Метка: Производная

Теорема о разности двух первообразных

Дифференцируемые в промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex] функции [latex]F(x)[/latex] и [latex]G(x)[/latex] будут в этом промежутке первообразными одной и той же функции [latex]f(x)[/latex] тогда и только тогда, когда разность их значений для любого [latex]x\in\bigtriangleup[/latex] постоянна.

[latex]F(x)-G(x)=C=const[/latex]

Спойлер

Пусть  [latex]F(x)[/latex] — некоторая первообразная функции [latex]f(x)[/latex] в промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex]. Следовательно, по определению [latex]F'(x)=f(x)[/latex]. Но тогда и функция [latex]G(x)=F(x)-C[/latex] ([latex]C=const[/latex]) также является промежутке первообразной функции [latex]f(x)[/latex] в этом промежутке , поскольку [latex]G'(x)=(F(x)-C)’=F'(x)=f(x)[/latex].

Пусть [latex]F(x)-G(x)=H(x)[/latex]. Найдем производную

[latex]H'(x)=(F(x)-G(x))’=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0[/latex]

Но в силу признака постоянства дифференцируемой функции, вытекающего из теоремы Лагранжа, равенство [latex]H'(x)=0[/latex] означает, что [latex]H(x)=F(x)-G(x)=C=const[/latex].
Итак, доказана эквивалентность тому, что функция [latex]F(x)[/latex] и [latex]G(x)[/latex] могут быть первообразными лишь одной и той же функции.

[свернуть]

Литература.

  1. Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999., Стр. 15

Тест

Теорема о разнице двух первообразных

Таблица лучших: Теорема о разнице двух первообразных

максимум из 1 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Теорема Ролля о корне производной

Формулировка

Если [latex]f(x)\in C[a,b][/latex] (т.е. она непрерывна на этом промежутке), дифференцируема на (a,b) и [latex]f(a)=f(b)[/latex] тогда [latex]\exists \xi \in (a,b): f'(\xi )=0.[/latex] Теорему Ролля можно сформулировать кратко так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один ноль производной этой функции. Для случая [latex]f(a)=f(b)=0[/latex] теорема формируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один ноль ее производной.

Доказательство

Обозначим [latex]M=sup f(x), m=inf f(x)[/latex] для [latex]a\leq x\leq b.[/latex] По теореме Вейерштрасса на отрезке [latex][a,b][/latex] существуют такие точки [latex]c_{1} [/latex] и [latex]c_{2},[/latex] что [latex]f(c_{1})=m, f(c_{2})=M.[/latex] Если [latex]M=m,[/latex] то [latex]f(x)=const,[/latex] и в качестве [latex]\xi [/latex] можно взять любую точку интервала [latex](a,b).[/latex]
Если [latex]m\neq M,[/latex] то [latex]m<M,[/latex] и поэтому [latex]c_{1} 0[/latex] такое, что [latex]U_{\delta}(c_{1})\subset (a,b).[/latex] Так как для всех [latex]x\in U_{\delta }(c_{1})[/latex] выполняется условие [latex]f(x)\geq f(c_{1})=m,[/latex] то по теореме Ферма [latex]f'(c_{1})=0,[/latex] т.е. условие [latex]f'(\xi )=0[/latex] выполняется при [latex]\xi=c_{1}.[/latex] Аналогично рассматривается случай когда [latex]c_{2}\in (a,b).[/latex]

Геометрический смысл теоремы Ролля

При условиях теоремы [latex]\exists \xi \in (a,b):[/latex] касательная к [latex]y=f(x)[/latex] в точке [latex](\xi, f(\xi ))[/latex] параллельна оси ox

Rolla

Замечание! Все условия теоремы существенны.

Пример

Удовлетворяет ли функция[latex] y=2-|x|,[/latex] определенная на всей вещественной оси, условиям теоремы?

Спойлер

Эта функция удовлетворяет всем условиям, кроме одного. Для этой функции не существует точки на интервале (-2,2), в которой производная была бы равна нулю.

gb

[свернуть]

Теорема Ролля о корне производной

Этот тест был составлен для того, чтобы проверить знание теоремы Ролля о корне производной

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.165-166
  • Демидович Б.П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1981. стр.134-140

Определение первообразной

Функция [latex]F[/latex] называется первообразной функцией функции [latex]f[/latex] на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex], если [latex]F[/latex] дифференцируема на [latex]\bigtriangleup[/latex] и в каждой точке этого промежутка производная функции [latex]F[/latex] равна значению функции [latex]f[/latex]:

[latex]F'(x)-f(x)[/latex], [latex]x\in\bigtriangleup[/latex]

При этом если некоторый конец промежутка [latex]\bigtriangleup[/latex] принадлежит промежутку , то под производной в этом конце понимается соответствующая односторонняя производная. Функция, имеющая в данной точке производную , непрерывна в этой точке , поэтому первообразная [latex]F[/latex] функции [latex]f[/latex] непрерывна на промежутке [latex]\bigtriangleup[/latex].

Примеры

    1. Функция [latex]F(x)=\frac{x^3}{3}[/latex] является первообразной функции [latex]f(x)=x^2[/latex] на всей числовой оси.
    2. [latex]f(x)=\frac{1}{7-3x}[/latex]     [latex]F(x)=-\frac{1}{3}ln|7-3x|+C[/latex]

Решите самостоятельно

[latex]f(x)=3x^2[/latex]

Спойлер

[latex]F(x)=x^3[/latex]

[свернуть]

 

[latex]f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}[/latex], при [latex]x>0[/latex]

Спойлер

[latex]F(x)=2\sqrt{x}[/latex]

[свернуть]

 

[latex]f(x)=-\frac{1}{x^2}[/latex], при [latex]x\ne0[/latex]

Спойлер

[latex]F(x)=\frac{1}{x}[/latex]

[свернуть]

 

[latex]f(x)=cos(x)[/latex]

Спойлер

[latex]F(x)=sin(x)[/latex]

[свернуть]

 

Ниже приведены графики функции [latex]f(x)=cos(x)[/latex](красный цвет) и ее первообразной [latex]F(x)=sin(x)[/latex](зеленый цвет) при значении произвольной постоянной [latex]C=0[/latex].

cos

Литература

  1. Лысенко З.М., Конспект лекций по математическому анализу, 2012
  2. Зарубин В.С., Интегральное исчисление функций одного переменного. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,1999, Стр. 14
  3. Кудрявцев Л.Д., Курс Математического Анализа, 2003. — М.: Дрофа, Т.1. Стр. 453-454

Тест

Определение первообразной

Таблица лучших: Определение первообразной

максимум из 10 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Непрерывность в точке и существование производной

Необходимое условие непрерывности (Связь непрерывности в точке и существования производной в точке)

Формулировка: Если функция [latex]y = f\left(x\right)[/latex] определена и дифференцируема (имеет производную) в некоторой окрестности [latex]U\left(x_{0}\right)[/latex], то она непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex].

Доказательство: Пусть функция [latex]y = f\left(x\right)[/latex] — имеет производную в точке [latex]x_{0}\Rightarrow[/latex];[latex]\Rightarrow \exists \lim\limits_{x \to x_{0}}\frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=[/latex][latex]{f}’\left(x_{0}\right)\Rightarrow \frac{f\left(x\right) — f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} = [/latex][latex]{f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)[/latex], где [latex]\alpha \left(\Delta x\right) = \underset{\Delta x \to 0}{o\left(\Delta x\right)}[/latex][latex]\Rightarrow f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) =[/latex][latex] \left(x-x_{0}\right)\left({f}’\left(x_{0}\right)+\alpha \left(\Delta x\right)\right)\Rightarrow[/latex][latex] \lim\limits_{x\to x_{0}} f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right) = 0\Rightarrow[/latex] функция [latex]f\left(x\right)[/latex] — непрерывна в точке [latex]x_{0}[/latex].

Замечание: Условие непрерывности функции в точке не является достаточным для дифференцируемости функции в точке.

Контр-пример:
[latex]y = |x|, y \in C_{\left(-\infty; +\infty\right)}[/latex]
[latex]\forall x_{0} \in \mathbb{R} \lim\limits_{x \to x_{0}} |x| = |x_{0}|[/latex]
KPabs
При [latex]x_{0} = 0[/latex] и [latex]\Delta x > 0[/latex], то получим [latex]\lim\limits_{\Delta x \to 0+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = 1 \neq \lim\limits_{\Delta x \to 0-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = -1[/latex], где [latex]\Delta x < 0[/latex], а значит функция [latex]y = |x|[/latex] — не дифференцируема в точке 0, хотя и непрерывна в ней.

Список литературы:

  • Курс лекций по математическому анализу в двух частях Часть 1. В.И.Коляда, А.А.Кореновский стр. 108-109.
  • Лекции Зои Михайловны Лысенко.

Тест:


Непрерывность в точке и существование производной

Тест на знание связи дифференцируемости и непрерывности.

Таблица лучших: Непрерывность в точке и существование производной

максимум из 16 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Условия монотонности функции в терминах производной

Теорема (критерий возрастания и убывания функции на интервале)

Для того чтобы дифференцируемая функция [latex] f(x)[/latex] на интервале [latex] (a;b)[/latex] была возрастающая, необходимо и достаточно, чтобы [latex]\forall x\in (a;b)[/latex] [latex] f'(x)\geq 0 [/latex].

Доказательство

Необходимость

  • Дано: [latex]f(x)[/latex] возрастает на интервале [latex](a;b)[/latex].
  • Требуется доказать: [latex] f'(x)\geq 0[/latex].

Пусть [latex]x_{0}[/latex] произвольная точка на интервале [latex] (a;b)[/latex], пусть [latex]x>x_{0} [/latex], тогда в силу монотонного возрастания функции [latex] f(x)\geq f(x_{0})[/latex] для любого значения [latex] x[/latex] из интервала [latex] (a;b)[/latex], [latex] x\neq x_{0}[/latex] [latex]\Rightarrow [/latex]

 $latex \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}>0. &s=1 $

По свойству сохранения знака предела:

$latex \lim\limits_{x\rightarrow x_{0}^{}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\geqslant 0, &s=1 $

а это и есть[latex] f'(x_{0})[/latex].

Достаточность

  • Дано: [latex] f'(x)\geq 0[/latex] .
  • Требуется доказать: [latex]f(x)[/latex] возрастает на интервале[latex](a;b)[/latex].

Пусть[latex] f'(x)\geq 0[/latex] [latex]\forall x\in (a;b)[/latex].
Выберем произвольные точки [latex] x_{1}[/latex] и [latex] x_{2}[/latex], принадлежащие интервалу [latex] (a;b)[/latex], и не ограничивая общности скажем, что [latex] x_{2}>x_{1}[/latex].
Применим к функции [latex]f [/latex] формулу Лагранжа о конечных приращениях:
[latex] f(x_{2})-f(x_{1})=f'(\xi)*(x_{2}-x_{1})\geq 0.[/latex] Из того что [latex] x_{2}>x_{1} => f(x_{2})\geq f(x_{1}) => [/latex]
Доказали нестрогое возрастание.

Теорема (достаточное условие строгой монотонности)

    1. [latex]\forall x\in (a;b)[/latex] [latex] f'(x)>0 \Rightarrow f [/latex] строго возрастает на [latex] (a;b)[/latex].
    2. [latex]\forall x\in (a;b)[/latex] [latex] f'(x)<0 \Rightarrow f [/latex] строго убывает на [latex] (a;b)[/latex].

Доказательство

Пусть [latex] x_{2}>x_{1} [/latex], применим формулу конечных приращений Лагранжа: [latex]f(x_{2})-f(x_{1})=f'(\xi)*(x_{2}-x_{1})>0[/latex], так как [latex]x_{2}>x_{1}[/latex] и [latex]f'(\xi)>0[/latex], то [latex]f(x_{2})<f(x_{1})[/latex].
Пусть [latex] x_{2}<x_{1} [/latex], применим формулу конечных приращений Лагранжа: [latex]f(x_{1})-f(x_{2})=f'(\xi)*(x_{1}-x_{2})>0[/latex], так как [latex]x_{2}<x_{1}[/latex] и [latex]f'(\xi)>0[/latex], то [latex]f(x_{2})<f(x_{1})[/latex].

Пример

Исследовать функцию [latex]f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5[/latex] на возрастание и убывание.

Решение

  1. Функция [latex]f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5[/latex] дифференцируема на [latex]R[/latex], [latex]f'(x)=3x^{2}-6x-9[/latex].
  2. Для определения промежутков возрастания и убывания функции решаем уравнение: [latex]x^{2}-2x-3=0[/latex]. Решениями уравнения являются точки: [latex]x=-1[/latex] и [latex]x=3[/latex], которые разбивают числовую прямую на три отрезка. Получаем:

    E-okr0

    [latex]x^{2}-2x-3>0 \Leftrightarrow x\in ( -\infty ;-1) \cup (3;+\infty)\Rightarrow f(x)[/latex] возрастает на отрезках [latex] x\in ( -\infty ;-1] \cup [3;+\infty)[/latex]
    [latex]x^{2}-2x-3<0\Leftrightarrow x\in \left ( -1;3 \right )\Rightarrow f(x)[/latex] убывает на отрезке [latex]x\in [-1 ;3][/latex].

  3. Выполним проверку
    Для проверки построим график этой функции.

    график

    Ответ:

    [latex]f(x)[/latex] возрастает на отрезках [latex] x\in ( -\infty ;-1] \cup [3;+\infty)[/latex].
    [latex]f(x)[/latex] убывает на отрезке [latex]x\in \left [ -1 ;3\right ][/latex].

    4. Источники:

    Тест по теме: условия монотонности функции в терминах производной

    Проверьте себя на знание теоретического и практического материала по теме: Условия монотонности функции в терминах производной.


    Таблица лучших: Тест по теме: условия монотонности функции в терминах производной

    максимум из 8 баллов
    Место Имя Записано Баллы Результат
    Таблица загружается
    Нет данных