Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Для равномерной сходимости несобственного интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ необходимо и достаточно выполнение условия Коши. А именно: $\forall \varepsilon > 0 \, \exists \eta < b$ такое, что $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство $\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon.$

Доказательство

Необходимость

Пусть интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ равномерно сходится по параметру $y$ $\epsilon$ $Y$ . Из определения получаем, что $\forall\varepsilon > 0$ найдется такое $\eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ , что $\forall \eta^\prime$ $\epsilon$ $[b,\eta)$ и для всех $y$ $\epsilon$ $Y$ выполнялось следующее неравенство
$\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx \right| < \frac{\varepsilon}{2}.$ При $\eta^\prime , \eta^{\prime\prime}$ $\epsilon$ $[\eta,b)$ , $y$ $\epsilon$ $Y$ получим такое неравенство $\left| \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| = \left| \int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx — \int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq$ $\leq \left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b}f(x,y)dx\right| + \left|\int\limits_{\eta^{\prime\prime}}^{b}f(x,y)dx\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon,$ а значит, что условие Коши выполнено.

Достаточность

Положим, что условие Коши выполняется. А это означает, что в силу критерия Коши несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ . Докажем равномерную сходимость на $Y$ . Рассмотрим неравенство $\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| <\varepsilon,$ в котором устремим $\eta^{\prime\prime}$ к $b$ , при этом $\eta^{\prime\prime} < b$ . В результате для любого $\eta^{\prime} > \eta$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ получаем следующее: $\left|\int\limits_{\eta^{\prime}}^{b}f(x,y)dx \right| \leq\varepsilon,$ что и означает равномерную сходимость интеграла $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ на $Y$ . $\Box$

Пример

Проверить интеграл на равномерную сходимость.

$\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-yx^{2}}dx$

Решение

Данный интеграл сходится $\forall y > 0$ . Если он сходится равномерно, то для любых (фиксированных) $\eta^{\prime},\eta^{\prime\prime}\geq\eta$ и при всех $y>0$ выполняется неравенство

$\int\limits_{\eta^{\prime}}^{\eta^{\prime\prime}} e^{-yx^{2}}dx <\varepsilon. (\bigstar)$

По теореме о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра, интеграл в левой части представляет собой непрерывную функцию переменной $y$ . Отсюда $F(y) \equiv \int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}} e^{-yx^{2}}dx \rightarrow F(0) = \eta^{\prime\prime} — \eta^\prime (y \rightarrow 0).$

Так как $F(y) <\varepsilon$ , то и $F(0) = \lim\limits_{y \rightarrow 0}F(y) \leq\varepsilon$ , что означает $\eta^{\prime\prime} — \eta^\prime \leq\varepsilon$ . Однако из-за того, что $\eta^\prime,\eta^{\prime\prime}$ $\epsilon$ $[\eta, +\infty)$ можно выбрать таким образом, что $\eta^{\prime\prime} — \eta^\prime$ будет сколь угодно большим, неравенство $\bigstar$ не выполняется для всех $\eta^\prime,\eta^{\prime\prime}$ из полуинтервала $[\eta, +\infty)$ . Значит, условие Коши для этого интеграла нарушено и он не является равномерно сходящимся. $\Box$

[свернуть]

Список литературы

Тест

Практические задания из данного теста были позаимствованы из сборника задач и упражнений по математическому анализу Б.П. Демидовича.

Рекомендую проверить насколько хорошо усвоен материал, пройдя следующий тест.

Задание 1 из 4

Определить области сходимости интегралов

Элементы сортировки

$Max(p, q) > 1$
$\left| \frac{p - 1}{q} \right| < 1$
$p < 1$
$p > \frac{1}{2}$

$\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{x\cos x}{x^{p} + x^{q}}dx$

$\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{\sin{x^{q}}}{x^{p}}dx$

$\int\limits_{0}^{2} \frac{dx}{|\ln x|^p}dx$

$\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{\sin{x}}{x^{p} + \sin x}dx$

$(p>0)$

Задание 2 из 4

2.
Для равномерной сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно выполнение…
Задание 3 из 4

3.
Выберете интегралы, которые сходятся неравномерно в указанных промежутках
- $\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-\alpha x}\sin xdx$ $(0 < \alpha_{0} \leq \alpha < +\infty)$
- $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x-\alpha)^2 + 1}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
- $\int\limits_{1}^{+\infty}x^{\alpha}e^{-x}dx$ $(a \leq \alpha \leq b)$
- $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}e^{-\alpha x}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
- $\int\limits_{0}^{+\infty}\sqrt{\alpha}e^{-\alpha x^2}$ $(0 \leq \alpha < + \infty)$
Задание 4 из 4

4.
Сформулируйте условие Коши.
- $\forall \varepsilon > 0$
- $\exists \eta < b$
- $\forall \eta^\prime,\eta^{\prime\prime} \epsilon (\eta,b)$ и $\forall y$ $\epsilon$ $Y$
- выполняется неравенство $\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{\eta^{\prime\prime}}f(x,y)dx \right| < \varepsilon$

Таблица лучших: Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

максимум из 14 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

Пусть функция двух переменных $f(x,y)$ определена на данной области: $\{a \leq x < + \infty, c \leq y \leq d\}$ (см. рисунок), и при каждом фиксированном $y \, \epsilon \, [c,d]$ существует несобственный интеграл $\int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ , являющийся функцией от $y$ . Тогда функция $I(y) = \int\limits_{a}^{+\infty} f(x,y)\,dx$ $y \, \epsilon \, [c,d]$ называется несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра $y$ . Также, интервал $[c,d]$ может быть бесконечным.

Возьмем функцию $f(x,y)$ . Интеграл вида $\int\limits_a^b f(x,y)\,dx$ является сходящимся на множестве $Y$ , при выполнении следующих условий:

$- \infty < a < b \leq + \infty$
функция $f(x,y)$ определена на $[a, b) \times Y$ , где $Y$ является множеством параметров.
$\forall \eta$ $\epsilon$ $[a,b)$ и $y$ $\epsilon$ $Y$ функция $f(x,y)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a, \eta ]$ .
$\forall y$ $\epsilon$ $Y$ несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится.

Можно сделать вывод, что несобственный интеграл $\int\limits_a^b f(x,y)dx$ сходится на $Y$ , при условии, что $\forall y$ $\epsilon$ $Y$ и для любого числа $\varepsilon > 0$ существует такое $\eta(y, \varepsilon) < b$ , такое, что для любого $\eta^\prime \, \epsilon (\eta, b)$ выполняется неравенство $\left|\int\limits_{\eta^\prime}^{b} f(x,y)dx\right| <\varepsilon .$

Читать далее «Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость.»

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Теорема

Пусть $\left \{ f_{n} \right \}$ — последовательность непрерывно дифференцируемых на отрезке $\left[a;b\right]$ функций. Предположим, что в некоторой точке $x\in \left[a;b\right]$ числовая последовательность $\left \{ f_{n}(x_{0}) \right \}$ сходится, а функциональная последовательность $\left \{ f’_{n} \right \}$ равномерно сходится на $\left[a;b\right]$ . Тогда исходная последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ равномерно сходится на $\left[a;b\right]$ к непрерывно дифференцируемой функции $f$ , причем для любого $x\in \left[a;b\right]$ справедливо равенство $f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$ .

Доказательство

Спойлер

Обозначим $\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$ . По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций получаем, что функция $\varphi$ непрерывна на $\left[a;b\right]$ . Положим $g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt$ . Применим на отрезке с концами $x_{0}$ и $x$ теорему о предельном переходе под знаком интеграла к последовательности $\left \{ f’_{n}(t) \right \}$ . Тогда получим
$g(x)=\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))$
(последнее равенство справедливо в силу формулы Ньютона-Лейбница). По условию теоремы существует $\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x_{0})$ . Тогда из равенства $g(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }(f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))$ следует, что существует и $\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ , т.е. мы показали, что последовательность $\left \{ f_{n}(x) \right \}$ сходится на $\left[a;b\right]$ . Обозначим $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ и получим, что $g(x)=f(x)-f(x_{0})$ , а так как функция $g$ дифференцируема (как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции $\varphi$ ) и $g'(x)=\varphi (x)$ (в силу формулы Ньютона-Лейбница), то отсюда следует, что функция $f$ также дифференцируема и $f'(x)=\varphi (x)$ , т.е. функция $f$ имеет производную, эта производная непрерывна и справедливо равенство $f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x)$ . Осталось показать, что последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ сходится к функции $f$ равномерно на $\left[a;b\right]$ . Имеем
$\left | f_{n}(x)-f(x) \right |\leq \left | (f_{n}(x)-f_{n}(x_{0}))-(f(x)-f(x_{0})) \right |+\left | f_{n} (x_{0})-f(x_{0})\right |$ .
Второе слагаемое справа мало при достаточно больших $n$ , а первое оцениваем так:
$\left | \int_{x_{0}}^{x}f’_{n}(t)dt-\int_{x_{0}}^{x}\varphi (t)dt \right |=\left | \int_{x_{0}}^{x}(f’_{n}(t)-\varphi (t))dt \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f’_{n}(t)-\varphi (t) \right |dt$ .
Теперь остается учесть, что последовательность $\left \{ f’_{n} \right \}$ сходится к функции $\varphi$ равномерно на $\left[a;b\right]$ , и тем самым завершается доказательство теоремы.

[свернуть]

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Пусть на отрезке $\left[a;b\right]$ задана последовательность непрерывно дифференцируемых функций $\left \{ u_{n} \right \}$ , такая, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ сходится в некоторой точке $x\in \left[a;b\right]$ , а ряд из производных $\sum_{n=1}^{\infty }u’_{n}(x)$ сходится равномерно на $\left[a;b\right]$ . Тогда исходный ряд $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ равномерно сходится на всем отрезке $\left[a;b\right]$ , его сумма является непрерывно дифференцируемой функцией и справедливо равенство $\left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )’=\sum_{n=1}^{\infty }u’_{n}(x)\; (x\in \left[a;b\right])$ .

Доказательство

Спойлер

Для доказательства этой теоремы достаточно применить предыдущую теорему к последовательности частичных сумм ряда $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ .

[свернуть]

Теорема

Пусть на отрезке $\left[a;b\right]$ задана последовательность дифференцируемых функций $\left \{ f_{n} \right \}$ , сходящаяся в некоторой точке $x\in \left[a;b\right]$ и такова, что функциональная последовательность $\left \{ f’_{n} \right \}$ сходится равномерно на $\left[a;b\right]$ . Тогда последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ равномерно сходится на всем отрезке $\left[a;b\right]$ к некоторой функции $f$ , причем эта функция $f$ дифференцируема на $\left[a;b\right]$ и справедливо равенство $f'(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f’_{n}(x) \; \; \; \; \; (x\in \left[a;b\right])$ .

Доказательство

Спойлер

Зададим $\varepsilon > 0$ . По критерию Коши, в силу равномерной сходимости последовательности $\left \{ f’_{n} \right \}$ , существует такой номер $N$ , что для всех $n, m\geq N$ и для любого $x\in \left[a;b\right]$ справедливо неравенство $\left | f’_{n}(x)-f’_{m}(x) \right |< \varepsilon$
Обозначим $\varphi _{n, m}(x)=f_{n}(x)-f_{m}(x)$ . Тогда $\left | \varphi {}’_{n,m}(x) \right |< \varepsilon$ и, в силу формулы Лагранжа, $\left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \left | \varphi {}'_{n,m}(\xi ) \right |\cdot \left | x-x_{0} \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |$
Отсюда следует, что
$\left | f_{n}(x)-f_{m}(x) \right |=\left | \varphi _{n,m}(x) \right |\leq \left | \varphi _{n,m}(x)-\varphi _{n,m}(x_{0}) \right |+\left | \varphi _{n,m}(x_{0}) \right |\leq \varepsilon \left | x-x_{0} \right |+\left | f_{n}(x_{0})-f_{m}(x_{0}) \right |$
Из этого неравенства видно, что последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ удовлетворяет условию критерия Коши, а значит, она равномерно сходится. Обозначим $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)$ . Далее, для $n,m\geq N$ имеем $\left | \varphi _{n,m}(x+h)-\varphi _{n,m}(x) \right |\leq \varepsilon \left | h \right |\; \; \; \; \; (x, x+h\in \left [ a,b \right ])$
Это неравенство можем переписать так: $\left | \frac{f_{n}(x+h)-f_{n}(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon$
Устремим $n\rightarrow \infty$ и тогда получим $\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h} — \frac{f_{m}(x+h)-f_{m}(x)}{h}\right |\leq \varepsilon \; \; \; \; \; (m\geq N)$
Зафиксируем $m\geq N$ и найдем такое $\delta >0$ , что для всех $h$ , удовлетворяющих условию $0< \left | h \right |< \delta$ , справедливо неравенство $\left | \frac{f_{m}(x+b)-f_{m}(x)}{h} -f{}'_{m}(x)\right |< \varepsilon$
Тогда получим, что $\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-f'_{m}(x) \right |< 2\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$
Если в неравенстве $\left | f'_{n}(x)-f'_{m}(x) \right |< \varepsilon$ ( $n, m\geq N$ ) перейдем к пределу при $n\rightarrow \infty$ (как уже доказано, он существует), то получим $\left | \varphi (x)-f'_{m}(x) \right |\leq \varepsilon$ где обозначено $\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x)$ . Отсюда следует, что $\left | \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\varphi(x) \right |< 3\varepsilon \; \; \; \; \; (0< \left | h \right |< \delta)$
Это означает, что существует $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\varphi (x)=\lim_{n\rightarrow \infty }f'_{n}(x) \; \; \; \; \; \; (x \in \left[a;b\right])$ .

[свернуть]

Литература

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и дифференцирование»

Задание 1 из 5

1.
Найти сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty}n{x}^{n-1}$
- $x-1\; \; \; \; для \; \; \; всех\; \; \; \; \; x\in \left(-1;1 \right)$
- $\frac{1}{{(1-x)}^{2}}\; \; \; \; для \; \; \; всех \; \; \; \; \; x\in \left(-1;1 \right)$
- $\frac{1}{x}\; \; \; \; \; для \; \; \; всех \; \; \; \; \; x\in \left(-1;1 \right)$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Найти область определения функционального ряда $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x^2}$ и узнать, равномерно ли он сходится. (несколько правильных ответов)
- $E=[0;+\infty)$
- $E=\mathbb{R}$
- равномерно сходится
- расходится
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Расставить в правильном порядке исследование функционального ряда $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x^2}$ на равномерную сходимость.
- $\left | \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right |=\left | \frac{n+x^{2}}{(n+1)+x^{2}} \right |< 1 \; \; \; \; \; E=\mathbb{R}$
- $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}\cdot 2x}{(n+x^{2})^{2}}$
- $\left | a_{n} \right |=\frac{2x}{(n+x)^{2}}\sim \frac{2x}{n^{2}}$ сходится в каждой точке
- $\left ( \frac{2x}{(n+x^{2})^{2}} \right )'=\frac{2(n+x^{2})^{2}-8x^{2}(n+x^{2})}{(n+x^{2})^{4}}=\frac{2n-6x^{2}}{(n+x^{2})^{3}}$
- $2n-6x^{2}=0\;\Rightarrow x=\sqrt{\frac{n}{3}}$
- $\frac{2\sqrt{\frac{n}{3}}}{(\frac{4n}{3})^{2}}=\frac{18}{16\sqrt{3}n^{\frac{3}{2}}}$ сходится равномерно для всех x.
- Поскольку ряд из производных сходится равномерно, то по теореме о дифференцировании, наш исходный ряд можно дифференцировать почленно.
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Имеем ли мы право утверждать, что равенство $\left ( \sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x) \right )’=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}'(x)$ справедливо, если доказано лишь то, что каждая функция из функционального ряда дифференцируема?
(да/нет)
- (нет)
Правильно

Неправильно

Задание 5 из 5

5.

Для каждой функциональной последовательности или ряда указать промежутки равномерной сходимости

Элементы сортировки

$[0;1]$
$\left[0;+\infty \right]$
$\mathbb{R}$
$[0;2]$

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{n}}{3n+5}}$

$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{(x+2)(x+3)}-...$

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+x^2}$

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sqrt{x+1}\cos{nx}}{\sqrt[3]{n^{4}+2}}}$

Равномерная сходимость и интегрирование

Пусть $f_{n}$ — последовательность интегрируемых на отрезке $\left[a;b\right]$ функций, поточечно сходящаяся к функции $f$ . Поставим вопрос об интегрируемости на отрезке $\left[a;b\right]$ предельной функции $f$ и справедливости равенства
$\lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$
Следующие примеры показывают, что в общем случае и интегрируемости нет, и равенство не выполняется.

Пример 1

Пусть $\left \{ r_{n} \right \}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность всех рациональных точек из отрезка $\left[0;1\right]$ . Выразим:
$f_{n}(x)=\left\{\begin{matrix}1,&x\in \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \},\\ 0,& x\in \left[0;1\right]\setminus \left \{ r_{1},\cdots ,r_{n} \right \}\end{matrix}\right.$
Тогда каждая функция $f_{n}$ интегрируема на отрезке $\left[0;1\right]$ , потому что она имеет лишь конечное число точек разрыва $\left \{ r_{1},\cdots r_{n}\right \}$ . С другой стороны, видно, что $\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=D(x)$ где D — функция Дирихле. Но как известно, функция Дирихле не интегрируема на отрезке $\left[0;1\right]$ .
Вывод: мы построили последовательность интегрируемых функций, сходящуюся к неинтегрируемой функции.

Замечание (для рядов)

Спойлер

Из примера 1 легко получить пример, который показывает, что сумма функционального ряда, слагаемые которого интегрируемы, не обязана быть интегрируемой.
Действительно, положим $u_{n}(x)=f_{n}(x)-f_{n-1}(x)$ , $u_{1}(x)=f_{1}(x)$ , $u_{2}(x)=f_{2}(x)-f_{1}(x)$ .
Частичные суммы ряда $s_{n}(x)=f_{n}(x)$ . И $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=f(x)$ .

[свернуть]

Пример 2

Положим $f_{n}(0)=f_{n}(\frac{1}{n})=f_{n}(1)=0, f_{n}(\frac{1}{2n})=n$ , а на отрезках $\left[0;\frac{1}{2n}\right], \left[\frac{1}{2n};\frac{1}{n}\right], \left[\frac{1}{n};1\right]$ функция $f_{n}$ — линейна. Мы видим, что $\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)=0,\; \forall x\in \left[0;1\right]$ , так что предельная функция $f(x)\equiv 0\; (x\in \left[0;1\right])$ интегрируема и $\int_{0}^{1}f(x)dx=0$ . С другой стороны, очевидно, что $\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=\frac{1}{2}$ , поэтому предельный переход под знаком интеграла недопустим.
Вывод: даже если предельная функция интегрируема, то предел интегралов не обязан равняться интегралу от предельной функции.

Замечание (для рядов)

Спойлер

Вывод (для рядов)

Воспользовавшись этими примерами мы показали, что нельзя почленно интегрировать сходящийся ряд, т.е. равенство $\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$
не верно. Потому что сумма поточечно сходящегося ряда из интегрируемых функций может оказаться неинтегрируемой функцией, а если даже сумма ряда будет функцией интегрируемой, то нужное равенство все равно нельзя гарантировать.

Теорема (об интегрировании равномерно сходящейся последовательности)

Пусть последовательность $\left \{ f_{n}(x) \right \}$ из непрерывных на отрезке $\left[a;b\right ]$ функций, равномерно сходится к $f(x)$ на этом отрезке. Тогда существует $\lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$

Доказательство

Спойлер

По теореме о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций: f(x) – непрерывна на [a, b], а значит и интегрируема на этом отрезке. Воспользуемся определением равномерной сходимости: $\forall \varepsilon > 0 \; \exists N \; \forall n\geq N$ и $\forall x\in \left [ a, b \right ]$ справедливо неравенство $\left | f_{n}(x)-f(x) \right |< \frac{\varepsilon }{b-a}$ . Проинтегрировав это неравенство, получаем, что при всех $n\geq N : \left | \int_{a}^{b}f_{n}(x)dx — \int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left | f_{n}(x)-f(x) \right |dx< \frac{\varepsilon }{b-a}\left ( b-a \right )=\varepsilon$
Теорема доказана.

[свернуть]

Следствие (об интегрировании равномерно сходящегося ряда)

Пусть $\left \{ u_{n} \right \}$ — последовательность непрерывных на отрезке $\left[a;b\right]$ функций такова, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ сходится равномерно на $\left[a;b\right]$ . Тогда справедливо равенство $\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int\limits_{a}^{b}u_{n}(x)dx$

Доказательство

Спойлер

Действительно, функции $f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)$ непрерывны как суммы конечного числа непрерывных функций $u_{k}$ , и последовательность $\left \{ f_{n} \right \}$ сходится к функции $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)$ равномерно на $\left[a;b\right]$ . Тогда, по предыдущей теореме, $\sum_{k=1}^{n}\int\limits_{a}^{b}u_{k}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}\sum_{k=1}^{n}u_{k}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx\rightarrow \int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\int\limits_{a}^{b}\sum_{n=1}^{\infty }u_{n}(x)dx.$

[свернуть]

Следующая теорема является обобщением всех теорем об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.

Теорема

Пусть $\left\{f_{n}\right\}$ — последовательность интегрируемых на отрезке $\left[a;b\right]$ функций, равномерно сходящаяся на этом отрезке к функции $f$ . Тогда предельная функция $f$ интегрируема на $\left[a;b\right]$ и справедливо равенство $\lim_{n\rightarrow \infty }\int\limits_{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$

Доказательство

Спойлер

Оно проводится также, как в предыдущей теореме, при условии, что $\int_{a}^{b}f(x)dx$ существует. Поэтому достаточно доказать лишь интегрируемость на $\left[a;b\right]$ функции $f$ . Для этого воспользуемся критерием интегрируемости в терминах колебаний, согласно которому функция $f$ интегрируема на $\left[a;b\right]$ тогда и только тогда, когда $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0, \forall \prod$ — разбиения отрезка $\left[a;b\right]$ , диаметр которого $d\left ( \prod \right )< \delta$ , справедливо неравенство $\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}< \varepsilon$ где $\omega _{i}(f)$ — колебания функции $f$ частичных отрезках $\left[x_{i};x_{i+1}\right]$ . Зададим $\varepsilon > 0$ и, пользуясь равномерной сходимостью последовательности $\left \{ f_{n} \right \}$ , найдем такое N, что $\forall n\geq N,\; \forall x\in \left [ a;b \right ]$ справедливо неравенство $\left | f_{n}(x)-f(x) \right |< \varepsilon$ . Если $\forall n\geq N$ , то $\left | f(x’)-f(x») \right |\leq \left | f(x’)-f_{n}(x») \right |+\left | f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right |+\left | f_{n}(x»)-f(x») \right |< \left | f_{n}(x’)-f_{n}(x») \right |+2\varepsilon$ Отсюда следует, что при любом разбиении $\omega _{i}(f)\leq \omega _{i}(f_{n})+2\varepsilon$ , так что $\sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f)\Delta x_{i}\leq \sum_{i=0}^{s-1}\omega _{i}(f_{n})\Delta x_{i}+2\varepsilon \left ( b-a \right )$ Первое слагаемое справа мало в силу интегрируемости $f_{n}$ , т.е. $\exists \delta > 0, \; \forall \prod ,\; d(\prod )< \delta$ , первое слагаемое справа будет меньшим, чем $\varepsilon$ . Поэтому, в силу критерия интегрируемости в терминах колебаний, получаем, что функция $f$ интегрируема на $\left[a;b\right]$ .

[свернуть]

Литература

Тесты

равномерная сходимость и интегрирование

Проверьте свои знания по теме «Равномерная сходимость и интегрирование»

Задание 1 из 5

1.
Исследовать на равномерную сходимость функциональный ряд $\sum_ {n = 1} ^ {\infty} х^{2n}\; \; \; \; \; \left | x \right |< 1$ Ответ: сходится/расходится
- (сходится)
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Найти $I=\int\limits_{\ln2}^{\ln5}(\sum_{n=1}^{\infty}n{e}^{-nx})dx$
- 3/4
- 1
- 1/2
- 0
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 5

3.

Исследовать ряд на равномерную сходимость на отрезках:

Элементы сортировки

сходится равномерно
сходится равномерно и абсолютно
расходится
сходится неравномерно

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}x^{n}}{3n+5}}\;[0;1]$

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sqrt{x+1}\cos{nx}}{\sqrt[3]{n^{4}+2}}}\;[0;2]$

$\sum_{n=2}^{\infty}{\frac{1}{x+\ln{n}}}\;[0;1]$

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{x}{n^3}}\;[\infty;-\infty]$

Задание 4 из 5

4.
Выбрать правильные утверждения о ряде функций: $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{(x+2)(x+3)}-…, x\in \left[0;+\infty \right]$
(несколько правильных ответов)
- $S_{n}(x)=\frac{1}{x+n}$
- $S_{n}(x)=\frac{1}{x+1}$
- $\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}(x)=1 \;\;\;\;\; S(x)=1$ ряд равномерно сходится к 1
- $\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}(x)=0 \;\;\;\;\; S(x)=0$ ряд равномерно сходится к нулю
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Расставить в правильном порядке формулы в доказательство равномерной сходимости ряда:
Ряд функций 1)_______ , можно записать в виде 2)_______ , откуда его частичная сумма равна 3)_______ и 4)_______ . Таким образом, ряд сходится для всех $x\in \left[0;+\infty \right]$ и имеет сумму 5)_______ . Далее, 6)________ , и наш ряд равномерно сходится к нулю на полуоси $\left[0;+\infty \right]$ .
- $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{(x+2)(x+3)}-..., x\in \left[0;+\infty \right]$
- $\frac{1}{x+1}+(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+2})+...$
- $S_{n}(x)=\frac{1}{x+n}$
- $\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n}(x)=0$
- $S(x)=0$
- $\eta _{n}=\underset{0\leq x<\infty}{sup}\left|S_{n}(x)-S(x) \right|=\underset{0\leq x<\infty}{sup}\frac{1}{x+n}=\frac{1}{n}\rightarrow 0 \;\;\;\;\; (n\rightarrow \infty)$
Правильно

Неправильно

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

Функциональные последовательности

Если каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие по некоторому закону функция $f_n(x)$ , определенная на множестве $E$ , то говорят, что на множестве $E$ задана функциональная последовательность $\left \{f_n (x)\right \}$ . Множество $E$ называется областью определения последовательности $\left \{f_n (x)\right \}$ .

Если для некоторого $x_0 \in E$ числовая последовательность $\left \{f_n (x_0) \right \}$ сходится, то говорят, что последовательность функций $\left \{f_n (x) \right \}$ сходится в точке $x_0$ . Последовательность функций, сходящуюся в каждой точке $x \in E$ , называют сходящейся на множестве $E$ .

Если $\underset {n \to \infty}{\lim} f_n(x) = f(x)$ для всех $x \in E$ , то говорят, что последовательность $\left \{f_n (x) \right \}$ на множестве $E$ сходится к функции $f(x)$ . Эту функцию называют предельной функцией последовательности.

Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Пусть задана последовательность функций $\left \{ f_n(x) \right \}$ и предельная функция $f(x)$ . Говорят, что последовательность функций равномерно сходится на множестве $E$ к функции $f(x)$ если
$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|f_n(x)-f(x) \right| < \varepsilon .$
Последовательность $\left \{ f_n(x) \right \}$ называется равномерно сходящейся на $E$ , если существует функция $f(x)$ , к которой она равномерно сходится.

Спойлер

Рассмотрим последовательность $\left \{f_n(x) \right \}$ , $f_n(x) = \frac{1}{n}x^n$ на отрезке $\left [ 0;1 \right ]$ . Она равномерно сходится на этом отрезке.

Действительно, так как $0 < \frac{1}{n}x^n < \frac{1}{n}$ и $\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{1}{n} = 0$ , то для любой точности $\varepsilon > 0$ мы можем выбрать номер $n_\varepsilon = \left \lceil \frac{1}{\varepsilon } \right \rceil + 1$ , начиная с которого все последующие члены ряда будут меньше $\varepsilon$ , $\left | f_n(x) \right | < \varepsilon$ . Значит последовательность сходится равномерно к нулю на $\left [ 0;1 \right ]$ .

[свернуть]

Функциональные ряды

Аналогично вводим понятие функциональных рядов. Пусть каждому натуральному числу $n$ ставится в соответствие по некоторому закону функция $u_n(x)$ , определенная на множестве $E$ . Формально говоря нам дана функциональная последовательность $\left \{ u_n(x) \right \}$ .

Выражение вида $u_{ 1 }(x)+u_2(x) +\dots +u_n(x) +\dots =\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)$ называется функциональным рядом. Если для некоторого $x_0 \in E$ числовой ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)$ сходится, то говорят, что функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ сходится в точке $x_0$ . Функциональный ряд, сходящийся в каждой точке $x \in E$ , называют сходящимся на множестве $E$ .

Сумма $n$ первых членов ряда $S_n(x) = \overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}u_k(x)$ называется его частичной суммой. Заметим, что частичная сумма сама является функцией. Мы получаем функциональную последовательность $\left \{ S_n(x) \right \}$ .

Спойлер

Изучим сходимость ряда
$x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \dots + \frac{x^2}{(1+x^2)^n} + \dots,$
Где $x$ — действительное число. Этот ряд сходится при всех $x$ . При $x \neq 0$ мы имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $q = \frac{1}{1+x^2}$ , $0 < q < 1$ . Таким образом:
$x^2 + \frac{x^2}{1+x^2} + \dots + \frac{x^2}{(1+x^2)^n} + \dots = \frac{x^2}{1-\frac{1}{1+x^2}} = 1 + x^2 .$
При $x = 0$ каждый член ряда равен нулю и тогда сумма всего ряда равна нулю.

[свернуть]

Равномерная сходимость функциональных рядов

Пусть задан функциональный ряд $\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)$ , члены которого являются функциями, определенными на множестве $E$ . Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве $E$ , если последовательность его частичных сумм равномерно сходящаяся на множестве $E$ . Согласно определению равномерной сходимости последовательности функции, существует такая функция $S(x)$ , что
$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \varepsilon .$
Обозначим $S_n(x)-S(x)=r_n(x)$ — $n$ -ый остаток ряда, получаем $r_n(x) = \overset{\infty}{\underset{k=n+1}{\sum}}u_k(x)$ . Тогда условие сходимости ряда примет вид: $\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|r_n(x)\right| < \varepsilon .$
Это означает, что какое бы мы маленькое $\varepsilon$ не взяли, начиная с некоторого номера $n$ , $n$ -ый остаток ряда будет меньше этого $\varepsilon$ .

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда

Теорема

Если функциональный ряд $\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}u_n(x)$ равномерно сходится на множестве $E$ , то последовательность его членов $\left \{ u_n(x) \right \}$ равномерно стремится к нулю на множестве $E$ .

Доказательство

Обозначим частичные суммы ряда как $S_n(x)$ , а сумму ряда (предельную функцию последовательности частичных сумм) как $S(x)$ . Согласно определению равномерной сходимости ряда
$\forall \varepsilon >0 \quad \exists n_{ \varepsilon }\in \mathbb{N}: \forall n \ge n_\varepsilon \ \forall x \in E \Rightarrow \left|S_n(x)-S(x) \right| < \frac{\varepsilon}{2} ,$
поэтому для $\forall n \ge n_\varepsilon$ справедливо также неравенство
$\left| u_{ n+1 }(x) \right| =\left| S_{ n+1 }(x)-S_{ n }(x) \right| =\left| \left[ S_{n+1}(x)-S(x) \right] + \left[S(x) — S_n(x) \right] \right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon .$
А это и означает равномерную сходимость к нулю последовательности $\left \{ u_n(x) \right \}$ .

Список Литературы

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

После прочтения статьи, для закрепления материала, рекомендуется пройти тест по данной теме

Таблица лучших: Равномерная сходимость последовательностей и рядов

максимум из 60 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Средний результат
Ваш результат

Доказательство

Необходимость

Достаточность

Пример

Список литературы

Тест

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

Таблица лучших: Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра

Оглавление

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

Теорема

Доказательство

Теорема (о почленном дифференцировании ряда)

Доказательство

Теорема

Доказательство

Литература

Тесты

Равномерная сходимость и дифференцируемость

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Элементы сортировки

Пример 1

Замечание (для рядов)

Пример 2

Замечание (для рядов)

Вывод (для рядов)

Теорема (об интегрировании равномерно сходящейся последовательности)

Доказательство

Следствие (об интегрировании равномерно сходящегося ряда)

Доказательство

Следующая теорема является обобщением всех теорем об интегрировании равномерно сходящейся последовательности.

Теорема

Доказательство

Литература

Тесты

равномерная сходимость и интегрирование

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

Функциональные последовательности

Равномерная сходимость функциональных последовательностей

Функциональные ряды

Равномерная сходимость функциональных рядов

Необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда

Теорема

Доказательство

Список Литературы

Равномерная сходимость последовательностей и рядов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

Элементы сортировки

3.

4.