16.1 Равномерная сходимость

Пусть на множестве $E$ задана последовательность функций $f_{n}\left(n=1,2…\right)$ , сходящаяся на $E$ поточечно к функции $f$ . Говорят, что последовательность { $f_{n}$ } сходится равномерно к функции $f$ на множестве $E$ , если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$ , зависящий только от $\varepsilon$ (и не зависящий от $x$ ), что для каждого $n \geq N$ справедливо неравенство $\mid f_{n}\left(x\right)- f\left(x\right)\mid < \varepsilon$ .

Определение поточечной сходимости на множестве $E$ в кванторах можно записать следующим образом:
$\forall x \in E \; \forall\varepsilon > 0 \; \exists N = N\left(\varepsilon,x\right) : \forall n \geq N \mid f_{n}\left(x\right)- f\left(x\right)\mid < \varepsilon,$ а равномерной сходимости — так: $\forall \varepsilon > 0 \; \exists N = N\left(\varepsilon\right) : \forall n \geq N \; \forall x \in E \mid f_{n}\left(x\right)- f\left(x\right)\mid < \varepsilon.$ В определении поточечной сходимости номер $N$ зависит, вообще говоря, от $\varepsilon$ и от $x$ , а в определении равномерной сходимости $N$ зависит только от $\varepsilon$ и не зависит от $x$ . Иначе говоря, поточечная сходимость будет равномерной, если для заданного $\varepsilon > 0$ номер $N$ можно подобрать так, чтобы он был пригоден сразу для всех $x \in E$ .

Теперь видно, что свойство равномерной сходимости не слабее, чем свойство поточечной сходимости, т. е. из равномерной сходимости следует поточечная сходимость. Обратное неверно. Может оказаться, что для каждого $\varepsilon > 0$ и для $x \in E$ найдется номер $N = N \left(\varepsilon,x\right)$ , но для всех сразу $x \in E$ номер $N$ , не зависящий от $x$ , может и не существовать. Приведем

Пусть $f_{n}(x) = x^{n} (x \in E \equiv \left[0,1\right])$ . Мы уже видели, что $f(x) = \lim_{n\to\infty} f_{n}(x) = \begin{cases}0, & 0\leq x < 1, \\1, & x = 1.\end{cases}$ Если бы последовательность { $x^{n}$ } сходилась к функции $f$ равномерно, то неравенство $\mid x^{n} — f(x)\mid < \varepsilon$ при достаточно больших $n \; (n\geq N(\varepsilon))$ должно было быть выполненным сразу для всех $x \in E$ . Но это не так, поскольку при фиксированном $n$ имеем $\lim_{x\to1-0} x^{n} = 1$ , так что в любой левой полуокрестности точки $x_{0}=1$ найдется такая точка $x_{1} \frac{1}{2}$ . Поэтому если мы возьмем $\varepsilon_{0} > \frac{1}{2}$ , то получим неравенство $\mid x_1^n — 0\mid\geq \varepsilon_{0}$ . Окончательно имеем $\exists \varepsilon_{0} (\varepsilon_{0} = \frac{1}{2}) : \forall N \; \exists n \geq N (n = N) \; \exists x_{1} =$ $= x_{1}(\varepsilon, n) \in E : \mid f_{n}(x_{1}) — f(x_{1})\mid \geq \varepsilon_{0}$ Это означает, что данная последовательность не является равномерно сходящейся на множестве $E$ .

В этом примере «плохие» точки $x_{1}$ , т.е. такие, в которых выполнено неравенство $\mid f_{n}(x_{1}) — f(x_{1})\mid \geq \varepsilon_{0}$ , находится вблизи точки $x_{0}=1$ . Если же мы отделимся от $x_{0}$ , т.е. рассмотрим последовательность ${x^{n}}$ на множестве $E_{\delta}=\left[0,1 — \delta\right]$ , где $\delta > 0$ — произвольное число, то сходимость данной последовательности к функции $f(x)\equiv0$ на множестве $E_{\delta}$ уже будет равномерной. Действительно, в этом случае $\mid f_{n}(x) — f(x) \mid = x^{n} \leq (1 — \delta)^{n} < \varepsilon \; \; \; (0\leq x \leq 1-\delta),$ если только $n \geq N(\varepsilon),$ где $N(\varepsilon) = \left[\frac{\ln \varepsilon}{\ln (1-\delta)}\right] + 1$ не зависит от $x \in E_{\delta}$ .

Для последовательности функций $f_{n}(x) = \frac{nx}{1+n^{2}x^{2}} \; \; (x \in E\equiv \mathbb{R})$ ранее мы показали, что $f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{nx}{1+n^{2}x^{2}} = 0 \; \; \; (x \in \mathbb{R}).$ Поэтому $\mid f_{n}(x) — f(x)\mid \rightarrow 0 \; \; \; (n \rightarrow \infty )$ при каждом фиксированном $x \in \mathbb{R}$ . Однако при фиксированном $n$ наибольшее значение функция $f_{n}(x) = \frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}$ достигает в точке $x_{n} = \frac{1}{n}$ и это значение равно $f_{n}(\frac{1}{n}) = \frac{1}{2}$ . Таким образом, для $\varepsilon_{0}=\frac{1}{2}$ неравенство $\mid f_{n}(x)-f(x)\mid < \varepsilon_{0}$ не может быть выполненным сразу для всех $x \in \mathbb{R}$ . Значит, последовательность { $f_{n}$ } сходится к функции $f \equiv 0$ на $\mathbb{R}$ , но неравномерно, т.е. $\exists \varepsilon_{0} ( \varepsilon_{0} = \frac{1}{2}) : \forall N \; \exists n\geq N (n=N) \; \exists x_{1} (x_{1} = \frac{1}{n}) : \mid f_{n}(x_{1}) — f(x_{1})\mid \geq \varepsilon_{0}.$

Если же зафиксировать число $\delta > 0$ , то нетрудно показать, что на множестве $E_{\delta} = \left[\delta,+\infty\right)$ последовательность функций $f_{n}(x) = \frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}$ сходится равномерно. Действительно, неравенство $\mid f_{n}(x) — f(x)\mid = \frac{nx}{1+n^{2}x^{2}} \leq \frac{1}{nx} \leq \frac{1}{n\delta} < \varepsilon \; \; \; (x \in E_{\delta})$ выполнено, если только $n \geq N(\varepsilon)$ , где $N(\varepsilon) = \left[\frac{1}{\varepsilon\delta}\right] + 1$ не зависит от $x \in E_{\delta}$

Геометрический смысл равномерной сходимости состоит в том, что начиная с номера $N$ графики функций $f_{n}(x)$ расположены в $\varepsilon$ -полосе графика функции $f$ .

Равномерная сходимость ряда определяется как равномерная сходимость последовательности его частичных сумм.

Пусть на множестве $E$ задана последовательность функций $\left\{u_{n}\right\}$ . Ряд $\sum_\left(n=1\right)^\infty u_{n}$ называется равномерно сходящимся на множестве $E$ , если он сходится поточечно на $E$ и последовательность его частичных сумм равномерно сходится к сумме ряда на множестве $E$ .

Другими словами, определение равномерной сходимости ряда $\sum_\left(n=1\right)^\infty u_{n}$ , сходящегося к функции $f$ на множестве $E$ , можно сформулировать следующим образом. Обозначим через $S_{n}(x) = \sum_\left(k=1\right)^n u_{k}(x)$ частичные суммы ряда $\sum_\left(n=1\right)^\infty u_{n}(x), r_{n}(x) = \sum_\left(k = n+1\right)^\infty u_{k}(x)$ — остаток после $n$ -го слагаемого. Тогда $S_{n}(x) + r_{n}(x) = f(x),$ а равномерная сходимость ряда означает, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$ (зависящий только от $\varepsilon$ ), что для всех $n \geq N$ и для всех $x \in E$ справедливо неравенство $\mid S_{n}(x) — f(x)\mid < \varepsilon$ . Но так как $\mid S_{n}(x) — f(x)\mid = \mid r_n(x)\mid$ , то получаем $\forall \varepsilon > 0 \; \exists N : \forall n \geq N \; \forall x \in E \;\; \mid r_{n}(x)\mid < \varepsilon.$ Это в свою очередь означает, что остаток ряда равномерно стремится к нулю. Таким образом, получили следующее эквивалентное определение равномерной сходимости ряда.

Ряд $\sum_\left(n=1\right)^\infty u_{n}(x)$ называется равномерно сходящимся на множестве $E$ , если последовательность его остатков после $n$ -го слагаемого { $r_{n}$ } равномерно сходится к нулю на множестве $E$ .

Это определение более выгодно по сравнению с предыдущим тем, что оно использует лишь слагаемые исходного ряда и не использует сумму самого ряда $f(x)=\sum_\left(n=1\right)^\infty u_{n}(x)$ .

Ряд $\sum_\left(n=1\right)^\infty x^{n}$ сходится на интервале $(-1,1)$ т.к. он представляет собой сумму геометрической прогрессии со знаменателем $x, \mid x \mid < 1$ . Исследуем его на равномерную сходимость. Для этого рассмотрим остаток $r_{n}(x) = \sum_\left(k =n+1\right)^\infty x^{k} = \frac{x^{n+1}}{1-x}$ . При фиксированном $x$ и $n \rightarrow \infty$ имеем $r_{n}(x) \rightarrow 0$ . Это означает, что данный ряд сходится при каждом $x$ , т.е. поточечно. Если же зафиксировать $n$ к $1-0$ , то получим, что $\frac{x^{n+1}}{1-x} \rightarrow +\infty$ , т.е. если $x$ близок к $1$ , то $r_{n}(x)$ принимает большие значения. Это означает, что неравенство $\mid r_{n}(x)\!\!\mid \; = \frac{\mid x\mid^{n+1}}{1-x} < \varepsilon$ сразу для все $x \in (-1,1)$ , но неравномерно.

С другой стороны, на любом отрезке $\left[-q,q\right]$ , где $0<q<1$ , ряд $\sum_\left(n=1\right)^\infty x^{n}$ сходится равномерно. Действительно, в этом случае $\mid r_{n}(x)\!\!\mid = \; \mid\sum_\left(k=n+1\right)^\infty x^{n}\!\!\mid = \; \mid\frac{x^{n+1}}{1-x} \mid \; \leq \frac{q^{n+1}}{1-q}, \; \; \; (x \in \left[-q,q\right]).$ Отсюда следует, что последовательность { $r_{n}(x)$ } равномерно сходится к нулю на $[-q,q]$ , т.е. данный ряд равномерно сходится на $[-q,q]$ .

Рассмотрим ряд $\sum_\left(n=0\right)^\infty \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}$ . Имеем $r_{n}(x) = \begin{cases}\frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}, & x \neq 0\\0, & x = 0.\end{cases}$ Если $x$ фиксировано, то $r_{n}(x) \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ . Это означает, что ряд является сходящимся при любом $x \in \mathbb{R}$ , т.е. он сходится поточечно. Если зафиксируем $n$ , то при стремлении $x$ к нулю получаем, что $r_{n}(x) \rightarrow 1$ , а это означает, что неравенство $\mid r_{n}(x)\!\! \mid \; = \frac{1}{(1+x^{2})^{n}} < \varepsilon$ при $0 <\varepsilon< 1$ не может выполняться сразу для всех $x \in \mathbb{R}$ , каким бы большим номер $n$ мы ни взяли. Таким образом, $r_{n}(x)\rightarrow 0 \; (n \rightarrow \infty)$ , но неравномерно. Следовательно, данный ряд сходится на $\mathbb{R}$ неравномерно.

Пусть задан ряд $\sum_\left(n=1\right)^\infty u_{n}(x) \; \; \; (x \in E).\qquad (16.2)$ Рассмотри величины $\mu_{n}=\sup_{x\in E} \mid \sum_\left(k=n+1\right)^\infty u_{k}(x)\mid = \sup_{x\in E} \mid r_{n}(x)\mid.$ Тогда определение равномерной сходимости ряда (16.2) на множестве $E$ можно сформулировать следующим образом.

Ряд (16.2) сходится равномерно на множестве $E$ , если $\lim_{n\to\infty} \mu_{n} = 0.$

Действительно, если $\mu_{n}\rightarrow 0 \; (n \rightarrow \infty)$ , то для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$ , что для всех $n \geq N$ справедливо неравенство $\mu_{n} < \varepsilon$ , т.е. для всех $x \in E$ справедливо неравенство $\mid r_{n}(x)\mid < \varepsilon$ , а значит ряд (16.2) сходится равномерно. Обратно, если $r_{n}(x)$ равномерно сходится к нулю, то для всех $x \in E$ справедливо неравенство $\mid r_{n}(x)\mid < \varepsilon$ . Поэтому и $\mu_{n} = \sup_{x\in E} \mid r_{n}(x)\mid \leq \varepsilon$ , т.е. $\mu_{n} \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ .

Исследовать на равномерную сходимость ряд $\sum_\left(n=1\right)^\infty \frac{(-1)^{n}}{x^{2}+n}$ на множестве $\mathbb{R}$

Данный ряд является рядом лейбницевского типа и поэтому, согласно теореме об оценке остатка ряда лейбницевского типа, $\mid r_{n}(x)\mid \leq \frac{1}{x^{2}+n+1}\leq \frac{1}{n+1}$ . Таким образом, $\mu_{n}\leq \frac{1}{n+1} \rightarrow 0 \; \; (n\rightarrow \infty)$ , и, следовательно, данный ряд сходится равномерно на $\mathbb{R}$ .

. Для того чтобы последовательность функций { $f_{n}$ } равномерно сходилась на множестве $E$ к некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon > 0$ существовал такой номер $N$ , зависящий только от $\varepsilon$ , что для любых $n,m \geq N$ и для любого $x \in E$ было выполнено неравенство $\mid f_n(x)-f_m(x)\mid < \varepsilon$ .

Пусть последовательность { $f_n$ } сходится к $f$ равномерно на $E$ . Зададим $\varepsilon > 0$ . Тогда найдется такой номер $N$ , что для все $n\geq N$ и для всех $x \in E$ справедливо неравенство $\mid f_n(x) — f(x)\mid < \frac{\varepsilon}{2}$ . Если возьмем произвольные, $n,m \geq N$ , то для любого $x \in E$ получим $\mid f_n(x) — f_m(x)\mid \leq \mid f_n(x) — f(x)\mid + \mid f_m(x) — f(x)\mid < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,$ т.е. выполнено условие теоремы (условие Коши).
Пусть выполнено условие Коши. Зафиксируем $x \in E$ и получим числовую последовательность { $f_n(x)$ }, которая, согласно условию Коши, является фундаментальной и, следовательно, сходящейся. Обозначим ее предел через $f(x)$ . Так как $x \ in E$ произвольное, то, проделав эту операцию для все $x \in E$ , получим функцию $f(x)$ . Покажем, что последовательность { $f_n(x)$ } стремится к $f(x)$ равномерно на $E$ . Зададим $\varepsilon > 0$ . Тогда найдется такой номер $N$ , что для всех $n,m\geq N$ и для любого $x \in E$ справедливо неравенство $\mid f_n(x)-f_m(x)\mid < \varepsilon$ . Зафиксируем $n \geq N, x \in E$ и устремим $m\rightarrow \infty$ . Тогда получим $\mid f_n(x)-f(x)\mid \leq \varepsilon.$ Это неравенство выполнено для любого $n \geq N$ и для всех $x \in E$ , а это и означает, что последовательность { $f_n$ } сходится к $f$ равномерно на $E$ .

Доказанную теорему можно переформулировать для рядов следующим образом.

Для того чтобы ряд $\sum_\left(n=1\right)^\infty u_n(x)$ равномерно сходился на множестве $E$ , необходимо и достаточно, чтобы для любого $E > 0$ существовал такой номер $N$ , зависящий только от $\varepsilon$ , что для всех $n \geq N, p \in \mathbb{N}$ и для любого $x \in E$ выполнялось неравенство $\mid \sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(x)\mid < \varepsilon$ .

Эта теорема вытекает из предыдущей, если учесть, что равномерная сходимость ряда определяется как равномерная сходимость последовательности его частичных сумм.

Пусть дан ряд $\sum_{n+1}^{\infty} u_n(x) \; \; \; (x \in E). \qquad (16.3)$ Предположим, что существует числовая последовательность { $a_n$ }, такая, что $\mid u_n(x)\mid \leq a_n \; \; \; (n=1,2…)$ для всех $x \in E$ , и числовой ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ сходится. Тогда ряд (16.3) сходится равномерно на $E$ .

В силу условия теоремы, имеем $\mid\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(x)\mid \leq \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k \; \; \; (x \in E).$ Так как ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ сходится по условию, то, в силу критерия Коши для числовых рядов, для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$ , что для всех $n \geq N$ и для любого $p \in \mathbb{N}$ справедливо неравенство $\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k < \varepsilon$ . Но тогда и неравенство $\mid\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(x) \mid < \varepsilon$ будет выполненным для всех $x \in E$ , т.е. выполнено условие критерия Коши равномерной сходимости функционального ряда, в силу которого ряд (16.3) сходится равномерно на $E$ .

Признак Вейерштрасса является лишь достаточным условием равномерной сходимости функционального ряда. В самом деле, рассмотренный выше пример 3 ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{x^2+n}$ показывает, что этот ряд хотя и сходится равномерно на $\mathbb{R}$ , но оценить сверху его слагаемые можно лишь слагаемыми расходящегося числового ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Признак Вейерштрасса дает достаточное условие не только равномерной, но и абсолютной сходимости ряда. Это сразу следует из неравенства $\sum_{k=n+1}^{n+p} \mid u_k(x)\mid \leq \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k \; \; \; (x \in E).$

Признак Вейерштрасса заключается в том, что из сходимости ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ , где $a_n = \sup_{x \in E}\mid u_n(x)\mid$ , следует равномерная (и абсолютная) сходимость ряда $\sum_{n=1}^\infty u_{n}(x)$ на множестве $E$ .

Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{1+n^4x^2}$ на $\mathbb{R}$ . Используя очевидное неравенство $2\mid\!\! a\mid \leq 1 + a^2$ , находим мажорантный числовой ряд $\mid \frac{x}{1+n^4x^2}\mid \leq \frac{1}{n^2} \frac{\mid n^2x\mid}{1+(n^2x)^2} \leq \frac{1}{2}\frac{1}{n^2}.$ Поскольку числовой ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2}\frac{1}{n^2}$ сходится, то исходный функциональный ряд сходится равномерно на $\mathbb{R}$ .

Ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos {nx}}{n^2}$ сходится равномерно на $\mathbb{R}$ , поскольку $\mid \frac{\cos {nx}}{n^2}\mid \leq \frac{1}{n^2}$ и числовой ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ сходится.

Пусть на множестве $E$ заданы две функциональные последовательности { $a_n(x)$ } и { $b_n(x)$ }, такие, что при каждом $x \in E$ числовая последовательность { $a_n(x)$ } монотонна, функции $a_n(x)$ ограничены в совокупности, т.е. существует такое $M$ , что $\mid a_n(x)\mid \leq M \;\;\; (x \in E, n = 1,2,…)$ , а ряд $\sum_{n=1}^\infty b_n(x)$ сходится равномерно на $E$ . Тогда ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n(x) b_n(x)$ сходится равномерно на $E$ .

Пусть на множестве $E$ заданы две последовательности функций { $a_n(x)$ } и { $b_n(x)$ }, такие, что при каждом $x \in E$ числовая последовательность { $a_n(x)$ } монотонна, функциональная последовательность { $a_n(x)$ } равномерно сходится к нулю на $E$ , а частичные суммы ряда $\sum_{n=1}^\infty b_n(x)$ ограничены в совокупности на $E$ , т.е. существует такое число $M$ , что $\mid\sum_{k=1}^n b_k(x)\mid \leq M (x \in E, n = 1,2,…)$ . Тогда ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n(x) b_n(x)$ сходится равномерно на $E$ .

Доказательства признаков Абеля и Дирихле легко провести, основываясь на критерии Коши и применяя преобразование Абеля(точно так же, как это было сделано при доказательстве признаков Абеля и Дирихле сходимости числовых рядов). Рекомендуется провести эти доказательства самостоятельно.

Рассмотрим ряды вида $\sum_{n=1}^\infty a_n(x) \cos nx$ и $\sum_{n=1}^\infty a_n(x) \sin nx$ , где последовательность чисел $a_n$ монотонно стремится к нулю. К ряду $\sum_{n=1}^\infty a_n(x) \cos nx$ применим признак Дирихле. Для этого рассмотрим суммы $S_n(x)=\sum_{k=1}^n \cos kx$ . Имеем $2\sin \frac{x}{2} S_n(x) =\sum_{k=1}^n 2\sin \frac{x}{2} \cos kx=$ $=\sin \frac{3x}{2} — \sin \frac{x}{2} + \sin \frac{5x}{2} — \sin \frac{3x}{2} + … + \sin (n+ \frac{1}{2})x — \sin (n — \frac{1}{2})x =$ $= \sin (n+ \frac{1}{2})x — \sin \frac{x}{2}.$ Поэтому $S_n(x) = \frac{\sin (n + \frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}} — \frac{1}{2} \;\;\; (0 < x <2\pi), \;\;\;\; \mid S_n(x)\mid \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2\mid \sin \frac{x}{2}\mid}.$ Если $x \rightarrow 0$ , то $S_n(x) \rightarrow n$ , так что в окрестности нуля нарушается равномерная ограниченность сумм $S_n(x)$ . Если же $\delta \leq x \leq 2\pi — \delta$ , где $0 < \delta < \pi$ , то $\mid S_n(x)\mid \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sin \frac{\delta}{2}}$ и поэтому $\left[ \delta, 2\pi — \delta\right]$ выполнены все условия признака Дирихле, в силу которого ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n \cos {nx}$ сходится равномерно на $\left[ \delta, 2\pi — \delta\right]$ . На всем интервале $(0,2\pi)$ признак Дирихле неприменим, но это еще не означает, что ряд сходится неравномерно, поскольку признак Дирихле — лишь достаточное условие равномерной сходимости ряда.

Покажите самостоятельно, что ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n \sin {nx}$ , где последовательность { $a_n$ } монотонно убывает к нулю, сходится равномерно на $\left[ \delta, 2\pi — \delta\right]$ , где произвольное $0 < \delta < \pi$ . Для этого полезно использовать равенство $\sum_{k=1}^n \sin kx = \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}} \sum_{k=1}^n 2 \sin \frac{x}{2} \sin kx =$ $= \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}} \sum_{k=1}^n [\cos (k — \frac{1}{2})x — \cos (k + \frac{1}{2})x] =$ $=\frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}} [\cos \frac{x}{2} — \cos(n+\frac{1}{2})x] \;\;\; (0 < x < 2\pi)$ и применить признак Дирихле.

Примеры решений задач

Исследовать на равномерную сходимость на интервале $(-\infty, +\infty)$ ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{1+n^5x^2}$ .

Решение

Удобно применить признак Вейерштрасса, так как несложно подобрать мажоранту для ряда. Найдем максимум общего члена ряда: $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\frac{nx}{1+n^5x^2})= n\frac{1-x^2n^5}{(1+x^2n^5)^2} = 0 \Rightarrow x_0 = \frac{1}{n^{\frac{5}{2}}}.$ Следовательно, $\mid\frac{nx}{1+n^5x^2}\mid \leq \frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}.$ Мажорирующий ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n^{\frac{3}{2}}}$ сходится. Поэтому исходный ряд сходится равномерно.

[свернуть]

Исследовать на равномерную сходимость на отрезке $[0,2\pi]$ ряд $\sum_{n=1}^{+\infty} = \frac{\sin nx}{n}$ .

Решение

На данном отрезке частичные суммы вспомогательного ряда не будут ограничены. Применим критерий Коши. Выберем $m=2n, x_0 = \frac{1}{n}$ , тогда $\mid \frac{\sin \frac{n+1}{n}}{n+1} + … + \frac{\sin 2}{2n}\mid \geq \frac{\sin 1}{n+1} + … + \frac{\sin 1}{2n} \geq \frac{1}{2}\sin 1 = \varepsilon_0.$ Для ряда выполнился критерий Коши, следовательно, ряд не сходится равномерно.

[свернуть]

Равномерная сходимость

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

Задание 1 из 3

1.
Отметьте все сходящиеся ряды.
- $\sum_{n=1}^\infty \frac{n \cos^2 n}{n^3+5}$
- $\sum_{n=1}^\infty \frac{8n^4-3n}{5n+n^4}^{n/3}$
- $\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{\sqrt[3]{n^7}}$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 3

2.
Посмотрите задачу ниже

Задача

Исследовать на равномерную сходимость на интервале $(0,2\pi)$ ряд $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin nx}{n}$ .

Представим общий член ряда в виде произведения $\sin nx \cdot \frac{1}{n} \equiv a_n b_n.$
Последовательность { $b_n$ }, монотонно убывая, стремится к нулю. Рассмотрим далее частичные суммы $\sum_{n=1}^N \sin nx$ : $\sum_{n=1}^N \sin nx = \sin x + \sin 2x+ … + \sin Nx =$ $= \frac{2\sin\frac{x}{2}\sin x + 2\sin\frac{x}{2}\sin 2x + …+ 2\sin\frac{x}{2}\sin Nx}{2\sin\frac{x}{2}}=$ $=\frac{(\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{3x}{2})+(\cos\frac{3x}{2}-\cos\frac{5x}{2})+…+(\cos\frac{(2N-1)x}{2}-\cos\frac{(2N+1)x}{2})}{2\sin\frac{x}{2}} =$ $= \frac{(\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{(2N+1)x}{2})}{2\sin\frac{x}{2}}$ Следовательно, $\mid\sum_{n=1}^{N}\sin nx \mid \leq \frac{1}{\sin \frac{x}{2}}$ Исходный ряд сходится равномерно.

[свернуть]

Что использовали при доказательстве сходимости данного ряда?
- критерий Коши равномерной сходимости последовательности
- критерий Коши равномерной сходимости ряда
- признак Дирихле равномерной сходимости
- признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 3

3.
Признак Вейерштрасса дает достаточное условие равномерной сходимости ряда, а также дает достаточное условие чего?
Правильно

Неправильно

Список литературы

Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс Математического Анализа. 1997; с исправлениями 2001. ФИЗМАТЛИТ, 2001, стр. 384 — 407.

В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу Т.2. Одесса, «Астропринт», 2010, стр. 32-41.

Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления» ФИЗМАТЛИТ, 1964 т.2, стр. 376-386.

2.5 Критерий Коши

Если для исследования сходимости последовательности применять определение предела, то мы заранее должны знать, является ли данная последовательность сходящейся и значение ее предела. Используя определение предела, мы можем лишь доказывать выдвинутую гипотезу. Однако в ряде случаев по самому виду последовательности трудно определить, является ли она сходящейся или расходящейся. Например, $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$ . В связи с этим возникает необходимость найти внутреннее свойство последовательности, равносильное сходимости и не
зависящее от числа $a$ – предела последовательности. Мы докажем, что таким свойством является фундаментальность.

Определение. Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной (сходящейся в себе), если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$ , зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon$ , что для всех номеров $n \geqslant N$ , $m \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n — x_m| < \varepsilon$ .

Существенное отличие определения фундаментальности от определения предела состоит в том, что в определении предела мы должны знать значение предела, а в определении фундаментальности это не требуется. Смысл определения предела состоит в том, что все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличаются от значения предела, т. е. $|x_n — a| < \varepsilon$ при $n \geqslant N = N(\varepsilon)$ . В определении фундаментальности требуется чтобы все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличались друг от друга $\Big(|x_n — x_m| < \varepsilon$ , $n, m \geqslant N = N(\varepsilon)\Big).$

Равносильность сходимости последовательности и ее фундаментальности устанавливает следующая теорема.

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Необходимость доказывается совсем просто. В самом деле, нужно показать, что из сходимости следует фундаментальность. Пусть последовательность $\{x_n\}$ сходится и $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$ . Зададим $\varepsilon > 0$ и найдем номер $N$ , такой, что для любого $n \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n — a| < \frac{\varepsilon}{2}$ . Если $n, m \geqslant N$ , то получим $|x_n — x_m| \leqslant |x_n — a| + |x_m — a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$ а это и означает, что $\{x_n\}$ – фундаментальна.

Достаточность. Нужно показать, что из фундаментальности последовательности следует ее сходимость. Сначала мы покажем, что из фундаментальности следует ограниченность. Затем, используя лемму Больцано – Вейерштрасса, из ограниченной последовательности выделим сходящуюся подпоследовательность и, наконец, снова используя фундаментальность, покажем, что и вся последовательность сходится к тому же пределу, что и выделенная подпоследовательность.

Итак, пусть $\{x_n\}$ – фундаментальная последовательность. Докажем ее ограниченность. Зададим $\varepsilon = 1$ и, пользуясь фундаментальностью, найдем номер $N_1$ , такой, что для любых $n, m \geqslant N_1$ справедливо неравенство $|x_n — x_m| < 1$ . Зафиксируем $m = N_1$ . Тогда получим, что для всех $n \geqslant N_1$ имеет место неравенство $|x_n — x_m| < 1$ , т. е. ${x_N}_1 — 1 < x_n < {x_N}_1 + 1$ . Отсюда следует, что $|x_n| \leqslant |{x_N}_1| + 1$ для всех $n \geqslant N_1$ . Во множестве $E = \{|{x_N}_1| + 1, |x_1| , \ldots , |{x_N}_1 − 1|\}$ , состоящего из конечного числа элементов, выберем наибольший $A = \max\{|{x_N}_1| + 1, |x_1| ,\ldots, |{x_N}_1 − 1|\}$ . Тогда получим, что $|x_n| \leqslant A$ для всех $n = 1, 2,\ldots$ , а это и означает, что $\{x_n\}$ – ограниченная последовательность.

Применяя теперь к ограниченной последовательности $\{x_n\}$ лемму Больцано – Вейерштрасса, выделим из нее сходящуюся подпоследовательность ${\{{x_n}_k\}}^\infty_{k = 1}$ и обозначим через a предел этой подпоследовательности. Покажем, что вся последовательность $\{x_n\}$ также сходится к числу a, т. е. что $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$ .

Зададим $\varepsilon > 0$ и, пользуясь фундаментальностью последовательности $\{x_n\}$ , найдем такой номер $N$ , что для всех номеров $n, m \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n − x_m| < \frac{\varepsilon}{2}$ . Далее, пользуясь тем, что $\lim\limits_{k\to \infty}{x_n}_k = a$ , для заданного $\varepsilon$ найдем номер $k$ , такой, что $n_k \geqslant N$ (это возможно, поскольку $n_k \rightarrow \infty$ при $k \rightarrow \infty$ ) и $|{x_n}_k — a| < \frac{\varepsilon}{2}$ . Положим $m = n_k$ . Тогда получим, что для любого $n \geqslant N$ справедливо неравенство $|x_n − {x_n}_k| < \frac{\varepsilon}{2}$ . Отсюда следует, что для $n \geqslant N$ $|x_n — a| \leqslant |x_n — {x_n}_k| + |{x_n}_k — a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$

Итак, для заданного $\varepsilon > 0$ мы нашли номер $N$ , начиная с которого справедливо неравенство $|x_n — a| < \varepsilon$ . Поскольку выбранное $\varepsilon > 0$ произвольно, то по определению предела последовательности получаем, что $\lim\limits_{n\to \infty}x_n = a$ .

Определение фундаментальности последовательности можно сформулировать в такой эквивалентной форме.

Определение. Последовательность $\{x_n\}$ называется фундаментальной, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такой номер $N$ , зависящий, вообще говоря, от $\varepsilon$ , что для любого $n \geqslant N$ и для любого $p \in N$ справедливо неравенство $|x_{n + p} — x_n| < \varepsilon$ .

Пользуясь этим определением, скажем, что последовательность $\{x_n\}$ не является фундаментальной, если найдется такое $\varepsilon_0 > 0$ , что для любого $N$ существуют такой номер $n \geqslant N$ и такое натуральное число $p$ , что $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \varepsilon_0$ .

Пример 1. Рассмотрим последовательность $x_n = 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{n}$ . Для натуральных $n$ и $p$ имеем $x_{n + p} − x_n = \frac{1}{n + 1} + \ldots + \frac{1}{n + p} \geqslant \frac{1}{n + p} + \ldots + \frac{1}{n + p} = \frac{p}{n + p}$ . Если $n$ зафиксировано, то для $p = n$ получаем $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \frac{1}{2}$ . Выберем $\varepsilon_0 = \frac{1}{2} > 0$ . Тогда для любого номера $N$ положим $n = N$ , $p = n$ и будем иметь $|x_{n + p} − x_n| \geqslant \varepsilon_0$ . Это означает, что данная последовательность не является фундаментальной и, следовательно, в силу критерия Коши, она расходится.

Пример 2. Покажем, что последовательность $x_n = \frac{\sin 1}{1^2} + \frac{\sin 2}{2^2} + \ldots + \frac{\sin n}{n^2}$ фундаментальна, а значит, сходящаяся. Для натуральных $n$ и $p$ имеем $|x_{n + p} − x_n| \leqslant \frac{1}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{1}{(n + p)^2} \leqslant$ $\leqslant \frac{1}{n(n + 1)} + \ldots + \frac{1}{(n + p — 1)(n + p)} =$ $= \frac{1}{n} — \frac{1}{n + 1} + \ldots + \frac{1}{n + p — 1} — \frac{1}{n + p} =$ $= \frac{1}{n} — \frac{1}{n + p} \leqslant \frac{1}{n} < \varepsilon,$ если только $n \geqslant N = [\frac{1}{\varepsilon}] + 1$ . Этим самым доказано, что данная последовательность фундаментальна.

Пример 3. Доказать, что последовательность $x_n = \frac{a_1}{1^2} + \frac{a_2}{2^2} + \ldots + \frac{a_n}{n^2},$ где $|a_n| \leqslant 2$ для всех $n$ натуральных, сходится, с помощью критерия Коши.

Решение

Для натуральных $n$ и $p$ $|x_{n + p} — x_n| = \frac{|a_{n + 1}|}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{|a_{n + p}|}{(n + p)^2} \leqslant$ $\leqslant \frac{2}{(n + 1)^2} + \ldots + \frac{2}{(n + p)^2} \leqslant$ $\leqslant \frac{2}{(n + 1)n} + \ldots + \frac{2}{(n + p)(n + p — 1)} =$ $= \frac{2}{n} — \frac{2}{n + 1} + \ldots + \frac{2}{n + p — 1} — \frac{2}{n + p} =$ $= \frac{2}{n} — \frac{2}{n + p} \leqslant \frac{2}{n} < \varepsilon$ если только $n \geqslant N = [\frac{2}{\varepsilon}] + 1$ . таким образом доказано, что последовательность фундаментальна, а следовательно она сходится.

Упражнение. Покажите, что условие $\lim\limits_{n \to \infty}(x_{n+p} — x_n) = 0$ , справедливое при любом натуральном $p$ , не влечет фундаментальность последовательности $\{x_n\}$

Литература

З. М. Лысенко, Конспект по математическому анализу, Курс 1, Семестр 1
В. И. Коляда, А. А. Кореновский, Курс лекций по математическому анализу, Часть 1, 2010г. стр. 29 — 33
Л. Д. Кудрявцев, Курс математического анализа, Том 1, 1988-1989г. стр. 115-118

Критерий Коши

Тест по теме: «Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.»

Таблица лучших: Критерий Коши

максимум из 5 баллов
Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Условия сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Признак Дини. Следствия

Необходимые понятия

Условие Гёльдера. Будем говорить, что функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условия Гёльдера, если существуют односторонние конечные пределы $f(x_0 \pm 0)$ и такие числа $\delta > 0$ , $\alpha \in (0,1]$ и $c_0 > 0$ , что для всех $t \in (0,\delta)$ выполнены неравенства: $|f(x_0+t)-f(x_0+0)|\leq c_0t^{\alpha }$ , $|f(x_0-t)-f(x_0-0)|\leq c_0t^{\alpha }$ .

Формула Дирихле. Преобразованной формулой Дирихле называют формулу вида:
$S_n(x_0)= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)+f(x_0-t))D_n(t)dt \quad (1),$ где $D_n(t)=\frac{1}{2}+ \cos t + \ldots+ \cos nt = \frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}} (2)$ — ядро Дирихле.

Используя формулы $(1)$ и $(2)$ , запишем частичную сумму ряда Фурье в следующем виде:
$S_n(x_0)= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2\sin\frac{t}{2}}\sin \left ( n+\frac{1}{2} \right ) t dt$
$\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty }S_n(x_0) — \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2\sin\frac{t}{2}} \cdot \\ \cdot \sin \left (n+\frac{1}{2} \right )t dt = 0 \quad (3)$

Для $f \equiv \frac{1}{2}$ формула $(3)$ принимает следующий вид: $\lim\limits_{n \to \infty }\frac{1}{\delta}\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}}dt=\frac{1}{2}, 0<\delta <\pi. \quad (4)$

Сходимость ряда Фурье в точке

Теорема. Пусть $f(x)$ — $2\pi$ -периодическая абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция и в точке $x_0$ удовлетворяет условию Гёльдера. Тогда ряд Фурье функции $f(x)$ в точке $x_0$ сходится к числу $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$

Если в точке $x_0$ функция $f(x)$ — непрерывна, то в этой точке сумма ряда равна $f(x_0)$ .

Доказательство

Так как функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условию Гёльдера, то при $\alpha > 0$ и $0 < t$ $< \delta$ выполнены неравенства (1), (2).

Запишем при заданном $\delta > 0$ равенства $(3)$ и $(4)$ . Умножая равенство $(4)$ на $f(x_0+0)+f(x_0-0)$ и вычитая результат из равенства $(3)$ , получаем $\lim\limits_{n \to \infty} (S_n(x_0) — \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} — \\ — \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\delta}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2\sin \frac{t}{2}} \cdot \\ \cdot \sin \left (n + \frac{1}{2} \right )t \, dt ) = 0. \quad (5)$

Из условия Гёльдера следует, что функция $\Phi(t)= \frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)-f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2\sin \frac{t}{2}}.$ абсолютно интегрируема на отрезке $[0,\delta]$ . В самом деле, применяя неравенство Гёльдера, получаем, что для функции $\Phi(t)$ справедливо следующее неравенство: $|\Phi(t)| \leq \frac{2c_0t^{\alpha }}{\frac{2}{\pi}t} = \pi c_0t^{\alpha — 1} (6)$ , где $\alpha \in (0,1]$ .

В силу признака сравнения для несобственных интегралов из неравенства $(6)$ следует, что $\Phi(t)$ абсолютно интергрируема на $[0,\delta].$

В силу леммы Римана $\lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{0}^{\delta}\Phi(t)\sin \left (n + \frac{1}{2} \right)t\cdot dt = 0 .$

Из формулы $(5)$ теперь следует, что $\lim\limits_{n \to \infty}S_n(x_0) = \frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2} .$

[свернуть]

Следствие 1. Если $2\pi$ -периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную, то ее ряд Фурье сходится в этой точке к $f(x_0)$ .

Следствие 2. Если $2\pi$ -периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ обе односторонние производные, то ее ряд Фурье сходится в этой точке к $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$

Следствие 3. Если $2\pi$ -периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ удовлетворяет в точках $-\pi$ и $\pi$ условию Гёльдера, то в силу периодичности сумма ряда Фурье в точках $-\pi$ и $\pi$ равна $\frac{f(\pi-0)+ f(-\pi+0)}{2}.$

Признак Дини

Определение. Пусть $f(x)$ — $2\pi$ -периодическая функция, Точка $x_0$ будет регулярной точкой функции $f(x)$ , если

$\lim\limits_{x \to x_0+0 }f(x)= \lim\limits_{x \to x_0-0 }f(x)= f(x_0+0)=f(x_0-0),$

$f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$

Теорема. Пусть $f(x)$ — $2\pi$ -периодическая абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция и точка $x_0 \in \mathbb{R}$ — регулярная точка функции $f(x)$ . Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условиям Дини: существуют несобственные интегралы $\int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t}dt, \\ \int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0-t)-f(x_0-0)|}{t}dt,$

тогда ряд Фурье функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет сумму $f(x_0)$ , т.е. $\lim\limits_{n \to \infty }S_n(x_0)=f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$

Доказательство

Для частичной суммы $S_n(x)$ ряда Фурье имеет место интегральное представление $(1)$ . И в силу равенства $\frac{2}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }D_n(t) \, dt=1,$
$f(x_0)= \frac{1}{\pi }\int\limits_{0}^{\pi }f(x_0+0)+f(x_0-0)D_n(t) \, dt$

Тогда имеем $S_n(x_0)-f(x_0) = \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t) \, dt +$ $+\frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0-t)-f(x_0-0))D_n(t) \, dt. \quad(7)$

Очевидно, что теорема будет доказана, если докажем, что оба интеграла в формуле $(7)$ имеют пределы при $n \to \infty$ равные $0$ . Рассмотрим первый интеграл: $I_n(x_0)=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt.$

В точке $x_0$ выполняется условие Дини: сходится несобственный интеграл $\int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t} \, dt .$

Поэтому для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta \in (0, h)$ такое, что $\int\limits_{0}^{\delta }\frac{\left | f(x_0+t)-f(x_0+0) \right |}{t}dt < \frac{\varepsilon }{\pi }.$

По выбранному $\varepsilon > 0$ и $\delta > 0$ интеграл $I_n(x_0)$ представим в виде $I_n(x_0)=A_n(x_0)+B_n(x_0)$ , где
$A_n(x_0)=\int\limits_{0}^{\delta }(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt ,$ $B_n(x_0)=\int\limits_{\delta}^{\pi }(f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t)dt .$

Рассмотрим сначала $A_n(x_0)$ . Используя оценку $\left | D_n(t) \right |<\frac{\pi}{2t},$ для любого $t \in (0,\pi)$ , получаем, что $\left | (f(x_0+t)-f(x_0+0))D_n(t) \right | \leq$ $\leq \frac{\pi}{2} \cdot \frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{t}$

для всех $t \in (0, \delta)$ .

Поэтому $A_n(x_0) \leq \frac{\pi}{2} \int\limits_{0}^{\delta } \frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t}dt< \frac{\varepsilon }{2}.$

Перейдем к оценке интеграла $B_n(x_0)$ при $n \to \infty$ . Для этого введем функцию $\Phi (t)=\left\{\begin{matrix} \frac{f(x_0+t)-f(x_0+0)}{2\sin \frac{t}{2}}, 0< \delta \leq t \leq \pi, \\ 0, -\pi\leq t< \delta . \end{matrix}\right.$

$B_n(x_0)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}\Phi (t) \sin \left (n+\frac{1}{2} \right )t\,dt.$ Получаем, что $\lim\limits_{n \to \infty }B_n(x_0)=0$ , а это означает, что для выбранного ранее произвольного $\varepsilon > 0$ существует такое $N$ , что для всех $n>N$ выполняется неравенство $|I_n(x_0)|\leq |A_n(x_0)| + |B_n(x_0)| < \varepsilon$ , т.е. $\lim\limits_{n \to \infty }I_n(x_0)=0.$

Совершенно аналогично доказывается, что и второй интеграл формулы $(7)$ имеет равный нулю предел при $n \to \infty$ .

[свернуть]

Следствие Если $2\pi$ периодическая функция $f(x)$ кусочно дифференциируема на $[-\pi,\pi]$ , то ее ряд Фурье в любой точке $x \in [-\pi,\pi]$ сходится к числу $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$

Пример 1

На отрезке $[-\pi,\pi]$ найти тригонометрический ряд Фурье функции $f(x)=\left\{\begin{matrix} 1, x \in (0,\pi),\\ -1, x \in (-\pi,0), \\ 0, x=0. \end{matrix}\right.$

Исследовать сходимость полученного ряда.

Продолжая периодически $f(x)$ на всю вещественную ось, получим функцию $\widetilde{f}(x)$ , график которой изображен на рисунке.

Так как функция $f(x)$ нечетна, то $a_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx dx =0;$

$b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx \, dx =$ $=\frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}f(x)\sin kx \, dx =$ $=-\frac{2}{\pi k}(1- \cos k\pi)$

$b_{2n}=0, b_{2n+1} = \frac{4}{\pi(2n+1)}.$

Следовательно, $\tilde{f}(x)\sim \frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}.$

Так как ${f}'(x)$ существует при $x\neq k \pi$ , то $\tilde{f}(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(2n+1)x}{2n+1}$ , $x\neq k \pi$ , $k \in \mathbb{Z}.$

В точках $x=k \pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ , функция $\widetilde{f}(x)$ не определена, а сумма ряда Фурье равна нулю.

Полагая $x=\frac{\pi}{2}$ , получаем равенство $1 — \frac{1}{3} + \frac{1}{5}- \ldots + \frac{(-1)^n}{2n+1}+ \ldots = \frac{\pi}{4}$ .

[свернуть]

Пример 2

Найти ряд Фурье следующей $2\pi$ -периодической и абсолютно интегрируемой на $[-\pi,\pi]$ функции:
$f(x)=-\ln | \sin \frac{x}{2}|$ , $x \neq 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ , и исследовать на сходимость полученного ряда.

Так как ${f}'(x)$ существует при $x \neq 2k \pi$ , то ряд Фурье функции $f(x)$ будет сходиться во всех точках $x \neq 2k \pi$ к значению функции. Очевидно, что $f(x)$ четная функция и поэтому ее разложение в ряд Фурье должно содержать косинусы. Найдем коэффициент $a_0$ . Имеем $\pi a_0 = -2 \int\limits_{0}^{\pi}\ln \sin \frac{x}{2}dx =$ $= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin \frac{x}{2}dx \,- \, 2\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\ln \sin \frac{x}{2}dx =$ $= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin \frac{x}{2}dx \, — \, 2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\cos \frac{x}{2}dx=$ $= -2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (\frac{1}{2}\sin x)dx =$ $= \pi \ln 2 \, — \, 2 \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln \sin x dx =$ $= \pi \ln 2 \, — \, \int\limits_{0}^{\pi}\ln \sin \frac{t}{2}dt = \pi\ln 2 + \frac{\pi a_0}{2},$ откуда $a_0= \pi \ln 2$ .

Найдем теперь $a_n$ при $n \neq 0$ . Имеем $\pi a_n = -2 \int\limits_{0}^{\pi}\cos nx \ln \sin \frac{x}{2}dx =$ $= \int\limits_{0}^{\pi} \frac{\sin(n+\frac{1}{2})x+\sin (n-\frac{1}{2})x}{2n \sin\frac{x}{2}}dx=$ $= \frac{1}{2n} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \begin{bmatrix} D_n(x)+D_{n-1}(x)\\ \end{bmatrix}dx.$

Здесь $D_n(x)$ - ядро Дирихле, определяемое формулой (2) и получаем, что $\pi a_n = \frac{\pi}{n}$ и, следовательно, $a_n = \frac{1}{n}$ . Таким образом, $-\ln | \sin \frac{x}{2}| = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty } \frac{\cos nx}{n}, x \neq 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.$

[свернуть]

Литература

Лысенко З.М., конспект лекций по математическому анализу, 2015-2016 гг.
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 581-587
Демидович Б.П., Сборник заданий и упражнений по математическому анализу, издание 13, исправленное, Издательство ЧеРо, 1997, стр. 259-267

Тест по материалу данной темы:

Задание 1 из 5

1.
Количество баллов: 1
Если $2\pi$ -периодическая и абсолютно интегрируема на $[−\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную, то к чему будет сходиится ее ряд Фурье в этой точке?
- $f(x_0)$
- $f(x_0+0)+f(x_0-0)$
- $\frac{f(\pi-0)+ f(-\pi+0)}{2}$
Задание 2 из 5

2.
Количество баллов: 1
Если выполнены все условия признака Дини, то к какому числу сходится ряд Фурье функции $f$ в точке $x_0$ ?
- $\frac{f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2}$
- $\frac{f(x_0-0)-f(x_0+0)}{2}$
- $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$

Задание 3 из 5

3.

Количество баллов: 1

Какие коэффициенты будут равны нулю, если функция $f(x)$ — четная?

Элементы сортировки

$b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx dx =0$
$a_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx dx =0$

Если функция

$f(x)$ - четная

Если функция

$f(x)$ - нечетная

Задание 4 из 5

4.
Количество баллов: 1
Каковы условия сходимости функции $f$ к $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$ ?
- Если функция удовлетворяет условию Гёльдера
- Если функция $2 \pi$ -периодическая
- Если существует предел частичных сумм ряда Фурье, равный 0
Задание 5 из 5

5.
Количество баллов: 1
Вставьте пропущенное слово
- Для сходимости к $(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2$ ряда Фурье, необходимо, чтобы функция удовлетворяла (условию Гёльдера).

Формулы Ньютона-Лейбница

Если существует функция $F(x)$ , непрерывная на отрезке $[a,b]$ и такая, что $F(x)=f(x)$ при $a \leq x < b$ , то для несобственного интеграла $\int_{a}^{b}f(x)dx$ справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}[F(b-\varepsilon)-F(a)]$

Если $f(x)$ непрерывна при $a \leq x < b$ и имеет точку разрыва $x=a$ , тогда:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}[F(b)-F(a+\varepsilon)]$

Если подынтегральная функция не ограничена в отрезке интегрирования ( например $x = c$ ), то эту точку «вырезают», а интеграл $\int_{a}^{b}f(x)dx$ определяют в предположении, что $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ , так:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{c -\varepsilon}f(x)dx + \lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{c+\varepsilon}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} F(x)|_{a}^{c -\varepsilon} +$

$+ \lim\limits_{\varepsilon \to +0} F(x)|_{c+\varepsilon}^{b}=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}F(c — \varepsilon)-F(a) + F(b) — \lim\limits_{\varepsilon \to +0}F(c+\varepsilon)$

Если пределы существуют и конечны, то интеграл $\int_{a}^{b}f(x)dx$ называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Литература

Конспект лекций по мат. анализу Лысенко З. М.
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. ст. 364-365
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. ст 82

Тест : Формулы Ньютона-Лейбница

Тест на знание темы «Формулы Ньютона-Лейбница»

Задание 1 из 5

1.
Если существует функция $F(x)$ , _______ на отрезке $[a,b]$ и такая, что $F(x)=f(x)$ при a $\leq x < b$ , то для несобственного интеграла $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница.
- (непрерывная)
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
При каком условии будет выполняться формула $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0}[F(b-\varepsilon)-F(a)]$ ?
- $a \leq x < b$
- $a < x < b$
- $a > x > b$
- $a < x \leq b$
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 5

3.

Отсортировать в каких случаях действует та или Ньютона-Лейбница

Элементы сортировки

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx$
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx$
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a}^{c -\varepsilon}f(x)dx + \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{c+\varepsilon}^{b}f(x)dx$

Функция непрерывна на

$a \leq x < b$

Непрерывна на

$a \leq x < b$ , имеет точку разрыва

$x=a$

Точка перестает быть ограничена в точке

$x = c$

Задание 4 из 5

4.
Если пределы _________ и ________, то интеграл $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
- 1) (существуют) 2) (конечны, конечные)
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Условия сходимости интеграла
- Существование пределов
- Конечность пределов
- Монотонное возрастание функции
- Монотонное убывание функции
- Бесконечность пределов
Правильно

Неправильно

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат

Равномерная сходимость

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Список литературы

Литература

Критерий Коши

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

Таблица лучших: Критерий Коши

Необходимые понятия

Сходимость ряда Фурье в точке

Признак Дини

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

Литература

Тест : Формулы Ньютона-Лейбница

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.