммутативность умножения);
b. $latex a(bc)=(ab)c$ (ассоциативность умножения);
с. $latex \exists 1\in\mathbb{R}: \forall a\in\mathbb{R}: a*1=a$ (наличие нейтрального элемента);
d. $latex \forall a\neq 0:\exists a^{-1}\in\mathbb{R}:a*a^{-1}=1$ (наличие противоположного элемента).
$latex a*b^{-1}$ — частное деление $latex a$ на $latex b$ и обозначается $latex \frac{a}{b}$ или $latex a:b$ .

$latex 3)$ Выполняется дистрибутивный закон (связь сложения и умножения):
$latex \forall a,b,c\in \mathbb{R}: a(b+c)=ab+ac$ .
$latex 4)$ $latex \forall a\in \mathbb{R}: a<0$ либо $latex a=0$ , либо $latex a>0$ .

При этом, если $latex a>0$ и $latex b>0$ $latex \Rightarrow$ $latex a+b>0$ , $latex ab>0$ .

Числа больше 0 называются положительными. Числа меньше 0 называются отрицательными.

Если $latex a-b>0$ , то пишут $latex a>b$ ;

Если $latex a-b<0$ , то пишут $latex a<b$ ;

Если $latex a-b=0$ , то пишут $latex a=b$ .

Для множеств:
Для $latex A,B \subset \mathbb{R}$
Запись $latex A \leq B$ означает, что $latex \forall a \in A, \forall b \in B: a \leq b$ .
Если $latex A= \left \{a \right \}$ (множество из одного элемента) и $latex A \leq B$ , то $latex a \leq B$ .
Непрерывность множества $latex \mathbb{R}$ заключается в том, что в $latex \mathbb{R}$ нет «щелей», а именно справедлива:

Аксиома непрерывности

$latex \forall A,B \subset \mathbb{R} (A \neq \varnothing, B \neq \varnothing ):$ $latex a \leq b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R} :$ $latex a \leq c \leq b$ .
Неравенство Бернулли
Пусть $latex x\in \mathbb{R}, x\geq 1, n\in \mathbb{N}$ . Тогда
$latex \left ( 1+x \right )^{n} \geq 1+nx$
Доказательство:
Если n=1 неравенство очевидно. Допустим, оно выполняется при $latex n \in \mathbb{N}$ . Докажем его справедливость при $latex n+1 \in \mathbb{N}$ . Действительно:

$latex \left ( 1+x \right )^{n+1}=$ $latex \left ( 1+x \right )^{n}\left ( 1+x \right )\geq \left ( 1+nx \right )\left ( 1+x \right )$ ;

$latex \left ( 1+nx \right )\left ( 1+x \right )=$ $latex 1+\left ( n+1 \right )x+nx^{2}\geq 1+\left ( n+1 \right )x$ .

Что и требовалось доказать. $latex \blacksquare$

Вступление в теорию действительных чисел

Тестовые вопросы по вышеизложенному материалу.

Таблица лучших: Вступление в теорию действительных чисел

максимум из 5 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Источники:

З.М. Лысенко. Лекции по математическому анализу.
В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.2.
В.И.Ильин, Э.Г.Позняк «Основы мат.анализа, часть 1, выпуск 2» (Издание четвёртое, переработанное и дополненное, 1982г.) стр.40 (скачать учебник можно здесь).

Подробнее о вещественных числах на:

Wikipedia

matica.org.ua

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей

Интегрирование функций вида $latex R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})&s=2$

Интегралы типа $latex \int R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}}),$
где a, b, c, d — действительные числа, $latex r_{k}\in \mathbb{Q}(k=\overline{1,n})$ , сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки

$latex \frac {ax+b}{cx+d}=t^{p},$

где p — наименьшее общее кратное знаменателей чисел $latex r_{1},r_{2},…r_{n}.$
Действительно, из подстановки $latex \frac{ax+b}{cx+d}=t^{p}$ следует, что $latex x=\frac{b-dt^{p}}{ct^{p}-a}$ и $latex dx=-\frac {dpt^{p-1}(ct^{p}-a)-(b-dt^{p})cpt^{p-1}}{(ct^{p}-a)^{2}}dt$ , т.е. x и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби $latex \frac{ax+b}{cx+d}$ выражается через рациональную функцию от t.

Примеры

1)Найти $latex I=\int\frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+1}}dx$ . Сделав подстановку

$latex t=\sqrt{x+1};dx=2tdt$

будем иметь

$latex I=2\int\frac{t+2}{t^{3}-1}dt=\int(\frac{2}{t-1}-\frac{2t+2}{t^{2}+t+1})dt=2\int\frac{dt}{t-1}-\int\frac{2t+1}{t^{2}+t+1}dt-\int\frac{dt}{(t+1\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}=$

$latex =ln\frac{(t-1)^{2}}{t^{2}+t+1}-\frac{2}{\sqrt{3}}arctg\frac{2t+1}{\sqrt{3}}+C.$

2) Найти интеграл $latex I=\int\frac{dx}{\sqrt[3]{(x+2)^{2}}-\sqrt{x+2}}.$ Наименьшее общее кратное знаменателей дробей $latex \frac{2}{3}$ и $latex \frac{1}{2}$ есть 6. Сделав замену

$latex t=\sqrt[6]{x+2};dx=6t^{5}dt$

будем иметь

$latex I=\int\frac{6t^{5}dt}{t^{4}-t^{3}}=6\int\frac{t^{2}dt}{t-1}=6\int\frac{(t^{2}-1)+1}{t-1}dt=6\int(t+1+\frac{1}{t-1})dt=3t^{2}+6t+$

$latex +6ln\left|t-1\right|+C=3\sqrt[3]{x+2}+6\sqrt[6]{x+2}+6ln\left|\sqrt[6]{x+2}-1\right|+C.$

Литература

Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012

www.znannya.org_Интегрирование иррациональных функций

Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, часть 1(3), О.:2009, стр.60

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Теорема

Примеры

Доказать что latexlimx→0arcsin(x)x=1latex \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1

Доказать что latexlimx→0arctg(x)x=1latex \lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Источники

Необходимое условие непрерывности (Связь непрерывности в точке и существования производной в точке)

Тест:

Непрерывность в точке и существование производной

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

Таблица лучших: Непрерывность в точке и существование производной

Бесконечные пределы в конечной точке

Пример 1

Пределы на бесконечности

Пример 2

Литература

Навигация (только номера заданий)

Информация

Тест

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

6.

Таблица лучших: Бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности

Множество вещественных чисел

(если перед дробью стоит latex+latex +, то его опускают)

Сравнение вещественных чисел

Приближение вещественных чисел рациональными числами

Лемма

Аксиомы действительных чисел

Вступление в теорию действительных чисел

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица лучших: Вступление в теорию действительных чисел

Источники:

Интегрирование функций вида latex R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})&s=2latex R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})&s=2

Доказать что $latex \lim_{x \to 0}\frac{arcsin(x)}{x}=1$

Доказать что $latex \lim_{x \to 0}\frac{arctg(x)}{x}=1$

(если перед дробью стоит $latex +$ , то его опускают)

Интегрирование функций вида $latex R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{1}},…,(\frac{ax+b}{cx+d})^{r_{n}})&s=2$